Логические операции над предикатами лекция. Операции над предикатами

С помощью логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности из исходных предикатов могут быть построены новые предикаты.

Отрицание предиката . Пусть предикат P(x 1 , x 2 , ..., x n) задан на множествах M 1 , M 2 , ..., M n . Предикат R(x 1 , x 2 ,..., x n) называется отрицанием предиката P(x 1 , x 2 , ..., x n) тогда и только тогда, если при одних и тех же кортежах (a 1 , a 2 , ... , a n), где а 1 M 1 , а 2 M 2 , ..., аn M n , высказывание P(a 1 , a 2 , ..., a n) истинно, когда R(a 1 , a 2 , ..., a n) - ложно и наоборот. Обозначение

R(x 1 , x 2 , ..., x n) ù P(x 1 , x 2 , ..., x n)

Например, предикат "n - четное число" есть отрицание предиката "n - нечетное число" на множестве целых чисел.

Конъюнкция предикатов . Пусть на множествах M 1 , M 2 , ..., M n заданы два n - местных предиката P(x 1 , x 2 , ..., x n) и R(x 1 , x 2 , ..., x n). Конъюнкцией этих предикатов называется предикат

Q(x 1 , x 2 , ..., x n) P(x 1 , x 2 , ..., x n) R(x 1 , x 2 , ..., x n),

который истинен для одних и тех же кортежей только тогда, когда оба предиката и P(x 1 , x 2 , ..., x n) и Q(x 1 , x 2 , ..., x n) истинны.

Например, конъюнкция предикатов "x 2 + y 2 1" и "x 0", где x, y - вещественные числа определяет предикат "точки правой половины единичного круга" (см. рис.2.2).

Дизъюнкция предикатов P(x 1 , x 2 , ..., x n) и R(x 1 , x 2 , ..., x n), есть новый предикат S(x 1 , x 2 , ..., x n) = P(x 1 , x 2 , ..., x n) R(x 1 , x 2 , ..., x n), который имеет значение "ложь" для тех и только тех кортежей из M 1 M 2 ... M n , для которых оба предиката и P(x 1 , x 2 , ..., x n) и R(x 1 , x 2 , ..., x n) имеют значение "ложь". На рис.2.3 иллюстрируется дизъюнкция предиката "x 2 + y 2 1" и "x 0" - (заштрихованная область).

Импликация предикатов P(x 1 , x 2 , ..., x n) и R(x 1 , x 2 , ..., x n), есть новый предикат T(x 1 , x 2 , ..., x n) = P(x 1 , x 2 , ..., x n) R(x 1 , x 2 , ..., x n), который имеет значение "ложь" для тех и только тех кортежей из M 1 M 2 ... M n , для которых предикат P(x 1 , x 2 , ..., x n) имеет значение "истина", а предикат R(x 1 , x 2 , ..., x n) имеет значение "ложь". Например, импликация "n делится на 4" " n делится на 2" есть предикат: "если n делится на 4, то n делится на 2".

Эквивалентность предикатов P(x 1 , x 2 , ..., x n) и R(x 1 , x 2 , ..., x n), есть новый предикат V(x 1 , x 2 , ..., x n) = P(x 1 , x 2 , ..., x n) R(x 1 , x 2 , ..., x n), который имеет значение "истина" для тех и только тех кортежей из M 1 M 2 ... M n , для которых предикат P(x 1 , x 2 , ..., x n) и предикат R(x 1 , x 2 , ..., x n) имеют одинаковые значение или оба "истина" или оба "ложь". Два предиката заданных на одних и тех же множествах называются равносильными , если при всех наборах входящих в них предметных переменных эти предикаты принимают одинаковые значения. Равносильность называют также логической эквивалентностью . Например, эквивалентность предикатов P(n) = "n делится на 6" и R(n) = "n делится на 2 и n делится на 3" есть предикат V(n) = P(n) R(n): "если n делится на 6, то n делится на 2 и на 3". Предикаты P(n) и R(n) логически эквивалентны.

Наряду с логическими операциями важную роль играют операции, называемые кванторами.

Квантор всеобщности есть операция, которая предикат P(x) превращает в высказывание: "все x обладают свойством P(x)". Знак квантора всеобщности " ". Он заменяет фразы: "для всех", "каждый", "любой" и т.п. Обозначение x: P(x) читается так: "для всех x таких, что P от x". Например, “P(x) = x>0 , где x - вещественное число”, есть предикат "x - положительное число". Тогда x: P(x) есть высказывание "каждое число - положительно". Это ложное высказывание. Если же x - любое натуральное число (x N), то x: P(x) есть выражение: "каждое натуральное число - положительно" - истинное высказывание.

Квантор всеобщности можно рассматривать как обобщение серии конъюнкций единичных высказываний. Пусть M - множество очков, которое может выпасть при бросании игральной кости, т.е. M ={1,2,3,4,5,6} и P(x) - предикат: "при бросании игральной кости один раз выпадает x очков", где x M. Применение квантора всеобщности позволяет вместо сложного высказывания P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) записать равносильное ему компактное высказывание x: P(x), x M: "при бросании игральной кости один раз может выпасть любое из шести первых натуральных чисел".

Квантор существования есть операция, которая предикат P(x) превращает в высказывание: "существует хотя бы один x из M, обладающий свойством P(x)". Знак квантора существования " ". Он заменяет фразы: "существует, хотя бы один", "найдется", "некоторый" и т.п. Обозначение x: P(x) читается так: "существует хотя бы один x такой, что P от x". Например, P(x) - предикат: "x - студент", где x - элемент множества жителей Москвы. Тогда выражение x: P(x) есть высказывание "хотя бы один житель Москвы является студентом".

Квантор существования можно рассматривать как обобщение серии дизъюнкций единичных высказываний. Если задано множество M={a 1 , a 2 , ..., a n } и на нем определен предикат P(x), то

P(а 1) P(а 2) ... P(а n) ( x M): P(x).

Кванторы обладают свойствами, являющимися аналогами законов де Моргана:

ù( x: P(х)) х:ù P(х),

ù( х: P(х)) х: ùP(х).

С помощью кванторов можно выражать ряд часто используемых на практике отношений между множествами. Например, высказывание "все объекты х из данного множества, обладающие свойством P(х), обладают также и свойством R(х)" формально можно записать так; х: (P(х) R(х)).

Переход от P(х) к х:P(х) или х:P(х) называется квантификацией или связыванием переменнойх . Связанная переменная фактически не является переменной, т.е. переход от х: P(х) к y:P(y) или от х:P(х) к y: P(y) не меняет истинности выражений. Навешивание переменной на многоместный предикат уменьшает в нем число свободных переменных и превращает его в предикат от меньшего числа переменных.

Рассмотрим пример. На множестве чисел задан двухместный предикат P(х,y)="число х делится на число y". Связывая одну переменную, можно получить следующие одноместные предикаты:

Х: P(х,y) = "каждое число делится на y" - ложь;

X: P(x,y) = "существует число, которое делится на y"- истина;

Y: P(х,y) = "число х делится на любое число" - ложь;

Y: P(х,y) = "существует число на которое делится х" - истина.

Связывая обе переменные данного предиката, получим высказывания:

Х, y:P(х,y)="каждое число делится на любое число" - ложное высказывание,

Х, y:P(х,y)="существует число, на которое делится любое число" - истина, т.к. такое число есть 1,

Х, y:P(х,y)="существует число, которое делится на любое число" - ложное высказывание,

Х, y: P(х,y)="существует число, которое делится на какое-нибудь число" - истинное высказывание.

Предикаты, так же, как высказывания. принимают два значения u и л (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х).

Определение 1. Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х)& Q(х), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинности предиката P(x)&Q(x) является общая часть областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), то есть пересечение

Так, например, для предикатов Р(х): «х – четное число» и Q(х): «х кратно 3» конъюнкцией P(x)&Q(x) является предикат «x– четное число» и «х кратно 3», то есть предикат «x делится на 6».

Определение 2. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х) ∨Q(x), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Ясно, что область истинности предиката Р(х) ∨Q(х) является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), то есть объединение.

Определение 3. Отрицанием предиката Р(х) называется новый предикат Р(х), который принимает значение «истина» при всех значениях . при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях, при которых предикат Р(х) принимает значение «истина».

Из этого определения следует, что .

Определение 4. Импликацией предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х) → Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», а Q(x) – значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Так как при каждом фиксированном справедлива равносильность, то

.

1. Кванторные операции

Пусть имеется предикат Р(х), определенный на множестве М. Если а – некоторый элемент из множества М, то подстановка его вместо х в предикат Р(х) превращает этот предикат в высказывание Р(а). Такое высказывание называется единичным. Наряду c образованием из предикатов единичных высказываний в логике предикатов рассматривается еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание.

1.Квантор всеобщности. Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х.

Соответствующее ему словесное выражение будет «Для всякого х Р(х) истинно». Символ называют квантором всеобщности. Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказываниипеременную х называют связанной квантором.

2. Квантор существования. Пусть Р(х) – предикат определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент, для которого Р(х) истинно, и ложным в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение будет: «Существует х, при котором Р(х) истинно». Символназывают квантором существования. В высказываниипеременная х связана квантором.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат Р(х,у). Применение кванторной операции к предикату Р(х,у) по переменной х ставит в соответствие двухместному предикату Р(х,y) одноместный предикат(или одноместный предикат) , зависящий от переменной у и не зависящий от переменной х. К ним можно применить кванторные операции по переменнойy, которые приведут уже высказываниям следующих видов:

,,,

Например, рассмотрим предикат Р(х,у): «х:у», определенный на множестве N. Применение кванторных операций к предикату Р(х, у) приводит к восьми возможным высказываниям:

1. – «Для всякого у и для всякого х у является делителем х».

2. – «Существует у, которое является делителем всякого х».

3. , – «Для всякого у существует х такое, что х делится на у».

4. – «Существует у и существует х такие, что у является делителем х».

5. – «Для всякого х и для всякого у у является делителем х».

6. «Для всякого х существует такое у, что х делится на y».

7. «Существует х и существует у такие, что у является делителем х».

8. – «Существует х такое, что для всякoгo у х делится наy».

Легко видеть, что высказывания 1, 5 и 8 ложны, а высказывания 2, 3, 4, 6 и 7 истинны.

Из рассмотренных примеров видно, что в общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания, а значит, и eгo логическое значение (например, высказывания 3 и 8).

Рассмотрим предикат Р(х), определенный на множестве , содержащем конечное число элементов. Если предикат Р(х) является тождественно истинным, то истинными будут высказывания. При этом истинными будут высказываниеи конъюнкция.

Если же хотя бы для одного элемента окажется ложным, то ложными будут высказываниеи конъюнкция, следовательно, справедлива равносильность.

Нетрудно показать, что справедлива и равносильность

Отсюда видно, что кванторные операции можно рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции на случай бесконечных областей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. ДИЗЪЮНКЦИЕЙ предикатов, заданных на множестве Х, называется предикат А(х) В(х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из множества Х (х Х), при которых хотя бы один из предикатов А(х) и В(х) обращается в истинное высказывание.

Width:="" auto="">

Можно заметить, что множеством истинности дизъюнкции предикатов является объединение множеств ТА и Т В, т. е. Т А В =ТА ТВ. Докажем это предположение.

1). Сначала докажем, что множество Т А В является подмножеством множества ТА ТВ (Т А В ТА ТВ). Пусть x = a – произвольный элемент из множества ТА В, т. е. а ТА В. Следовательно, А(а) В(а) – «и» высказывания. По определению, А(а) В(а) – «и» только тогда, когда А(а) – «и» или В(а) – «и. »

Если А(а) – и, то а ТА, если В(а) - и, то а ТВ. Т. к. А(а) В(а) – и, то а ТА или а ТВ –, это значит, что а ТА ТВ. а - произвольный элемент из ТА В, следовательно, все элементы множества ТА В принадлежат множеству ТА ТВ, т. е. ТА В ТА ТВ, ч. т. д.

2). Докажем, что множество ТА ТВ является подмножеством множества Т А В (ТА ТВ Т А В). Пусть х = в – произвольный элемент из ТА ТВ, в ТА ТВ, по определению, в ТА или в ТВ А(в) – «и» или В(в)- «и» А(в) В В(в)- «и» в ТА В.

Следовательно, если в ТА ТВ, то в ТА В. т. к. Т. К. в – произвольный элемент из ТА ТВ, то ТА ТВ Т А В, ч. т. д.

Из пунктов 1 и 2 по определению равных множеств следует справедливость равенства Т А В = ТА ТВ Заметим, что полученное правило справедливо и для предикатов, содержащих более одной переменной.

ПРИМЕР. Предикаты: А(х)- «х-делитель числа 15» и В(х) - «х –делитель числа 16» . Множество истинности А(х)- ТА ={1, 3, 5, 15 }, множество истинности В(х) -ТВ ={1, 2, 4, 8, 16}. Множество истинности дизъюнкции предикатов Т А В = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 15, 16}.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. ОТРИЦАНИЕМ предиката А(х), заданного на множестве Х, называется предикат А(х) (« не А(х) »), определенный на том же множестве и истинный при тех и только тех значениях переменной х из множества Х (х Х), при которых предикат А(х) обращается в ложное высказывание.

ПРИМЕР. Предикат А(х)- « х - четное число » . Отрицание предиката: А(х) «х - нечетное число» . Пусть область определения предиката А(х) - Х={х, х N, х

Множество истинности предиката А(х) - все нечетные числа, меньшие 10: ТА = {1, 3, 5, 7, 9}. Из примера видно, что ТА = Х ТА = ТА т. е. множество истинности предиката « не А(х) » является дополнением к множеству истинности предиката А(х). Х = ТА

КВАНТОР – общее название для логических операций, которые по предикату Р(х) строят высказывание, характеризующее область истинности предиката Р(х). В математической логике наиболее употребительны квантор всеобщности (х), квантор существования (х) и квантор единственности существования (! х).

Выражение «для всех х» («для любого х» , «для каждого х») называется квантором общности и обозначается х. Выражение «существует такое х» («для некоторых х» , «хотя бы для одного х» , «найдется такое х») называется квантором существования и обозначается х.

Высказывание, полученное из предиката Р(х) при помощи квантора общности, записывается в виде (х Х) Р(х) Высказывание, полученное из предиката Р(х) при помощи квантора существования, записывается в виде (х Х) Р(х) Высказывание «существует одно и только одно х X, для которого истинно Р(х) обозначают (!х X) Р(х)

Для того чтобы получить высказывание из многоместного предиката надо связать кванторами каждую переменную. Например, если Р (х, у) – двухместный предикат, то (х Х)(у Y) Р(х, у) – высказывание. ПРИМЕР. Задан предикат Р(х, у): «х>у» . Для получения высказывания надо связать кванторами обе переменные: например, (Х)(у) х>у или (у)(х) х>у.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСТИННОСТИ ВЫСКАЗЫВАНИЯ С КВАНТОРАМИ ИСТИННОСТЬ высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности таких высказываний (опровергнуть их) достаточно привести контрпример. .

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Для опровержения такого высказывания необходимо провести доказательство. Для чего нужны кванторы?

ВЫВОД. ПРЕДИКАТ обращается в ВЫСКАЗЫВАНИЕ двумя способами: 1). По определению, подставив вместо переменных их конкретные значения из области определения предиката; 2). Связать кванторами переменные, содержащиеся в предикате. Если предикат содержит несколько переменных, необходимо связать квантором каждую переменную.

ПРИМЕР. Пусть дано высказывание А: « Любые четные числа кратны 3» . Высказывание А: « Не любые четные числа кратны 3» или высказывание А: «Неверно, что любые четные числа кратны 3» , другими словами это можно сказать так: «существуют (есть) четные числа не кратные 3» . 8, 10, …

Для построения отрицания высказываний с кванторами надо: 1) квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования на квантор общности; 2) предложение, стоящее после квантора, заменить его отрицанием. (х Х) А(х) = (х Х) А (х) (х Х) А(х) = (х Х)А (х). Таким образом, получаем две равносильности. Или перед данным высказыванием ставят слова: «неверно, что» .

Это правило сохраняется и в том случае, если высказывание содержит не один, а несколько кванторов, например: (х Х)(х Y) А(х, y) = (х Х) (х Y) А (х, y) Для построения отрицания полезны следующие формулы: А(х) В(х) = А(х) В(х) , А(х) В(х)=А(х) В(х)

Рассмотрим два предиката А (х) и В (х). Пусть А (х) – «х: 6» ; В (х) – «х: 3» . Образуем импликацию предикатов «Если х: 6, то х: 3» . Множества истинности предикатов А(х) – ТА= {6, 12, 18, …}; В(х) – ТВ = {3, 6, 9, 12, 15, 18, … }. Из того, что «х: 6» всегда следует, что «х: 3» .

В этом случае говорят, что предикат В(х) логически следует из предиката А(х), а предикаты А(х) и В(х) находятся в отношении логического следования.

В этом случае множество истинности импликации таких предикатов совпадает с ее областью определения Т А В = Х. Отношение логического следования обозначается всегда А(х) => В (х).

Предикат А(х) называют достаточным условием для В(х), а предикат В(х) называют необходимым условием для предиката А(х). Это возможно тогда и только тогда, когда ТА ТВ. .

Src="https://present5.com/presentation/3/-42558499_158059721.pdf-img/-42558499_158059721.pdf-32.jpg" alt="Пример. Предложение «х: 6» => «х: 3» в этом случае читают так: чтобы «х:"> Пример. Предложение «х: 6» => «х: 3» в этом случае читают так: чтобы «х: 3» – достаточно, чтобы «х: 6» , а чтобы «х: 6» необходимо, чтобы «х: 3» .

Src="https://present5.com/presentation/3/-42558499_158059721.pdf-img/-42558499_158059721.pdf-33.jpg" alt="Логическое следование: достат. необход. А(х) => B(x), TА ТВ "> Логическое следование: достат. необход. А(х) => B(x), TА ТВ

Src="https://present5.com/presentation/3/-42558499_158059721.pdf-img/-42558499_158059721.pdf-34.jpg" alt="Пример: Предложение «х: 4» => «х: 2» в этом случае читают так: чтобы «х:"> Пример: Предложение «х: 4» => «х: 2» в этом случае читают так: чтобы «х: 2» – достаточно, чтобы «х: 4» , а для того чтобы «х: 4» необходимо, чтобы «х: 2» .

Если из А(х) следует В(х) и из В(х) следует А(х), то предикаты А(х) и В(х) называют равносильными или эквивалентными и записывают А(х) В(х). Это возможно тогда и только тогда, когда ТА= ТВ.

В этом случае А(х) является необходимым и достаточным условием для В(х), а В(х) – необходимым и достаточным условием для А(х). При этом А(х) => В(х) и В(х) =>А (х). ПРИМЕР. А(х)- «число х делится на 9» , В(х)- «сумма цифр числа х делится на 9» . А(х) В(х)

Теорема –это предложение (утверждение), истинность которого может быть доказана. Теоремы часто формулируются в виде импликаций: если А(х), то В(х) для каждого х, т. е. (х х)А(х) => В(х).

Src="https://present5.com/presentation/3/-42558499_158059721.pdf-img/-42558499_158059721.pdf-39.jpg" alt="(х х)А(х) => В(х). Чаще всего ее записывают так А => В (1)"> (х х)А(х) => В(х). Чаще всего ее записывают так А => В (1) Для всякой теоремы (1) можно сформулировать предложение: «Если В, то А» - обратное данному. Но не всегда это предложение является теоремой.

Пример. «Если углы вертикальные, то они равные» . Обратное предложение: « Если углы равны, то они вертикальные» . или «Если четырехугольник – прямоугольник, то в нем диагонали равны» . Обратное: не верно. Какой пример?

Но если обратное предложение – истинно, то оно наз. обратной теоремой. Например: Т 1: « Если треугольник прямоуг. , то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» Обратное: « Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то треуг. – прямоуг. » Это -истина, поэтому оно наз. Теоремой, обратной данной.

Если в теореме Для всякой теоремы « Если А, то В» можно сформулировать предложение: « Если не А, то не В» . (если А, то В) Это предложение наз. Противоположным данному. Всегда ли оно будет теоремой? Пример. В том случае, если предложение является теоремой, то его наз. теоремой, противоположной данной. Если

Итак, если для теоремы «Если А, то В» сформулировать предложение, обратное или противоположное ей, то их надо доказывать и только тогда они будут наз. теоремой, обратной или противоположной данной. , если их истинность будет доказана

Для всякой теоремы « Если А, то В» можно сформулировать предложение « Если не В, то не А» «Если В, то А» - обратным противоположному. «Если углы -вертикальные, то они равны» и « если углы не равны, то они и не вертикальные» . Эти предложения всегда истинны, т. е всегда теорема. (А В В А). Эту равносильность наз. законом контрапозиции

Примеры: 1. Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпедикулярны. 2. Если каждое слагаемое - четное число, то и сумма - четная.

Это предложение наз. Противоположным данному. Всегда ли оно будет теоремой? Пример. В том случае, если предложение является теоремой, то его наз. теоремой, противоположной данной. Итак, если для теоремы «Если А, то В» сформулировать предложение, обратное или противоположное ей, то их надо доказывать и только тогда они будут наз. теоремой, обратной или противоположной данной.

Так как для любого набора значений переменных из области определения предиката он превращается в высказывание, то на множестве предикатов определены те же логические операции, что и для высказываний. При этом от содержания предикатов отвлекаются. Предикаты рассматриваются только с точки зрения их значения. Другими словами, равносильные предикаты не различаются.

Определение 1: Отрицанием - местного предиката
, определенного на множестве
, называется новый- местный предикат, определенный на том же множестве. Обозначается:
. Читается: «неверно, что
». Предикат
принимает значение «истина» только для тех аргументов, для которых значение предиката
есть «ложь» и наоборот. Другими словами предикат
удовлетворяется теми и только теми аргументами, которые не удовлетворяют данному предикату
.

Двуместный предикат
принимает значение «истина» для тех и только тех значений переменных
из области определения предиката, для которых предикат
принимает значение «ложь», т. е..

Определение 2: Конъюнкцией - местного предиката
, определенного на множестве
, и
- местного предиката
, определенного на множестве
, называется новый
- местный предикат, определенный на множестве
, обозначаемый. Читается: «
и
». Этот предикат принимает значение «истина» только для тех значений аргументов, для которых предикаты
и
одновременно принимают значение «истина».

Если, например,
- двуместный предикат, определённый на множестве
, а
- одноместный предикат, определённый на множестве, то конъюнкция этих предикатов
есть трёхместный предикат, определённый на множестве
. Этот новый предикат принимает значение «истина» для таких троек элементов
,
,
,
, для которых
и
.

Аналогично определяются дизъюнкция, импликация и эквивалентность предикатов. Значения предикатов при заданных значениях свободных переменных определяются в соответствии с конкретными логическими операциями. Операции
можно применять также к предикатам, у которых имеются общие переменные. В таком случае число переменных полученного составного предиката будет равняться числу различных переменных у его членов. В частности, если операции
применяются к двум- местным предикатам, зависящим от одних и тех же переменных, то в результате применения логических операций получается- местный предикат, зависящий от тех же переменных.

Пусть
и
– два- местных предиката, зависящих от одних и тех же переменных. Тогда:

а) множество истинности конъюнкции равно пересечению множеств истинности ее членов;

б) множество истинности дизъюнкции равно объединению множеств истинности ее членов.

Не трудно показать, что конъюнкция двух предикатов тождественно истинна тогда и только тогда, когда оба данных предиката тождественно истинны. Дизъюнкция двух предикатов выполнима тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них выполним. Дизъюнкция двух предикатов тождественно ложна тогда и только тогда, когда оба данных предиката тождественно ложны. Импликация двух - местных предикатов зависящих от одних и тех же аргументов, тождественно истинна тогда и только тогда, когда ее заключение является следствием посылки. Эквивалентность двух- местных предикатов, зависящих от одних и тех же переменных тождественно истинна тогда и только тогда, когда оба предиката равносильны.

Всякое уравнение (неравенство), содержащее переменные, является предикатом, определённым на том же множестве, на котором задано уравнение (неравенство). Множество решений уравнения (неравенства) есть ничто иное, как множество истинности предиката. Это означает, что при подстановке корней уравнения (или решений неравенства) вместо неизвестных будут получены истинные высказывания. Если же в уравнение (неравенство) вместо переменных подставлять числа, не являющиеся решениями, то будут получены ложные высказывания. Всякая система уравнений (неравенств) может быть рассмотрена, как конъюнкция предикатов. Решить систему – значит найти область истинности конъюнкции предикатов. Совокупность уравнений (неравенств) есть ничто иное, как дизъюнкция предикатов. Равносильность уравнений (неравенств) означает равносильность соответствующих предикатов.

Если
, то говорят, что аргумент
удовлетворяет данному предикату. Например, число 3 удовлетворяет предикату
, а число 1 ему не удовлетворяет.

В математической логике кроме логических операций над предикатами, существуют операции квантификации , которые делают логику предикатов значительно богаче по содержанию в сравнении с логикой высказываний. При этом, как и в случае простейших операций, предикаты рассматриваются только сточки зрения их значений, т.е. равносильные предикаты не различаются. Основными кванторными операциями являются: квантор общности и квантор существования, которые являются двойственными друг для друга.

Определение 3: Пусть
- одноместный предикат, определенный на непустом множестве

в высказывание:
(читается: «для любоговыполняется
»), называетсяквантором общности (или универсальным высказыванием). Высказывание
истинно тогда и только тогда, когда данный предикат
тождественно истинный (т. е. область истинности предиката
совпадает с множеством
).

Символ называется квантором общности по переменой, его читают: «для всех» или «для каждого». Говорят, что высказывание
есть результат применения квантора общности к предикату
. Символпроисходит от английского слова «All» (в переводе: «все»).

Например, для предикатов «
» и «
», определенных на множестве действительных чисел, соответствующие универсальные высказывания будут иметь вид:
– «каждое действительное число равно самому себе» (истинное) и
– «каждое действительное число больше 2» (ложное).

Теорема 1: Если
- одноместный предикат, определенный на конечном множестве, состоящем из
элементов,,…,, то соответствующее ему универсальное высказывание эквивалентно конъюнкции
высказываний:

Доказательство. В самом деле, согласно определению квантора общности, высказывание

тождественно истинный, т.е. когда истинны все
высказываний, получаемые из данного предиката при замене переменногоаргументами,,…,соответственно. Последнее замечание возможно в том и только том случае, когда истинна конъюнкция этих
высказываний. Т.е. члены эквивалентности одновременно истинны или ложны, а, следовательно, эквивалентность доказана.

Теорема показывает, что для предикатов, определенных на конечном множестве, операция применения квантора общности может быть выражена через конъюнкцию. Для предикатов, определенных на бесконечном множестве, это сделать невозможно, в этом случае операция применения квантора общности является абсолютно новой.

Определение 4: Пусть
- одноместный предикат, определенный на множестве
. Операция, превращающая предикат
в высказывание
(читается: «существует, удовлетворяющее предикату
»), называетсяквантором существования (или экзистенциональным высказыванием). Высказывание
будет истинным тогда и только тогда, когда предикат
выполнимый. Это высказывание будет ложным, если предикат
тождественно ложный.

Символ называется квантором существования по переменной. Его можно прочитать: «существуеттакой, что
», или «найдётся такой, что
». Символпроисходит от английского слова «Exist» (существует).

Теорема 2: Если
– одноместный предикат, определенный на конечном множестве из
элементов,,…,, то соответствующее ему экзистенциональное высказывание эквивалентно дизъюнкции
высказываний:

Доказательство: По определению: высказывание
будет ложно тогда и только тогда, когда ложны все
высказываний, которые получаются из данного предиката при замене переменнойаргументами,,…,соответственно. Последнее замечание возможно в том и только в том случае, когда ложна дизъюнкция этих
высказываний. Т.е. члены эквивалентности одновременно истинны или ложны, следовательно, эта эквивалентность истинна.

Эта теорема утверждает, что для предикатов, определенных на конечных множествах, операция применения квантора существования может быть выражена через дизъюнкцию. Для предикатов, определенных на бесконечных множествах, это сделать невозможно. Операция применения квантора существования тогда является абсолютно новой.

Следует запомнить, что для любого предиката
, определенного на множестве
выражения
и
– это высказывания, а не предикаты. Присутствие переменнойздесь чисто внешнее, связанное со способом обозначений. Поэтому переменная, входящая в выражения
и
, называетсясвязанной переменной, в отличие от переменной, входящей в предикат
, где переменная называетсясвободной. Если применить операцию «навешивания» кванторов двуместному предикату
по какой-нибудь переменной, то в результате двуместный предикат превратится в одноместный предикат с одной свободной переменной. Аналогичные рассуждения можно провести для второй переменной. Переменная, по которой был применён квантор, называетсясвязной переменной. Если применить кванторную операцию к - местному предикату по какой-нибудь переменной, то он превратится в
- местный предикат.

Если в любом предикате все переменные связаны, то этот предикат является высказыванием. Например, рассмотрим предикат
, определённый на некотором числовом множестве. Составим высказывание
. Это ложное высказывание, которое утверждает, что найдётся такое число, которое больше всякого числа(- единственное число для всех). Поменяв местами кванторы, получим новое высказывание:
. Это высказывание утверждает, что для любого числаможно подобрать такое число, что выполняется неравенство
(для каждогосуществует своё число). Это высказывание истинно. Видно, что при перестановке кванторов местами меняется смысл высказывания. Таким образом,перестановка разноимённых кванторов местами является недопустимой операцией. Одноимённые кванторы местами менять можно. Причем, одноимённые кванторы можно объединять в один, например: . Недопустимым является также применение нескольких кванторов по одной и той же переменной, например:
.

Определение 5: Универсальным высказыванием , соответствующим - местному предикату
, определенному на множестве

последовательным применениемкванторов общности по переменным
в любом порядке.

Обозначается такое высказывание и читается кратко так: «для всех
выполняется
».

Определение 6: Экзистенциональным высказыванием, соответствующим - местному предикату
, определенному на множестве
, называется высказывание, полученное из
последовательным применениемкванторов существования по переменным
в любом порядке.

Полученное экзистенциональное высказывание обозначают и читают так: «существует такой набор
, что выполняется
».

Например, для двуместного предиката «
» соответствующие высказывания имеют вид:
– «для любых двух действительных чисел: первое больше второго» (ложное), и
– «существуют два действительных числа, из которых первое больше второго» (истинное).

Теорема 3: (Условие тождественной истинности квантифицированного предиката).

‑местный предикат, полученный из ‑ местного предиката
, определенного на множестве
, применением квантора общности по какой–либо переменной является тождественно истинным тогда и только тогда, когда данный предикат
– тождественно истинный.

Доказательство: Действительно, пусть дан
- местный предикат
, определенный на множестве
. По определению, этот предикат будет тождественно истинным тогда и только тогда, когда его значение для произвольно взятых значений аргументов есть «истина». Это значит, что истинным является универсальное высказывание

, определенному на множестве
. Последнее замечание возможно тогда и только тогда, когда предикат
– тождественно истинный, но т.к. аргументы
выбирались произвольно, то это равносильно тождественной истинности данного- местного предиката
. Теорема доказана.

Теорема 4: (Условие тождественной ложности квантифицированного предиката).

-местный предикат, полученный из - местного предиката
, определенного на множестве
, применением квантора существования по какой-либо переменной, тождественно ложен тогда и только тогда, когда данный предикат тождественно ложен.

Доказательство: Пусть имеем
- местный предикат
, определенный на множестве
. Он будет тождественно ложен тогда и только тогда, когда его значение для произвольно взятых аргументов
есть «ложь». Это значит, что ложно экзистенциональное высказывание
, соответствующее одноместному предикату
, определенному на множестве
. Последнее возможно в том и только в том случае, когда предикат
тождественно ложен, а т.к. аргументы
выбирались произвольно, то и данный- местный предикат
тождественно ложен. Что и требовалось доказать.

До сих пор мы противопоставляли предикаты высказываниям. Однако удобнее считать высказывания 0 ‑ местными предикатами. Тогда любые два истинные и любые два ложных высказывания следует считать равносильными между собой.

Рассмотрим выражение «х –– простое число». Подставляя вместо х числа 3, 4, получаем высказывания, причем в первом случае оно будет истинным, а во втором –– ложным. Таким образом, каждому натуральному числу соответствует значение «И» и «Л» в зависимости от того, является оно простым или нет.

Следовательно, выражение «х –– простое число» определяет функцию одной переменной (одноместную), заданную на множестве натуральных чисел со значениями в множестве {И, Л}.

Аналогично, подставляя в выражение «х Подобным образом выражение «х и у –– родители z» определяет функцию трех переменных (трехместную) на множестве людей со значениями в множестве {И, Л}. Выражение х1 + х2 + … + хn = 0 определяет функцию n переменных (n–местную), заданную на множестве действительных чисел со значениями в множестве {И, Л}:

Такие функции называются предикатами.

Определение 1. n–местным предикатом на множестве М называется n–местная функция, аргументы которой принимают значения из множества М, а область значений есть множество {И, Л}.

Короче, n–местным предикатом на множестве М называется функция типа Мп→{И, Л}.

Для обозначения предикатов используют либо большие латинские буквы, либо символы: А(х, у), В(х), Р(х1, х2,…, хn) и т.д. (к предикантным символам А, В, Р добавляют в скобках символы переменных, от которых зависят данные предикаты). При этом, например, выражение А(10, 8) служит для обозначения (постоянного) высказывания, которое получается, если переменным х, и у предиката А(х, у) придать соответственно значения 10 и 8. Некоторые предикаты записывают с помощью тех или иных знаков, имеющих в теории определенный смысл, например: х = у, х > у, х + у = z и т.д.

При n = 1 n–местный предикат называют унарным, при n = 2 –– бинарным, а при n = 3 –– тернарным.

Определение 2. Пусть Р(х1, х2,…, хn) –– n–местный предикат, определенный на множестве М. Множеством истинности этого предиката называется совокупность таких упорядоченных n–ок (х1, …, хn), для которых Р(х1, х2,…, хn) принимает значение И.

Определение 3. Два предиката Р(х1, …, хn) и Q(х1, …, хn), определенные на одном и том же множестве М, называются равносильными на множестве М, если они принимают одинаковые значения И или Л при любых значениях х1, …, хn из множества М.

Таким образом, два предиката Р(х1, …, хn) и Q(х1, …, хn) на множестве М называются равносильными на множестве М, если множества истинности этих предикатов совпадают.

Определение 4. Предикат Р(х1, …, хn), определенный на множестве М, называется тождественно–истинным (тождественно–ложным) на М, если при подстановке вместо х1, …, хn любых элементов из множества М он принимает значение И (Л), т.е. множество истинности этого предиката Мn (пустое).

Предикаты, как и высказывания, принимают значения И и Л, поэтому над ними можно производить логические операции, аналогичные операциям логики высказываний.

Пример. Пусть Р(х) и Q(х) –– два одноместных предиката, определенных на множестве М. Тогда Р(х) Ù Q(х) –– предикат на множестве М. Он является истинным для тех и только тех элементов из М, для которых оба предиката Р(х) и Q(х) истинны, т.е. множество истинности предиката Р(х) Ù Q(х) равно пересечению множеств истинности предикатов Р(х) и Q(х).

Аналогично определяется Р(х) U Q(х). Предикат Р(х) U Q(х) задан на том же множестве М и является истинным для тех и только тех элементов х из М, для которых истинен хотя бы один из предикатов Р(х) и Q(х), т.е. множество истинности предиката Р(х) U Q(х) равна объединению множеств истинности предикатов Р(х) и Q(х).

Предикат определен на множестве М и истинен для тех и только тех элементов х из М, для которых Р(х) ложен. Другими словами, множество истинности предиката –– дополнение в М множества истинности предиката Р(х).

Подобным образом вводятся предикаты Р(х) ? Q(х), Р(х) Û Q(х).

Операции логики высказываний над многоместными предикатами определяются аналогично. Необходимо только следить за тем, какие переменные обозначены одинаковыми буквами, а какие –– различными. Поясним это на примерах.

Пусть Р(х, у) и Q(х, у) –– два двухместных предиката, определенных на множестве М. Тогда Р(х, у) Ù Q(y, z) –– трехместный предикат на множестве М, он принимает значение И для тех и только тех упорядоченных троек (х, у, z) множества М, для которых Р(х, у) и Q(y, z) одновременно принимают значения И.

Отметим еще, что Р(х, у) Ù Q(х, у) –– двухместный, а Р(х, у) Ù Q(z, v) –– четырехместный предикаты, определенные на множестве М.

Если Р(х) и Q(х) –– два одноместных предиката, то не следует смешивать предикаты Р(х) Ù Q(х) и Р(х) Ù Q(у). Первый из них –– одноместный, а второй –– двухместный предикаты.

Рассмотрим ещё ряд операции в логике предикатов, которые называются кванторами, и делают логику предикатов более богатой, чем логика высказываний.

Определение 5. Пусть Р(х) –– одноместный предикат, определенный на множестве М. Символом обозначим высказывание, которое истинно, если Р(х) принимает значение И для любого элемента х множества М, и ложное в противоположном случае, т. е. –– истинное высказывание, если множество истинности предиката Р(х) совпадает со всем множеством М (Р(х) –– предикат, тождественно–истинный на множестве М); в противоположном случае –– ложное высказывание.

Часть в выражении называется квантором общности (всеобщности). Выражение читается «для любого х Р(х)». Символ –– перевернутая первая буква слова all (англ.), allе (нем.).

Пусть Р(х) –– предикат «х –– простое число», определенный на множестве натуральных чисел. Тогда высказывание (х –– простое число) ложно на множестве натуральных чисел. Это же высказывание (х –– простое число) истинно на множестве простых чисел.

Определение 6. Пусть Р(х) –– одноместный предикат, определенный на множестве М. Символом $ обозначим высказывание, которое истинно, когда в множестве М существует такой элемент х0, что Р(х0) = И, и ложно в противоположном случае, т. е. $ –– истинное высказывание, если множество истинности предиката Р(х) непустое; в противном случае $ –– ложное высказывание.

Выражение $ читается «существует х такое, что Р(х)», а часть $х в выражении $ называют квантором существования. Например, высказывание $х (х –– простое число) на множестве натуральных чисел истинно, высказывание $ на множестве действительных чисел ложно.

Символ $ –– перевернутая первая буква слова exist (англ.), existieren (нем.), exister (фр.).

Замечание 1. Применение квантора превращает одноместные предикаты в высказывания (не зависящие от х). Совершенно аналогично применяются кванторы к любому предикату с большим числом переменных. В результате применения квантора к n –– местному предикату (при n > 0) получается (n – 1) –– местный предикат.

Замечание 2. К одному и тому же предикату можно применять кванторы несколько раз. Например, применив к предикату Р(х, у) квантор существования по х, мы получим одноместный предикат $, к которому опять можем применить квантор существования или квантор общности по переменной у. В результате получим высказывание

$у($ или у($.

Скобки обычно опускают, получая при этом выражения

$у$ или у$.

Замечание 3. Одинаковые кванторы можно переставлять, получая при этом эквивалентные высказывания, т.е. истинные эквиваленции.