Материал по математике "Числа. Натуральные числа"

1.1.Определение

Числа, применяемые людьми при счете, называются натуральными (например, один, два, три,…, сто, сто один,…, три тысячи двести двадцать один,…) Для записи натуральных чисел используют специальные знаки (символы), называемые цифрами .

В наше время принята десятичная система записи чисел . В десятичной системе (или способе) записи чисел используются арабские цифры. Это десять различных символов-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Наименьшее натуральное число - это число один, оно записывается при помощи десятичной цифры - 1. Следующее натуральное число получается из предыдущего (кроме единицы) добавлением 1 (единицы). Такое добавление можно делать много раз (бесконечное число раз). Это означает, что нет наибольшего натурального числа. Поэтому говорят, что ряд натуральных чисел неограничен или бесконечен, так как он не имеет конца. Натуральные числа записывают при помощи десятичных цифр.

1.2. Число «ноль»

Для обозначения отсутствия чего-либо используют число "ноль " или "нуль ". Его записывают при помощи цифры 0 (ноль). Например, в коробке все шары красные. Сколько среди них зеленых? - Ответ: ноль. Значит, зеленых шаров в коробке нет! Число 0 может означать, что что-то закончилось. Например, у Маши было 3 яблока. Двумя она поделилась с друзьями, одно съела сама. Значит, у неё осталось 0 (ноль) яблок, т.е. ни одного не осталось. Число 0 может означать, что что-то не случилось. Например, хоккейный матч Сборная России - Сборная Канады закончился со счетом 3:0 (читаем "три - ноль") в пользу сборной России. Значит, сборная России забила 3 гола, а сборная Канады 0 голов, не смогла забить ни одного гола. Надо помнить, что число ноль не является натуральным.

1.3. Запись натуральных чисел

В десятичном способе записи натурального числа каждая цифра может означать различные числа. Это зависит от места этой цифры в записи числа. Определённое место в записи натурального числа называется позицией. Поэтому десятичная система записи чисел называется позиционной. Рассмотрим десятичную запись 7777 числа семь тысяч семьсот семьдесят семь. В этой записи семь тысяч, семь сотен, семь десятков и семь единиц.

Каждое из мест (позиций) в десятичной записи числа называется разрядом . Каждые три разряда объединены в класс. Это объединение производится справа налево (с конца записи числа). Различные разряды и классы имеют собственные названия. Ряд натуральных чисел неограничен. Поэтому количество разрядов и классов также не ограничено (бесконечно ). Рассмотрим названия разрядов и классов на примере числа с десятичной записью

38 001 102 987 000 128 425:

Классы и разряды
квинтиллионы		сотни квинтиллионов
		десятки квинтиллионов
		квинтиллионы
квадриллионы		сотни квадриллионов
		десятки квадриллионов
		квадриллионы
триллионы		сотни триллионов
		десятки триллионов
		триллионы
миллиарды		сотни миллиардов
		десятки миллиардов
		миллиарды
миллионы		сотни миллионов
		десятки миллионов
		миллионы
		сотни тысяч
		десятки тысяч

Итак, классы, начиная с младшего, имеют названия: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы.

1.4. Разрядные единицы

Каждый из классов в записи натуральных чисел состоит из трёх разрядов. Каждый разряд имеет разрядные единицы . Следующие числа называются разрядными единицами:

1 - разрядная единица разряда единиц,

10 - разрядная единица разряда десятков,

100 - разрядная единица разряда сотен,

1 000 - разрядная единица разряда тысяч,

10 000 - разрядная единица разряда десятков тысяч,

100 000 - разрядная единица разряда сотен тысяч,

1 000 000 - разрядная единица разряда миллионов, и т. д.

Цифра в каком-либо из разрядов показывает количество единиц данного разряда. Так, цифра 9, в разряде сотен миллиардов, означает, что в состав числа 38 001 102 987 000 128 425 входит девять миллиардов (т.е. 9 раз по 1 000 000 000 или 9 разрядных единиц разряда миллиардов). Пустой разряд сотен квинтиллионов означает, что в данном числе отсутствуют сотни квинтиллионов или их количество равно нулю. При этом число 38 001 102 987 000 128 425 можно записать так: 038 001 102 987 000 128 425.

Можно записать иначе: 000 038 001 102 987 000 128 425. Нули в начале числа указывают на пустые старшие разряды. Обычно их не пишут в отличие от нулей внутри десятичной записи, которыми обязательно отмечают пустые разряды. Так, три нуля в классе миллионов означает, что пусты разряды сотен миллионов, десятков миллионов и единиц миллионов.

1.5. Сокращения в записи чисел

При записи натуральных чисел используются сокращения. Приведём примеры:

1 000 = 1 тыс. (одна тысяча)

23 000 000 = 23 млн. (двадцать три миллиона)

5 000 000 000 = 5 млрд. (пять миллиардов)

203 000 000 000 000 = 203 трлн. (двести три триллиона)

107 000 000 000 000 000 = 107 квдр. (сто семь квадриллионов)

1 000 000 000 000 000 000 = 1 квнт. (один квинтиллион)

Блок 1.1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из §1. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите для каждого определения номер термина из списка.

Блок 1.2. Самоподготовка

В мире больших чисел

Экономика .

1. Бюджет России на следующий год составит: 6328251684128 рублей.
2. На этот год запланировано расходов: 5124983252134 рублей.
3. Доходы страны превысили расходы на 1203268431094 рублей.

Вопросы и задания

1. Прочитайте все три указанных числа
2. Запишите цифры в классе миллионов каждого из трех чисел

1. К какому разделу в каждом из чисел относится цифра, стоящая на седьмой позиции от конца записи чисел?
2. Число каких разрядных единиц показывает цифра 2 в записи первого числа?... в записях второго и третьего числа?
3. Назовите разрядную единицу для восьмой позиции от конца в записи трех чисел.

География (длина)

1. Экваториальный радиус Земли: 6378245 м
2. Длина окружности экватора: 40075696 м
3. Наибольшая глубина мирового океана (Марианская впадина в Тихом океане) 11500 м

Вопросы и задания

1. Переведите все три величины в сантиметры и прочитайте полученные числа.
2. Для первого числа (в см) запишите цифры, стоящие разделах:

сотни тысяч _______

десятки миллионов _______

тысячи _______

миллиарды _______

сотни миллионов _______

1. Для второго числа (в см) запишите разрядные единицы, соответствующие цифрам 4, 7, 5, 9 в записи числа

1. Переведите третью величину в миллиметры, прочитайте полученное число.
2. Для всех позиций в записи третьего числа (в мм) укажите в таблице разряды и разрядные единицы:

География (площадь)

1. Площадь всей поверхности Земли составляет 510083 тысяч квадратных километров.
2. Площадь поверхности сумм на Земле составляет 148628 тысяч квадратных километров.
3. Площадь водной поверхности Земли составляет 361455 тысяч квадратных километров.

Вопросы и задания

1. Переведите все три величины в квадратные метры и прочитайте полученные числа.
2. Назовите классы и разряды, соответствующие отличным от нуля цифрам в записи этих чисел (в кв. м).
3. В записи третьего числа (в кв. м) назовите разрядные единицы, соответствующие цифрам 1, 3, 4, 6.
4. В двух записях второй величины (в кв. км. и кв. м) укажите, к каким разрядам относится цифра 2.
5. Запишите разрядные единицы для цифры 2 в записях второй величины.

Блок 1.3. Диалог с компьютером.

Известно, что большие числа часто используются в астрономии. Приведем примеры. Среднее расстояние Луны от Земли равно 384 тыс. км. Расстояние Земли от Солнца (среднее) составляет 149504 тыс. км, Земли от Марса 55 млн. км. На компьютере с помощью текстового редактора Word создайте таблицы так, чтобы каждая цифра в записи указанных чисел была в отдельной клеточке (ячейке). Для этого выполните команды на панели инструментов: таблица → добавить таблицу → число строк (с помощью курсора ставим «1») → число столбцов (посчитайте сами). Создайте таблицы и для других чисел (блока «Самоподготовка»).

Блок 1.4. Эстафета больших чисел

В первой строке таблицы записано большое число. Прочитайте его. Затем выполните задания: передвигая цифры в записи числа вправо или влево, получайте следующие числа и читайте их. (Нули в конце числа не передвигайте!). В классе эстафету можно проводить, передавая её друг другу.

Строка 2 . Все цифры числа в первой строке переместите влево через две клетки. Цифры 5 замените следующей за ней цифрой. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте число.

Строка 3 . Все цифры числа во второй строке переместите вправо через три клетки. Цифры 3 и 4 в записи числа замените следующими цифрами. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте число.

Строка 4. Все цифры числа в строке 3 переместите на одну клетку влево. Цифру 6 в классе триллионов замените на предыдущую, а в классе миллиардов на последующую цифру. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте полученное число.

Строка 5 . Все цифры числа в строке 4 переместите через одну клетку вправо. Цифру 7 в разряде «десятки тысяч» замените на предыдущую, а в разряде «десятки миллионов» на последующую. Прочитайте полученное число.

Строка 6 . Все цифры числа в строке 5 переместите влево через 3 клетки. Цифру 8 в разряде сотен миллиардов замените на предыдущую, а цифру 6 в разряде сотен миллионов на последующую цифру. Пустые клетки заполните нулями. Просчитайте полученное число.

Строка 7 . Все цифры числа в строке 6 переместите вправо на одну клетку. Поменяйте местами цифры в разрядах десятков квадриллионов и десятков миллиардов. Прочитайте полученное число.

Строка 8 . Все цифры числа в строке 7 переместите влево через одну клетку. Поменяйте местами цифры в разрядах квинтиллионов и квадриллионов. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте полученное число.

Строка 9 . Все цифры числа в строке 8 переместите вправо через три клетки. Поменяйте местами две стоящие рядом в числовом ряду цифры из классов миллионов и триллионов. Прочитайте полученное число.

Строка 10 . Все цифры числа в строке 9 переместите на одну клетку вправо. Прочитайте полученное число. Выделите цифры, обозначающие год Московской олимпиады.

Блок 1.5. Давайте поиграем

Зажги огонек

Игровое поле - это рисунок новогодней ёлки. На ней 24 лампочки. Но подключены к электросети только 12 из них. Чтобы выбрать подключённые лампы, надо верно ответить на вопросы словами «Да» или «Нет». Эту же игру можно выполнить на компьютере верный ответ «зажигает» лампочку.

1. Верно ли, что цифры - это специальные знаки для записи натуральных чисел? (1 - да, 2 - нет)
2. Верно ли, что число 0 -это наименьшее натуральное число? (3 - да, 4 - нет)
3. Верно ли, что в позиционной системе счисления одна и та же цифра может обозначать различные числа? (5 - да, 6 - нет)
4. Верно ли, что определенное место в десятичной записи чисел называется разрядом? (7 - да, 8 - нет)
5. Дано число 543 384. Верно ли, что в нем число самых старших разрядных единиц равно 543, а самых младших 384? (9 - да, 10 - нет)
6. Верно ли, что в классе миллиардов самая старшая из разрядных единиц - это сто миллиардов, а самая младшая - один миллиард? (11 - да, 12 - нет)
7. Дано число 458 121. Верно ли, что сумма числа самых старших разрядных единиц и числа самых младших равна 5? (13 - да, 14 - нет)
8. Верно ли, что самая старшая из разрядных единиц класса триллионов в миллион раз больше самой старшей из разрядных единиц класса миллионов? (15 - да, 16 - нет)
9. Даны два числа 637 508 и 831. Верно ли, что самая старшая разрядная единица первого числа в 1000 раз больше самой старшей разрядной единицы второго числа? (17 - да, 18 - нет)
10. Дано число 432. Верно ли, что самая старшая разрядная единица этого числа в 2 раза больше самой младшей? (19 - да, 20 - нет)
11. Дано число 100 000 000. Верно ли, что в нем число разрядных единиц, составляющих 10 000, равно 1000? (21 - да, 22 - нет)
12. Верно ли, что перед классом триллионов находится класс квадриллионов, а перед этим классом - класс квинтиллионов? (23 - да, 24 - нет)

1.6. Из истории чисел

С древних времен человек сталкивался с необходимостью подсчитывать количество вещей, сравнивать количества объектов (например, пять яблок, семь стрел…; в племени 20 мужчин и тридцать женщин, …). Была также необходимость устанавливать порядок внутри некоторого количества объектов. Например, на охоте первым идет вождь племени, вторым самый сильный воин племени и т.д. Для этих целей использовались числа. Для них были придуманы специальные названия. В речи они называются числительными: один, два, три и т. д. - это количественные числительные, а первый, второй, третий - порядковые числительные. Записывались числа при помощи специальных знаков - цифр.

Со временем появились системы счисления. Это системы, включающие способы записи чисел и различных действий над ними. Самые древние из известных систем счисления - это египетская, вавилонская, римская системы счисления. На Руси в старину для написания цифр использовались буквы алфавита со специальным знаком ~ (титло). В настоящее время наибольшее распространение получила десятичная система счисления. Широко используются, особенно в компьютерном мире, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Итак, для записи одного и того же числа можно использовать различные знаки - цифры. Так, число четыреста двадцать пять можно записать египетскими цифрами - иероглифами:

Это египетский способ записи чисел. Это же число римскими цифрами: CDXXV (римский способ записи чисел) или десятичными цифрами 425 (десятичная система записи чисел). В двоичной системе записи оно выглядит так: 110101001 (двоичная или бинарная система записи чисел), а в восьмеричной - 651 (восьмеричная система записи чисел). В шестнадцатеричной системе счисления оно запишется: 1А9 (шестнадцатеричная система записи чисел). Можно поступить совсем просто: сделать, подобно Робинзону Крузо, четыреста двадцать пять зарубок (или штрихов) на деревянном столбе - IIIIIIIII …... IIII . Это самые первые изображения натуральных чисел.

Итак, в десятичной системе записи чисел (в десятичном способе записи чисел) используются арабские цифры. Это десять различных символов - цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . В двоичной - две двоичные цифры: 0, 1; в восьмеричной - восемь восьмеричных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; в шестнадцатеричной - шестнадцать различных шестнадцатеричных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; в шестидесятеричной (вавилонской) - шестьдесят различных символов - цифр и т.д.)

Десятичные цифры пришли в страны Европы из стран Ближнего Востока, Арабских стран. Отсюда название - арабские цифры . Но к арабам они попали из Индии, где были изобретены примерно в середине первого тысячелетия.

1.7. Римская система счисления

Одна из древних систем счисления, которая используется в наши дни, - это римская система. Приведем в таблице основные цифры римской системы счисления и соответствующие числа десятичной системы.

Римская цифра					C
				50 пятьдесят		500 пятьсот	1000 тысяча

Римская система счисления является системой сложения. В ней в отличие от позиционных систем (например, десятичной) каждая цифра обозначает одно и то же число. Так, запись II - обозначает число два (1 + 1 = 2), запись III - число три (1 + 1 + 1 = 3), запись XXX - число тридцать (10 + 10 + 10 = 30) и т.д. Для записи чисел применяются следующие правила.

1. Если меньшая цифра стоит после большей, то она прибавляется к большей: VII - число семь (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII - число семнадцать (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL - число одна тысяча сто пятьдесят (1000 + 100 + 50 = 1150).
2. Если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей: IX - число девять (9 = 10 - 1), LM - число девятьсот пятьдесят (1000 - 50 = 950).

Для записи больших чисел приходится использовать (придумывать) новые символы - цифры. При этом записи чисел получаются громоздкими, производить вычисления с римскими цифрами очень сложно. Так год запуска первого искусственного спутника Земли (1957 г.) в римской записи имеет вид MCMLVII .

Блок 1. 8. Перфокарта

Чтение натуральных чисел

Эти задания проверяются при помощи карты с окружностями. Поясним ее применение. Выполнив все задания и найдя верные ответы (они обозначены буквами А, Б, В, и т.д.), наложите на карту лист прозрачной бумаги. Знаками «X» отметьте на нем правильные ответы, а также метку совмещения « + ». Затем наложите прозрачный лист на страницу так, чтобы совпали метки совмещения. Если все знаки «X» попали в серые кружочки на этой странице, значит, задания выполнены верно.

1.9. Порядок чтения натуральных чисел

При чтении натурального числа поступают следующим образом.

1. Мысленно разбивают число на тройки (классы) справа - налево, с конца записи числа.

1. Начиная с младшего класса, справа - налево (с конца записи числа) записывают названия классов: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы.
2. Читают число, начиная со старших классов. При этом называют число разрядных единиц и название класса.
3. Если в разряде стоит ноль (разряд пуст), то его не называют. Если же все три разряда называемого класса - нули (разряды пусты), то данный класс не называется.

Прочтем (назовем) число, записанное в таблице (см.§1), согласно шагам 1 - 4. Мысленно разбиваем число 38001102987000128425 на классы справа - налево: 038 001 102 987 000 128 425. Укажем названия классов в этом числе, начиная с конца его записи: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы. Теперь можно прочитать число, начиная со старшего класса. Называем трехзначные, двузначные и однозначные числа, добавляя название соответствующего класса. Пустые классы не называем. Получаем следующее число:

• 038 - тридцать восемь квинтиллионов
• 001 - один квадриллион
• 102 - сто два триллиона
• 987 - девятьсот восемьдесят семь миллиардов
• 000 - не называем (не читаем)
• 128 - сто двадцать восемь тысяч
• 425 - четыреста двадцать пять

В результате натуральное число 38 001 102 987 000 128 425 прочтем так: "тридцать восемь квинтиллионов один квадриллион сто два триллиона девятьсот восемьдесят семь миллиардов сто двадцать восемь тысяч четыреста двадцать пять".

1.9. Порядок записи натуральных чисел

Запись натуральных чисел выполняют в следующем порядке.

1. Записывают по три цифры каждого класса, начиная со старшего класса до разряда единиц. При этом для старшего класса цифр может быть две или одна.
2. Если класс или разряд не назван, то в соответствующих разрядах записывают нули.

Например, число двадцать пять миллионов триста два записано в виде: 25 000 302 (класс тысяч не назван, поэтому во всех разрядах класса тысяч записаны нули).

1.10. Представление натуральных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Приведём пример: 7 563 429 - это десятичная запись числа семь миллионов пятьсот шестьдесят три тысячи четыреста двадцать девять. Данное число содержит семь миллионов, пять сотен тысяч, шесть десятков тысяч, три тысячи, четыре сотни, два десятка и девять единиц. Его можно представить как сумму: 7 563 429 = 7 000 000 + 500 000 + 60 000 + + 3 000 + 400 + 20 + 9. Такая запись называется представлением натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Блок 1.11. Давайте поиграем

Сокровища подземелья

На игровом поле рисунок к сказке Киплинга «Маугли». На пяти сундуках навесные замки. Чтобы открыть их, надо решить задачи. При этом, открыв деревянный сундук, вы получаете одно очко. Открыв оловянный сундук, получаете два очка, медный - три очка, серебряный - четыре, золотой - пять. Выигрывает тот, кто быстрее откроет все сундуки. Эту же игру можно выполнить на компьютере.

1. Деревянный сундук

Найдите, сколько денег (в тыс. рублей) находится в этом сундуке. Для этого надо найти общее число самых младших разрядных единиц класса миллионов для числа: 125308453231.

1. Оловянный сундук

Найдите, сколько денег (в тыс. рублей) в этом сундуке. Для этого в числе 12530845323 найдите число самых младших разрядных единиц класса единиц и число самых младших разрядных единиц класса миллионов. Затем найдите сумму этих чисел и справа припишите число, стоящее в разряде десятков миллионов.

1. Медный сундук

Чтобы найти деньги этого сундука (в тыс. рублей), надо в числе 751305432198203 найдите число самых младших разрядных единиц в классе триллионов и число самых младших единиц в классе миллиардов. Затем найдите сумму этих чисел и справа припишите натуральные числа класса единиц этого числа в порядке их расположения.

1. Серебряный сундук

Деньги этого сундука (в млн. рублей) покажет сумма двух чисел: числа самых младших разрядных единиц класса тысяч и средних разрядных единиц класса миллиардов для числа 481534185491502.

1. Золотой сундук

Дано число 800123456789123456789. Если перемножить числа в самых старших разрядах всех классов этого числа, то получим деньги этого сундука в млн. рублей.

Блок 1.12. Установите соответствие

Запись натуральных чисел. Представление натуральных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Каждому заданию в левой колонке подберите решение из правой колонки. Ответ запишите в виде: 1а; 2г; 3б…

	Запишите цифрами число: пять миллионов двадцать пять тысяч
	Запишите цифрами число: пять миллиардов двадцать пять миллионов
	Запишите цифрами число: пять триллионов двадцать пять
	Запишите цифрами число: семьдесят семь миллионов семьдесят семь тысяч семьсот семьдесят семь
	Запишите цифрами число: семьдесят семь триллионов семьсот семьдесят семь тысяч семь
	Запишите цифрами число: семьдесят семь миллионов семьсот семьдесят семь тысяч семь
	Запишите цифрами число: сто двадцать три миллиарда четыреста пятьдесят шесть миллионов семьсот восемьдесят девять тысяч
	Запишите цифрами число: сто двадцать три миллиона четыреста пятьдесят шесть тысяч семьсот восемьдесят девять
	Запишите цифрами число: три миллиарда одиннадцать
	Запишите цифрами число: три миллиарда одиннадцать миллионов

Вариант 2

	тридцать два миллиарда сто семьдесят пять миллионов двести девяносто восемь тысяч триста сорок один		100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1
	Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: триста двадцать один миллион сорок один		30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 321000175298341
	Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 101010101
	Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 11111		300000000 + 20000000 + 1000000 +
	5000000 + 300000 + 20000 + 1000
	Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 5000000 + 300 + 20 + 1		30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9
	Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000
	Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9		10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Блок 1.13. Фасетный тест

Название теста происходит от слова «фасеточный глаз насекомых». Это сложный глаз, состоящий из отдельных «глазков». Задания фасетного теста образуются из отдельных элементов, обозначенных цифрами. Обычно фасетные тесты содержат большое число заданий. Но в этом тесте задач всего четыре, но они составляются из большого числа элементов. Это сделано для того, чтобы научить вас «собирать» задачи теста. Если вы сможете их составить, то легко справитесь с другими фасетными тестами.

Как составляются задачи, поясним на примере третьей задачи. Она составляется из элементов теста под номерами: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

«Если » 1) из таблицы взять цифры (цифру); 4) 7; 7) поместить её в разряд; 11) миллиардов; 1) из таблицы взять цифру; 5) 8; 7) поместить её в разряды; 9) десятки миллионов; 10) сотни миллионов; 16) сотни тысяч; 17) десятки тысяч; 22) в разряды тысяч и сотен поместить цифры 9 и 6. 21) остальные разряды заполнить нулями; «ТО » 26) получим число, равное времени (периоду) обращения планеты Плутон вокруг Солнца в секундах (с); «Это число равно »: 7880889600 с. В ответах оно обозначено буквой «в».

Решая задачи, карандашом записывайте цифры в ячейки таблицы.

Фасетный тест. Составьте число

В таблице записаны цифры:

Если

1) из таблицы взять цифру (цифры):

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) поместить эту цифру (цифры) в разряд (разряды);

8) сотни квадриллионов и десятки квадриллионов;

9) десятки миллионов;

10) сотни миллионов;

11) миллиардов;

12) квинтиллионов;

13) десятки квинтиллионов;

14) сотни квинтиллионов;

15) триллионов;

16) сотен тысяч;

17) десятки тысяч;

18) заполнить ею (ими) класс (классы);

19) квинтиллионов;

20) миллиардов;

21) остальные разряды заполнить нулями;

22) в разряды тысяч и сотен поместить цифры 9 и 6;

23) получим число, равное массе Земли в десятках тонн;

24) получим число, примерно равное объему Земли в куб.м;

25) получим число, равное расстоянию (в метрах) от Солнца до самой дальней планеты солнечной системы Плутона;

26) получим число, равное времени (периоду) обращения планеты Плутон вокруг Солнца в секундах (с);

Это число равно:

а) 5929000000000

б) 999990000000000000000

г) 598000000000000000000

Решите задачи:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Ответы

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - г

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - б

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - в

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - а

Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.

В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.

Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».

Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.

Запомните!

Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.

1, 2, 3, 4, 5…

Наименьшее натуральное число — 1 .

Наибольшего натурального числа не существует.

При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.

Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами .

Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.

Запомните!

Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.

Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .

Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.

Важно!

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

• 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
• 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
• 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)

Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.

Это число получило специальное название — гугол . Гугол — число, у которого 100 нулей.

Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.

В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.

Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».

Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.

Запомните!

Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.

1, 2, 3, 4, 5…

Наименьшее натуральное число — 1 .

Наибольшего натурального числа не существует.

При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.

Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами .

Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.

Запомните!

Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.

Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .

Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.

Важно!

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

• 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
• 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
• 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)

Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.

Это число получило специальное название — гугол . Гугол — число, у которого 100 нулей.

Натура́льные чи́сла (естественные числа) - числа , возникающие естественным образом при счёте. Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральным рядом .

Существуют два подхода к определению натуральных чисел - это числа, возникающие при:

• подсчёте (нумерации) предметов (первый , второй , третий , …);
• обозначении количества предметов (нет предметов , один предмет , два предмета , …).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором - с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход . Второй подход, например, применяется в трудах Бурбаки , где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств . Кроме того, отсчёт с нуля широко распространён в программировании (например, для индексации массивов, нумерации битов машинного слова и т. д.).

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

• $0=\backslash varnothing$
• $S(n)=n\backslash cup\backslash left\backslash \{n\backslash right\backslash \}$

Числа, заданные таким образом, называются ординальными .

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

• $0=\backslash varnothing$
• $1=\backslash left\backslash \{0\backslash right\backslash \}=\backslash left\backslash \{\backslash varnothing\backslash right\backslash \}$
• $2=\backslash left\backslash \{0,1\backslash right\backslash \}=\backslash big\backslash \{\backslash varnothing,\backslash ;\backslash left\backslash \{\backslash varnothing\backslash right\backslash \}\backslash big\backslash \}$
• $3=\backslash left\backslash \{0,1,2\backslash right\backslash \}=\backslash Big\backslash \{\backslash varnothing,\backslash ;\backslash left\backslash \{\backslash varnothing\backslash right\backslash \},\backslash ;\backslash big\backslash \{\backslash varnothing,\backslash ;\backslash left\backslash \{\backslash varnothing\backslash right\backslash \}\backslash big\backslash \}\backslash Big\backslash \}$

Ноль как натуральное число

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют $1$ на $0$. В этом случае нуль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств 0 является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом $\backslash N$ образует моноид .

В русской литературе обычно нуль исключён из числа натуральных чисел $0\backslash notin\backslash mathbb\{N\}$, а множество натуральных чисел с нулём обозначается как $\backslash mathbb\{N\}\_0$. Если в определение натуральных чисел включен нуль, то множество натуральных чисел записывается как $\backslash mathbb\{N\}$, а без нуля как $\backslash mathbb\{N\}^*$.

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество $\backslash \{1,2,\backslash dots\backslash \}$ обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают $\backslash Z\_+$. Множество $\backslash \{0,1,\backslash dots\backslash \}$ зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают $\backslash Z\_\{\backslash geqslant\; 0\}$.

Операции над натуральными числами

|заголовок3= Инструменты расширения
числовых систем |заголовок4= Иерархия чисел |список4=

$-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Целые числа $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ;\backslash ;0\{,\}12,\backslash frac\{2\}\{3\},\backslash ;\backslash ldots$ Рациональные числа
$-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0\{,\}12,\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt\{2\},\backslash ;\backslash ldots$	Вещественные числа

$-1,\backslash ;\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ;0\{,\}12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^\{i\backslash pi/3\},\backslash ;\backslash ldots$ Комплексные числа $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac\{1\}\{2\}k,\backslash ;\backslash dots$ Кватернионы $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}m,\backslash ;\backslash dots$ Октонионы $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_\{15\},\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac\{2\}\{5\}e\_7\; -\; \backslash frac\{1\}\{3\}e\_\{15\},\backslash ;\backslash dots$ Седенионы |заголовок5= Другие
числовые системы |заголовок6= См. также

Отрывок, характеризующий Натуральное число

После чая Николай, Соня и Наташа пошли в диванную, в свой любимый угол, в котором всегда начинались их самые задушевные разговоры.

– Бывает с тобой, – сказала Наташа брату, когда они уселись в диванной, – бывает с тобой, что тебе кажется, что ничего не будет – ничего; что всё, что хорошее, то было? И не то что скучно, а грустно?
– Еще как! – сказал он. – У меня бывало, что всё хорошо, все веселы, а мне придет в голову, что всё это уж надоело и что умирать всем надо. Я раз в полку не пошел на гулянье, а там играла музыка… и так мне вдруг скучно стало…
– Ах, я это знаю. Знаю, знаю, – подхватила Наташа. – Я еще маленькая была, так со мной это бывало. Помнишь, раз меня за сливы наказали и вы все танцовали, а я сидела в классной и рыдала, никогда не забуду: мне и грустно было и жалко было всех, и себя, и всех всех жалко. И, главное, я не виновата была, – сказала Наташа, – ты помнишь?
– Помню, – сказал Николай. – Я помню, что я к тебе пришел потом и мне хотелось тебя утешить и, знаешь, совестно было. Ужасно мы смешные были. У меня тогда была игрушка болванчик и я его тебе отдать хотел. Ты помнишь?
– А помнишь ты, – сказала Наташа с задумчивой улыбкой, как давно, давно, мы еще совсем маленькие были, дяденька нас позвал в кабинет, еще в старом доме, а темно было – мы это пришли и вдруг там стоит…
– Арап, – докончил Николай с радостной улыбкой, – как же не помнить? Я и теперь не знаю, что это был арап, или мы во сне видели, или нам рассказывали.
– Он серый был, помнишь, и белые зубы – стоит и смотрит на нас…
– Вы помните, Соня? – спросил Николай…
– Да, да я тоже помню что то, – робко отвечала Соня…
– Я ведь спрашивала про этого арапа у папа и у мама, – сказала Наташа. – Они говорят, что никакого арапа не было. А ведь вот ты помнишь!
– Как же, как теперь помню его зубы.
– Как это странно, точно во сне было. Я это люблю.
– А помнишь, как мы катали яйца в зале и вдруг две старухи, и стали по ковру вертеться. Это было, или нет? Помнишь, как хорошо было?
– Да. А помнишь, как папенька в синей шубе на крыльце выстрелил из ружья. – Они перебирали улыбаясь с наслаждением воспоминания, не грустного старческого, а поэтического юношеского воспоминания, те впечатления из самого дальнего прошедшего, где сновидение сливается с действительностью, и тихо смеялись, радуясь чему то.
Соня, как и всегда, отстала от них, хотя воспоминания их были общие.
Соня не помнила многого из того, что они вспоминали, а и то, что она помнила, не возбуждало в ней того поэтического чувства, которое они испытывали. Она только наслаждалась их радостью, стараясь подделаться под нее.
Она приняла участие только в том, когда они вспоминали первый приезд Сони. Соня рассказала, как она боялась Николая, потому что у него на курточке были снурки, и ей няня сказала, что и ее в снурки зашьют.
– А я помню: мне сказали, что ты под капустою родилась, – сказала Наташа, – и помню, что я тогда не смела не поверить, но знала, что это не правда, и так мне неловко было.
Во время этого разговора из задней двери диванной высунулась голова горничной. – Барышня, петуха принесли, – шопотом сказала девушка.
– Не надо, Поля, вели отнести, – сказала Наташа.
В середине разговоров, шедших в диванной, Диммлер вошел в комнату и подошел к арфе, стоявшей в углу. Он снял сукно, и арфа издала фальшивый звук.
– Эдуард Карлыч, сыграйте пожалуста мой любимый Nocturiene мосье Фильда, – сказал голос старой графини из гостиной.
Диммлер взял аккорд и, обратясь к Наташе, Николаю и Соне, сказал: – Молодежь, как смирно сидит!
– Да мы философствуем, – сказала Наташа, на минуту оглянувшись, и продолжала разговор. Разговор шел теперь о сновидениях.
Диммлер начал играть. Наташа неслышно, на цыпочках, подошла к столу, взяла свечу, вынесла ее и, вернувшись, тихо села на свое место. В комнате, особенно на диване, на котором они сидели, было темно, но в большие окна падал на пол серебряный свет полного месяца.
– Знаешь, я думаю, – сказала Наташа шопотом, придвигаясь к Николаю и Соне, когда уже Диммлер кончил и всё сидел, слабо перебирая струны, видимо в нерешительности оставить, или начать что нибудь новое, – что когда так вспоминаешь, вспоминаешь, всё вспоминаешь, до того довоспоминаешься, что помнишь то, что было еще прежде, чем я была на свете…
– Это метампсикова, – сказала Соня, которая всегда хорошо училась и все помнила. – Египтяне верили, что наши души были в животных и опять пойдут в животных.
– Нет, знаешь, я не верю этому, чтобы мы были в животных, – сказала Наташа тем же шопотом, хотя музыка и кончилась, – а я знаю наверное, что мы были ангелами там где то и здесь были, и от этого всё помним…
– Можно мне присоединиться к вам? – сказал тихо подошедший Диммлер и подсел к ним.
– Ежели бы мы были ангелами, так за что же мы попали ниже? – сказал Николай. – Нет, это не может быть!
– Не ниже, кто тебе сказал, что ниже?… Почему я знаю, чем я была прежде, – с убеждением возразила Наташа. – Ведь душа бессмертна… стало быть, ежели я буду жить всегда, так я и прежде жила, целую вечность жила.
– Да, но трудно нам представить вечность, – сказал Диммлер, который подошел к молодым людям с кроткой презрительной улыбкой, но теперь говорил так же тихо и серьезно, как и они.
– Отчего же трудно представить вечность? – сказала Наташа. – Нынче будет, завтра будет, всегда будет и вчера было и третьего дня было…
– Наташа! теперь твой черед. Спой мне что нибудь, – послышался голос графини. – Что вы уселись, точно заговорщики.
– Мама! мне так не хочется, – сказала Наташа, но вместе с тем встала.
Всем им, даже и немолодому Диммлеру, не хотелось прерывать разговор и уходить из уголка диванного, но Наташа встала, и Николай сел за клавикорды. Как всегда, став на средину залы и выбрав выгоднейшее место для резонанса, Наташа начала петь любимую пьесу своей матери.
Она сказала, что ей не хотелось петь, но она давно прежде, и долго после не пела так, как она пела в этот вечер. Граф Илья Андреич из кабинета, где он беседовал с Митинькой, слышал ее пенье, и как ученик, торопящийся итти играть, доканчивая урок, путался в словах, отдавая приказания управляющему и наконец замолчал, и Митинька, тоже слушая, молча с улыбкой, стоял перед графом. Николай не спускал глаз с сестры, и вместе с нею переводил дыхание. Соня, слушая, думала о том, какая громадная разница была между ей и ее другом и как невозможно было ей хоть на сколько нибудь быть столь обворожительной, как ее кузина. Старая графиня сидела с счастливо грустной улыбкой и слезами на глазах, изредка покачивая головой. Она думала и о Наташе, и о своей молодости, и о том, как что то неестественное и страшное есть в этом предстоящем браке Наташи с князем Андреем.
Диммлер, подсев к графине и закрыв глаза, слушал.
– Нет, графиня, – сказал он наконец, – это талант европейский, ей учиться нечего, этой мягкости, нежности, силы…
– Ах! как я боюсь за нее, как я боюсь, – сказала графиня, не помня, с кем она говорит. Ее материнское чутье говорило ей, что чего то слишком много в Наташе, и что от этого она не будет счастлива. Наташа не кончила еще петь, как в комнату вбежал восторженный четырнадцатилетний Петя с известием, что пришли ряженые.
Наташа вдруг остановилась.
– Дурак! – закричала она на брата, подбежала к стулу, упала на него и зарыдала так, что долго потом не могла остановиться.
– Ничего, маменька, право ничего, так: Петя испугал меня, – говорила она, стараясь улыбаться, но слезы всё текли и всхлипывания сдавливали горло.
Наряженные дворовые, медведи, турки, трактирщики, барыни, страшные и смешные, принеся с собою холод и веселье, сначала робко жались в передней; потом, прячась один за другого, вытеснялись в залу; и сначала застенчиво, а потом всё веселее и дружнее начались песни, пляски, хоровые и святочные игры. Графиня, узнав лица и посмеявшись на наряженных, ушла в гостиную. Граф Илья Андреич с сияющей улыбкой сидел в зале, одобряя играющих. Молодежь исчезла куда то.
Через полчаса в зале между другими ряжеными появилась еще старая барыня в фижмах – это был Николай. Турчанка был Петя. Паяс – это был Диммлер, гусар – Наташа и черкес – Соня, с нарисованными пробочными усами и бровями.
После снисходительного удивления, неузнавания и похвал со стороны не наряженных, молодые люди нашли, что костюмы так хороши, что надо было их показать еще кому нибудь.
Николай, которому хотелось по отличной дороге прокатить всех на своей тройке, предложил, взяв с собой из дворовых человек десять наряженных, ехать к дядюшке.
– Нет, ну что вы его, старика, расстроите! – сказала графиня, – да и негде повернуться у него. Уж ехать, так к Мелюковым.
Мелюкова была вдова с детьми разнообразного возраста, также с гувернантками и гувернерами, жившая в четырех верстах от Ростовых.

Математика выделилась из общей философии примерно в шестом веке до н. э., и с этого момента началось ее победное шествие по миру. Каждый этап развития вносил что-то новое - элементарный счет эволюционировал, преображался в дифференциальное и интегральное исчисление, сменялись века, формулы становились все запутаннее, и настал тот момент, когда «началась самая сложная математика - из нее исчезли все числа». Но что же лежало в основе?

Начало начал

Натуральные числа появились наравне с первыми математическими операциями. Раз корешок, два корешок, три корешок… Появились они благодаря индийским ученым, которые вывели первую позиционную

Слово «позиционность» означает, что расположение каждой цифры в числе строго определено и соответствует своему разряду. Например, числа 784 и 487 - цифры одни и те же, но числа не являются равносильными, так как первое включает в себя 7 сотен, тогда как второе - только 4. Нововведение индийцев подхватили арабы, которые довели числа до того вида, который мы знаем сейчас.

В древности числам придавалось мистическое значение, Пифагор полагал, что число лежит в основе сотворения мира наравне с основными стихиями - огнем, водой, землей, воздухом. Если рассматривать все лишь с математической стороны, то что такое натуральное число? Поле натуральных чисел обозначается как N и представляет собой бесконечный ряд из чисел, которые являются целыми и положительными: 1, 2, 3, … + ∞. Ноль исключается. Используется в основном для подсчета предметов и указания порядка.

Что такое в математике? Аксиомы Пеано

Поле N является базовым, на которое опирается элементарная математика. С течением времени выделяли поля целых, рациональных,

Работы итальянского математика Джузеппе Пеано сделали возможной дальнейшую структуризацию арифметики, добились ее формальности и подготовили почву для дальнейших выводов, которые выходили за рамки области поля N.

Что такое натуральное число, было выяснено ранее простым языком, ниже будет рассмотрено математическое определение на базе аксиом Пеано.

• Единица считается натуральным числом.
• Число, которое идет за натуральным числом, является натуральным.
• Перед единицей нет никакого натурального числа.
• Если число b следует как за числом c, так и за числом d, то c=d.
• Аксиома индукции, которая в свою очередь показывает, что такое натуральное число: если некоторое утверждение, которое зависит от параметра, верно для числа 1, то положим, что оно работает и для числа n из поля натуральных чисел N. Тогда утверждение верно и для n=1 из поля натуральных чисел N.

Основные операции для поля натуральных чисел

Так как поле N стало первым для математических расчетов, то именно к нему относятся как области определения, так и области значений ряда операций ниже. Они бывают замкнутыми и нет. Основным различием является то, что замкнутые операции гарантированно оставляют результат в рамках множества N вне зависимости от того, какие числа задействованы. Достаточно того, что они натуральные. Исход остальных численных взаимодействий уже не столь однозначен и напрямую зависит от того, что за числа участвуют в выражении, так как он может противоречить основному определению. Итак, замкнутые операции:

• сложение - x + y = z, где x, y, z включены в поле N;
• умножение - x * y = z, где x, y, z включены в поле N;
• возведение в степень - x y , где x, y включены в поле N.

Остальные операции, итог которых может не существовать в контексте определения "что такое натуральное число", следующие:

Свойства чисел, принадлежащих полю N

Все дальнейшие математические рассуждения будут основываться на следующих свойствах, самых тривиальных, но от этого не менее важных.

• Переместительное свойство сложения - x + y = y + x, где числа x, y включены в поле N. Или всем известное "от перемены мест слагаемых сумма не меняется".
• Переместительное свойство умножения - x * y = y * x, где числа x, y включены в поле N.
• Сочетательное свойство сложения - (x + y) + z = x + (y + z), где x, y, z включены в поле N.
• Сочетательное свойство умножения - (x * y) * z = x * (y * z), где числа x, y, z включены в поле N.
• распределительное свойство - x (y + z) = x * y + x * z, где числа x, y, z включены в поле N.

Таблица Пифагора

Одним из первых шагов в познании школьниками всей структуры элементарной математики после того, как они уяснили для себя, какие числа называются натуральными, является таблица Пифагора. Ее можно рассматривать не только с точки зрения науки, но и как ценнейший научный памятник.

Данная таблица умножения претерпела с течением времени ряд изменений: из нее убрали ноль, а числа от 1 до 10 обозначают сами себя, без учета порядков (сотни, тысячи...). Она представляет собой таблицу, в которой заглавия строк и столбцов - числа, а содержимое ячеек их пересечения равно их же произведению.

В практике обучения последних десятилетий наблюдалась необходимость заучивания таблицы Пифагора "по порядку", то есть сначала шло зазубривание. Умножение на 1 исключалось, так как результат был равен 1 или большему множителю. Между тем в таблице невооруженным взглядом можно заметить закономерность: произведение чисел растет на один шаг, который равен заглавию строки. Таким образом, второй множитель показывает нам, сколько раз нужно взять первый, дабы получить искомое произведение. Данная система не в пример удобнее той, что практиковалась в средние века: даже понимая, что такое натуральное число и насколько оно тривиально, люди умудрялись осложнять себе повседневный счет, пользуясь системой, которая базировалась на степенях двойки.

Подмножество как колыбель математики

На данный момент поле натуральных чисел N рассматривается лишь как одно из подмножеств комплексных чисел, но это не делает их менее ценными в науке. Натуральное число - первое, что познает ребенок, изучая себя и окружающий мир. Раз пальчик, два пальчик... Благодаря ему у человека формируется логическое мышление, а также умение определять причину и выводить следствие, подготавливая почву для больших открытий.