Центром распределения вероятностей случайной величины служит. Законы распределения дискретных случайных величин

Рассмотренное свойство дискретных распределений создает значительные трудности при табулировании и использовании подобных распределений, поскольку невозможным оказывается точно выдержать типовые численные значения характеристик распределения. В частности, это так для критических значений и уровней значимости непараметрических статистических критериев (см. ниже), поскольку распределения статистик этих критериев дискретны.

Большое значение в статистике имеет квантиль порядка р = ½. Он называется медианой (случайной величины Х или ее функции распределения F(x)) и обозначается Me(X). В геометрии есть понятие «медиана» - прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая противоположную его сторону пополам. В математической статистике медиана делит пополам не сторону треугольника, а распределение случайной величины: равенство F(x 0,5) = 0,5 означает, что вероятность попасть левее x 0,5 и вероятность попасть правее x 0,5 (или непосредственно в x 0,5 ) равны между собой и равны ½, т.е.

P (X < x 0,5) = P (X > x 0,5) = ½.

Медиана указывает «центр» распределения. С точки зрения одной из современных концепций – теории устойчивых статистических процедур – медиана является более хорошей характеристикой случайной величины, чем математическое ожидание . При обработке результатов измерений в порядковой шкале (см. главу о теории измерений) медианой можно пользоваться, а математическим ожиданием – нет.

Ясный смысл имеет такая характеристика случайной величины, как мода – значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины.

Если x 0 – мода случайной величины с плотностью f(x), то, как известно из дифференциального исчисления, .

У случайной величины может быть много мод. Так, для равномерного распределения (1) каждая точка х такая, что a < x < b , является модой. Однако это исключение. Большинство случайных величин, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, имеют одну моду. Случайные величины, плотности, распределения, имеющие одну моду, называются унимодальными.

Математическое ожидание для дискретных случайных величин с конечным числом значений рассмотрено в главе «События и вероятности». Для непрерывной случайной величины Х математическое ожидание М(Х) удовлетворяет равенству

являющемуся аналогом формулы (5) из утверждения 2 главы «События и вероятности».

Пример 5. Математическое ожидание для равномерно распределенной случайной величины Х равно

Для рассматриваемых в настоящей главе случайных величин верны все те свойства математических ожиданий и дисперсий, которые были рассмотрены ранее для дискретных случайных величин с конечным числом значений. Однако доказательства этих свойств не приводим, поскольку они требуют углубления в математические тонкости, не являющегося необходимым для понимания и квалифицированного применения вероятностно-статистических методов принятия решений.

Замечание. В настоящем учебнике сознательно обходятся математические тонкости, связанные, в частности, с понятиями измеримых множеств и измеримых функций, -алгебры событий и т.п. Желающим освоить эти понятия необходимо обратиться к специальной литературе, в частности, к энциклопедии .

Каждая из трех характеристик – математическое ожидание, медиана, мода – описывает «центр» распределения вероятностей. Понятие «центр» можно определять разными способами – отсюда три разные характеристики. Однако для важного класса распределений – симметричных унимодальных – все три характеристики совпадают.

Плотность распределения f(x) – плотность симметричного распределения, если найдется число х 0 такое, что

. (3)

Равенство (3) означает, что график функции y = f(x) симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через центр симметрии х = х 0 . Из (3) следует, что функция симметричного распределения удовлетворяет соотношению

(4)

Для симметричного распределения с одной модой математическое ожидание, медиана и мода совпадают и равны х 0 .

Наиболее важен случай симметрии относительно 0, т.е. х 0 = 0. Тогда (3) и (4) переходят в равенства

(6)

соответственно. Приведенные соотношения показывают, что симметричные распределения нет необходимости табулировать при всех х , достаточно иметь таблицы при x > x 0 .

Отметим еще одно свойство симметричных распределений, постоянно используемое в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях. Для непрерывной функции распределения

P(|X|< a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

где F – функция распределения случайной величины Х . Если функция распределения F симметрична относительно 0, т.е. для нее справедлива формула (6), то

P(|X|< a) = 2F(a) – 1.

Часто используют другую формулировку рассматриваемого утверждения: если

.

Если и - квантили порядка и соответственно (см. (2)) функции распределения, симметричной относительно 0, то из (6) следует, что

От характеристик положения – математического ожидания, медианы, моды – перейдем к характеристикам разброса случайной величины Х : дисперсии , среднему квадратическому отклонению и коэффициенту вариации v . Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в предыдущей главе. Для непрерывных случайных величин

Среднее квадратическое отклонение – это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

Коэффициент вариации – это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации применяется при M(X)> 0. Он измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратическое отклонение – в абсолютных.

Пример 6. Для равномерно распределенной случайной величины Х найдем дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна:

Замена переменной дает возможность записать:

где c = (b – a )/ 2. Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно а коэффициент вариации таков:

По каждой случайной величине Х определяют еще три величины – центрированную Y , нормированную V и приведенную U . Центрированная случайная величина Y – это разность между данной случайной величиной Х и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y = Х – М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Y равно 0, а дисперсия – дисперсии данной случайной величины: М(Y ) = 0, D (Y ) = D (X ). Функция распределения F Y (x ) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F (x ) исходной случайной величины X соотношением:

F Y (x ) = F (x + M (X )).

Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство

f Y (x ) = f (x + M (X )).

Нормированная случайная величина V – это отношение данной случайной величины Х к ее среднему квадратическому отклонению , т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики Х так:

,

где v – коэффициент вариации исходной случайной величины Х . Для функции распределения F V (x ) и плотности f V (x ) нормированной случайной величины V имеем:

где F (x ) – функция распределения исходной случайной величины Х , а f (x ) – ее плотность вероятности.

Приведенная случайная величина U – это центрированная и нормированная случайная величина:

.

Для приведенной случайной величины

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.

Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если Y = aX + b , где a и b – некоторые числа, то

Пример 7. Если то Y – приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).

С каждой случайной величиной Х можно связать множество случайных величин Y , заданных формулой Y = aX + b при различных a > 0 и b . Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством , порожденным случайной величиной Х . Функции распределения F Y (x ) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F (x ). Вместо Y = aX + b часто используют запись

Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что Х – результат измерения некоторой величины – переходит в У – результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с , а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.

Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение Х называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).

Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины Х рассматривают Y = lg X , где lg X – десятичный логарифм числа Х . Цепочка равенств

F Y (x) = P(lg X < x) = P(X < 10 x) = F(10 x)

связывает функции распределения Х и Y .

При обработке данных используют такие характеристики случайной величины Х как моменты порядка q , т.е. математические ожидания случайной величины X q , q = 1, 2, … Так, само математическое ожидание – это момент порядка 1. Для дискретной случайной величины момент порядка q может быть рассчитан как

Для непрерывной случайной величины

Моменты порядка q называют также начальными моментами порядка q , в отличие от родственных характеристик – центральных моментов порядка q , задаваемых формулой

Так, дисперсия – это центральный момент порядка 2.

Нормальное распределение и центральная предельная теорема. В вероятностно-статистических методах принятия решений часто идет речь о нормальном распределении. Иногда его пытаются использовать для моделирования распределения исходных данных (эти попытки не всегда являются обоснованными – см. ниже). Более существенно, что многие методы обработки данных основаны на том, что расчетные величины имеют распределения, близкие к нормальному.

Пусть X 1 , X 2 ,…, X n M (X i ) = m и дисперсиями D (X i ) = , i = 1, 2,…, n ,… Как следует из результатов предыдущей главы,

Рассмотрим приведенную случайную величину U n для суммы , а именно,

Как следует из формул (7), M (U n ) = 0, D (U n ) = 1.

(для одинаково распределенных слагаемых). Пусть X 1 , X 2 ,…, X n , …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M (X i ) = m и дисперсиями D (X i ) = , i = 1, 2,…, n ,… Тогда для любого х существует предел

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.

Подробнее о функции Ф(х) – ниже (читается «фи от икс», поскольку Ф – греческая прописная буква «фи»).

Центральная предельная теорема (ЦПТ) носит свое название по той причине, что она является центральным, наиболее часто применяющимся математическим результатом теории вероятностей и математической статистики. История ЦПТ занимает около 200 лет – с 1730 г., когда английский математик А.Муавр (1667-1754) опубликовал первый результат, относящийся к ЦПТ (см. ниже о теореме Муавра-Лапласа), до двадцатых – тридцатых годов ХХ в., когда финн Дж.У. Линдеберг, француз Поль Леви (1886-1971), югослав В. Феллер (1906-1970), русский А.Я. Хинчин (1894-1959) и другие ученые получили необходимые и достаточные условия справедливости классической центральной предельной теоремы.

Развитие рассматриваемой тематики на этом отнюдь не прекратилось – изучали случайные величины, не имеющие дисперсии, т.е. те, для которых

(академик Б.В.Гнеденко и др.), ситуацию, когда суммируются случайные величины (точнее, случайные элементы) более сложной природы, чем числа (академики Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков и их соратники), и т.д.

Функция распределения Ф(х) задается равенством

,

где - плотность стандартного нормального распределения, имеющая довольно сложное выражение:

.

Здесь =3,1415925… - известное в геометрии число, равное отношению длины окружности к диаметру, e = 2,718281828… - основание натуральных логарифмов (для запоминания этого числа обратите внимание, что 1828 – год рождения писателя Л.Н.Толстого). Как известно из математического анализа,

При обработке результатов наблюдений функцию нормального распределения не вычисляют по приведенным формулам, а находят с помощью специальных таблиц или компьютерных программ. Лучшие на русском языке «Таблицы математической статистики» составлены членами-корреспондентами АН СССР Л.Н. Большевым и Н.В.Смирновым .

Вид плотности стандартного нормального распределения вытекает из математической теории, которую не имеем возможности здесь рассматривать, равно как и доказательство ЦПТ.

Для иллюстрации приводим небольшие таблицы функции распределения Ф(х) (табл.2) и ее квантилей (табл.3). Функция Ф(х) симметрична относительно 0, что отражается в табл.2-3.

Таблица 2.

Функция стандартного нормального распределения.

Если случайная величина Х имеет функцию распределения Ф(х), то М(Х) = 0, D (X ) = 1. Это утверждение доказывается в теории вероятностей, исходя из вида плотности вероятностей . Оно согласуется с аналогичным утверждением для характеристик приведенной случайной величины U n , что вполне естественно, поскольку ЦПТ утверждает, что при безграничном возрастании числа слагаемых функция распределения U n стремится к функции стандартного нормального распределения Ф(х), причем при любом х .

Таблица 3.

Квантили стандартного нормального распределения.

Введем понятие семейства нормальных распределений. По определению нормальным распределением называется распределение случайной величины Х , для которой распределение приведенной случайной величины есть Ф(х). Как следует из общих свойств масштабно-сдвиговых семейств распределений (см. выше), нормальное распределение – это распределение случайной величины

где Х – случайная величина с распределением Ф(Х), причем m = M (Y ), = D (Y ). Нормальное распределение с параметрами сдвига m и масштаба обычно обозначается N (m , ) (иногда используется обозначение N (m , ) ).

Как следует из (8), плотность вероятности нормального распределения N (m , ) есть

Нормальные распределения образуют масштабно-сдвиговое семейство. При этом параметром масштаба является d = 1/ , а параметром сдвига c = - m / .

Для центральных моментов третьего и четвертого порядка нормального распределения справедливы равенства

Эти равенства лежат в основе классических методов проверки того, что результаты наблюдений подчиняются нормальному распределению. В настоящее время нормальность обычно рекомендуется проверять по критерию W Шапиро – Уилка. Проблема проверки нормальности обсуждается ниже.

Если случайные величины Х 1 и Х 2 имеют функции распределения N (m 1 , 1) и N (m 2 , 2) соответственно, то Х 1 + Х 2 имеет распределение Следовательно, если случайные величины X 1 , X 2 ,…, X n N (m , ) , то их среднее арифметическое

имеет распределение N (m , ) . Эти свойства нормального распределения постоянно используются в различных вероятностно-статистических методах принятия решений, в частности, при статистическом регулировании технологических процессов и в статистическом приемочном контроле по количественному признаку.

С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных.

Распределение (хи - квадрат) – распределение случайной величины

где случайные величины X 1 , X 2 ,…, X n независимы и имеют одно и тоже распределение N (0,1). При этом число слагаемых, т.е. n , называется «числом степеней свободы» распределения хи – квадрат.

Распределение t Стьюдента – это распределение случайной величины

где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное нормальное распределение N (0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента. Это распределение было введено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, работавшем на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому ее руководство запрещало В. Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, «ноу-хау» в виде вероятностно-статистических методов, разработанных В. Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом «Стьюдент». История Госсета - Стьюдента показывает, что еще сто лет менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов принятия решений.

Распределение Фишера – это распределение случайной величины

где случайные величины Х 1 и Х 2 независимы и имеют распределения хи – квадрат с числом степеней свободы k 1 и k 2 соответственно. При этом пара (k 1 , k 2 ) – пара «чисел степеней свободы» распределения Фишера, а именно, k 1 – число степеней свободы числителя, а k 2 – число степеней свободы знаменателя. Распределение случайной величины F названо в честь великого английского статистика Р.Фишера (1890-1962), активно использовавшего его в своих работах.

Выражения для функций распределения хи - квадрат, Стьюдента и Фишера, их плотностей и характеристик, а также таблицы можно найти в специальной литературе (см., например, ).

Как уже отмечалось, нормальные распределения в настоящее время часто используют в вероятностных моделях в различных прикладных областях. В чем причина такой широкой распространенности этого двухпараметрического семейства распределений? Она проясняется следующей теоремой.

Центральная предельная теорема (для разнораспределенных слагаемых). Пусть X 1 , X 2 ,…, X n ,… - независимые случайные величины с математическими ожиданиями М(X 1 ), М(X 2 ),…, М(X n), … и дисперсиями D (X 1 ), D (X 2 ),…, D (X n), … соответственно. Пусть

Тогда при справедливости некоторых условий, обеспечивающих малость вклада любого из слагаемых в U n ,

для любого х .

Условия, о которых идет речь, не будем здесь формулировать. Их можно найти в специальной литературе (см., например, ). «Выяснение условий, при которых действует ЦПТ, составляет заслугу выдающихся русских ученых А.А.Маркова (1857-1922) и, в особенности, А.М.Ляпунова (1857-1918)» .

Центральная предельная теорема показывает, что в случае, когда результат измерения (наблюдения) складывается под действием многих причин, причем каждая из них вносит лишь малый вклад, а совокупный итог определяется аддитивно , т.е. путем сложения, то распределение результата измерения (наблюдения) близко к нормальному.

Иногда считают, что для нормальности распределения достаточно того, что результат измерения (наблюдения) Х формируется под действием многих причин, каждая из которых оказывает малое воздействие. Это не так. Важно, как эти причины действуют. Если аддитивно – то Х имеет приближенно нормальное распределение. Если мультипликативно (т.е. действия отдельных причин перемножаются, а не складываются), то распределение Х близко не к нормальному, а к т.н. логарифмически нормальному, т.е. не Х , а lg X имеет приблизительно нормальное распределение. Если же нет оснований считать, что действует один из этих двух механизмов формирования итогового результата (или какой-либо иной вполне определенный механизм), то про распределение Х ничего определенного сказать нельзя.

Из сказанного вытекает, что в конкретной прикладной задаче нормальность результатов измерений (наблюдений), как правило, нельзя установить из общих соображений, ее следует проверять с помощью статистических критериев. Или же использовать непараметрические статистические методы, не опирающиеся на предположения о принадлежности функций распределения результатов измерений (наблюдений) к тому или иному параметрическому семейству.

Непрерывные распределения, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений. Кроме масштабно-сдвигового семейства нормальных распределений, широко используют ряд других семейств распределения – логарифмически нормальных, экспоненциальных, Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений. Рассмотрим эти семейства.

Случайная величина Х имеет логарифмически нормальное распределение, если случайная величина Y = lg X имеет нормальное распределение. Тогда Z = ln X = 2,3026…Y также имеет нормальное распределение N (a 1 ,σ 1) , где ln X - натуральный логарифм Х . Плотность логарифмически нормального распределения такова:

Из центральной предельной теоремы следует, что произведение X = X 1 X 2 … X n независимых положительных случайных величин X i , i = 1, 2,…, n , при больших n можно аппроксимировать логарифмически нормальным распределением. В частности, мультипликативная модель формирования заработной платы или дохода приводит к рекомендации приближать распределения заработной платы и дохода логарифмически нормальными законами. Для России эта рекомендация оказалась обоснованной - статистические данные подтверждают ее.

Имеются и другие вероятностные модели, приводящие к логарифмически нормальному закону. Классический пример такой модели дан А.Н.Колмогоровым , который из физически обоснованной системы постулатов вывел заключение о том, что размеры частиц при дроблении кусков руды, угля и т.п. на шаровых мельницах имеют логарифмически нормальное распределение.

Перейдем к другому семейству распределений, широко используемому в различных вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, - семейству экспоненциальных распределений. Начнем с вероятностной модели, приводящей к таким распределениям. Для этого рассмотрим "поток событий", т.е. последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток отказов оборудования в технологической цепочке; поток отказов изделий при испытаниях продукции; поток обращений клиентов в отделение банка; поток покупателей, обращающихся за товарами и услугами, и т.д. В теории потоков событий справедлива теорема, аналогичная центральной предельной теореме, но в ней речь идет не о суммировании случайных величин, а о суммировании потоков событий. Рассматривается суммарный поток, составленный из большого числа независимых потоков, ни один из которых не оказывает преобладающего влияния на суммарный поток. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, слагается из большого числа независимых потоков вызовов, исходящих от отдельных абонентов. Доказано , что в случае, когда характеристики потоков не зависят от времени, суммарный поток полностью описывается одним числом - интенсивностью потока. Для суммарного потока рассмотрим случайную величину Х - длину промежутка времени между последовательными событиями. Ее функция распределения имеет вид

(10)

Это распределение называется экспоненциальным распределением, т.к. в формуле (10) участвует экспоненциальная функция e -λ x . Величина 1/λ - масштабный параметр. Иногда вводят и параметр сдвига с , экспоненциальным называют распределение случайной величины Х + с , где распределение Х задается формулой (10).

Экспоненциальные распределения - частный случай т. н. распределений Вейбулла - Гнеденко. Они названы по фамилиям инженера В. Вейбулла, введшего эти распределения в практику анализа результатов усталостных испытаний, и математика Б.В.Гнеденко (1912-1995), получившего такие распределения в качестве предельных при изучении максимального из результатов испытаний. Пусть Х - случайная величина, характеризующая длительность функционирования изделия, сложной системы, элемента (т.е. ресурс, наработку до предельного состояния и т.п.), длительность функционирования предприятия или жизни живого существа и т.д. Важную роль играет интенсивность отказа

(11)

где F (x ) и f (x ) - функция распределения и плотность случайной величины Х .

Опишем типичное поведение интенсивности отказа. Весь интервал времени можно разбить на три периода. На первом из них функция λ(х) имеет высокие значения и явную тенденцию к убыванию (чаще всего она монотонно убывает). Это можно объяснить наличием в рассматриваемой партии единиц продукции с явными и скрытыми дефектами, которые приводят к относительно быстрому выходу из строя этих единиц продукции. Первый период называют "периодом приработки" (или "обкатки"). Именно на него обычно распространяется гарантийный срок.

Затем наступает период нормальной эксплуатации, характеризующийся приблизительно постоянной и сравнительно низкой интенсивностью отказов. Природа отказов в этот период носит внезапный характер (аварии, ошибки эксплуатационных работников и т.п.) и не зависит от длительности эксплуатации единицы продукции.

Наконец, последний период эксплуатации - период старения и износа. Природа отказов в этот период - в необратимых физико-механических и химических изменениях материалов, приводящих к прогрессирующему ухудшению качества единицы продукции и окончательному выходу ее из строя.

Каждому периоду соответствует свой вид функции λ(х) . Рассмотрим класс степенных зависимостей

λ(х) = λ 0 bx b -1 , (12)

где λ 0 > 0 и b > 0 - некоторые числовые параметры. Значения b < 1, b = 0 и b > 1 отвечают виду интенсивности отказов в периоды приработки, нормальной эксплуатации и старения соответственно.

Соотношение (11) при заданной интенсивности отказа λ(х) - дифференциальное уравнение относительно функции F (x ). Из теории дифференциальных уравнений следует, что

(13)

Подставив (12) в (13), получим, что

(14)

Распределение, задаваемое формулой (14) называется распределением Вейбулла - Гнеденко. Поскольку

то из формулы (14) следует, что величина а , задаваемая формулой (15), является масштабным параметром. Иногда вводят и параметр сдвига, т.е. функциями распределения Вейбулла - Гнеденко называют F (x - c ), где F (x ) задается формулой (14) при некоторых λ 0 и b .

Плотность распределения Вейбулла - Гнеденко имеет вид

(16)

где a > 0 - параметр масштаба, b > 0 - параметр формы, с - параметр сдвига. При этом параметр а из формулы (16) связан с параметром λ 0 из формулы (14) соотношением, указанным в формуле (15).

Экспоненциальное распределение - весьма частный случай распределения Вейбулла - Гнеденко, соответствующий значению параметра формы b = 1.

Распределение Вейбулла - Гнеденко применяется также при построении вероятностных моделей ситуаций, в которых поведение объекта определяется "наиболее слабым звеном". Подразумевается аналогия с цепью, сохранность которой определяется тем ее звеном, которое имеет наименьшую прочность. Другими словами, пусть X 1 , X 2 ,…, X n - независимые одинаково распределенные случайные величины,

X(1) = min (X 1 , X 2 ,…, X n ), X(n) = max (X 1 , X 2 ,…, X n ).

В ряде прикладных задач большую роль играют X (1) и X (n ) , в частности, при исследовании максимально возможных значений ("рекордов") тех или иных значений, например, страховых выплат или потерь из-за коммерческих рисков, при изучении пределов упругости и выносливости стали, ряда характеристик надежности и т.п. Показано, что при больших n распределения X (1) и X (n ) , как правило, хорошо описываются распределениями Вейбулла - Гнеденко. Основополагающий вклад в изучение распределений X (1) и X (n ) внес советский математик Б.В.Гнеденко. Использованию полученных результатов в экономике, менеджменте, технике и других областях посвящены труды В. Вейбулла, Э. Гумбеля, В.Б. Невзорова, Э.М. Кудлаева и многих иных специалистов.

Перейдем к семейству гамма-распределений. Они широко применяются в экономике и менеджменте, теории и практике надежности и испытаний, в различных областях техники, метеорологии и т.д. В частности, гамма-распределению подчинены во многих ситуациях такие величины, как общий срок службы изделия, длина цепочки токопроводящих пылинок, время достижения изделием предельного состояния при коррозии, время наработки до k -го отказа, k = 1, 2, …, и т.д. Продолжительность жизни больных хроническими заболеваниями, время достижения определенного эффекта при лечении в ряде случаев имеют гамма-распределение. Это распределение наиболее адекватно для описания спроса в экономико-математических моделях управления запасами (логистики).

Плотность гамма-распределения имеет вид

(17)

Плотность вероятности в формуле (17) определяется тремя параметрами a , b , c , где a >0, b >0. При этом a является параметром формы, b - параметром масштаба и с - параметром сдвига. Множитель 1/Γ(а) является нормировочным, он введен, чтобы

Здесь Γ(а) - одна из используемых в математике специальных функций, так называемая "гамма-функция", по которой названо и распределение, задаваемое формулой (17),

При фиксированном а формула (17) задает масштабно-сдвиговое семейство распределений, порождаемое распределением с плотностью

(18)

Распределение вида (18) называется стандартным гамма-распределением. Оно получается из формулы (17) при b = 1 и с = 0.

Частным случаем гамма-распределений при а = 1 являются экспоненциальные распределения (с λ = 1/ b ). При натуральном а и с =0 гамма-распределения называются распределениями Эрланга. С работ датского ученого К.А.Эрланга (1878-1929), сотрудника Копенгагенской телефонной компании, изучавшего в 1908-1922 гг. функционирование телефонных сетей, началось развитие теории массового обслуживания. Эта теория занимается вероятностно-статистическим моделированием систем, в которых происходит обслуживание потока заявок, с целью принятия оптимальных решений. Распределения Эрланга используют в тех же прикладных областях, в которых применяют экспоненциальные распределения. Это основано на следующем математическом факте: сумма k независимых случайных величин, экспоненциально распределенных с одинаковыми параметрами λ и с , имеет гамма-распределение с параметром формы а = k , параметром масштаба b = 1/λ и параметром сдвига kc . При с = 0 получаем распределение Эрланга.

Если случайная величина X имеет гамма-распределение с параметром формы а таким, что d = 2 a - целое число, b = 1 и с = 0, то 2Х имеет распределение хи-квадрат с d степенями свободы.

Случайная величина X с гвмма-распределением имеет следующие характеристики:

Математическое ожидание М(Х) = ab + c ,

Дисперсию D (X ) = σ 2 = ab 2 ,

Коэффициент вариации

Асимметрию

Эксцесс

Нормальное распределение - предельный случай гамма-распределения. Точнее, пусть Z - случайная величина, имеющая стандартное гамма-распределение, заданное формулой (18). Тогда

для любого действительного числа х , где Ф(х) - функция стандартного нормального распределения N (0,1).

В прикладных исследованиях используются и другие параметрические семейства распределений, из которых наиболее известны система кривых Пирсона, ряды Эджворта и Шарлье. Здесь они не рассматриваются.

Дискретные распределения, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений. Наиболее часто используют три семейства дискретных распределений - биномиальных, гипергеометрических и Пуассона, а также некоторые другие семейства - геометрических, отрицательных биномиальных, мультиномиальных, отрицательных гипергеометрических и т.д.

Как уже говорилось, биномиальное распределение имеет место при независимых испытаниях, в каждом из которых с вероятностью р появляется событие А . Если общее число испытаний n задано, то число испытаний Y , в которых появилось событие А , имеет биномиальное распределение. Для биномиального распределения вероятность принятия случайной величиной Y значения y определяется формулой

Число сочетаний из n элементов по y , известное из комбинаторики. Для всех y , кроме 0, 1, 2, …, n , имеем P (Y = y )= 0. Биномиальное распределение при фиксированном объеме выборки n задается параметром p , т.е. биномиальные распределения образуют однопараметрическое семейство. Они применяются при анализе данных выборочных исследований , в частности, при изучении предпочтений потребителей, выборочном контроле качества продукции по планам одноступенчатого контроля, при испытаниях совокупностей индивидуумов в демографии, социологии, медицине, биологии и др.

Если Y 1 и Y 2 - независимые биномиальные случайные величины с одним и тем же параметром p 0 , определенные по выборкам с объемами n 1 и n 2 соответственно, то Y 1 + Y 2 - биномиальная случайная величина, имеющая распределение (19) с р = p 0 и n = n 1 + n 2 . Это замечание расширяет область применимости биномиального распределения, позволяя объединять результаты нескольких групп испытаний, когда есть основания полагать, что всем этим группам соответствует один и тот же параметр.

Характеристики биномиального распределения вычислены ранее:

M (Y ) = np , D (Y ) = np (1- p ).

В разделе "События и вероятности" для биномиальной случайной величины доказан закон больших чисел:

для любого . С помощью центральной предельной теоремы закон больших чисел можно уточнить, указав, насколько Y / n отличается от р .

Теорема Муавра-Лапласа. Для любых чисел a и b , a < b , имеем

где Ф (х ) – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.

Для доказательства достаточно воспользоваться представлением Y в виде суммы независимых случайных величин, соответствующих исходам отдельных испытаний, формулами для M (Y ) и D (Y ) и центральной предельной теоремой.

Эта теорема для случая р = ½ доказана английским математиком А.Муавром (1667-1754) в 1730 г. В приведенной выше формулировке она была доказана в 1810 г. французским математиком Пьером Симоном Лапласом (1749 – 1827).

Гипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объема N по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируется либо как обладающий признаком А , либо как не обладающий этим признаком. Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина Y , равная числу объектов, обладающих признаком А в случайной выборке объема n , где n < N . Например, число Y дефектных единиц продукции в случайной выборке объема n из партии объема N имеет гипергеометрическое распределение, если n < N . Другой пример – лотерея. Пусть признак А билета – это признак «быть выигрышным». Пусть всего билетов N , а некоторое лицо приобрело n из них. Тогда число выигрышных билетов у этого лица имеет гипергеометрическое распределение.

Для гипергеометрического распределения вероятность принятия случайной величиной Y значения y имеет вид

(20)

где D – число объектов, обладающих признаком А , в рассматриваемой совокупности объема N . При этом y принимает значения от max{0, n - (N - D )} до min{n , D }, при прочих y вероятность в формуле (20) равна 0. Таким образом, гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами – объемом генеральной совокупности N , числом объектов D в ней, обладающих рассматриваемым признаком А , и объемом выборки n .

Простой случайной выборкой объема n из совокупности объема N называется выборка, полученная в результате случайного отбора, при котором любой из наборов из n объектов имеет одну и ту же вероятность быть отобранным. Методы случайного отбора выборок респондентов (опрашиваемых) или единиц штучной продукции рассматриваются в инструктивно-методических и нормативно-технических документах. Один из методов отбора таков: объекты отбирают один из другим, причем на каждом шаге каждый из оставшихся в совокупности объектов имеет одинаковые шансы быть отобранным. В литературе для рассматриваемого типа выборок используются также термины «случайная выборка», «случайная выборка без возвращения».

Поскольку объемы генеральной совокупности (партии) N и выборки n обычно известны, то подлежащим оцениванию параметром гипергеометрического распределения является D . В статистических методах управления качеством продукции D – обычно число дефектных единиц продукции в партии. Представляет интерес также характеристика распределения D / N – уровень дефектности.

Для гипергеометрического распределения

Последний множитель в выражении для дисперсии близок к 1, если N >10 n . Если при этом сделать замену p = D / N , то выражения для математического ожидания и дисперсии гипергеометрического распределения перейдут в выражения для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения. Это не случайно. Можно показать, что

при N >10 n , где p = D / N . Справедливо предельное соотношение

и этим предельным соотношением можно пользоваться при N >10 n .

Третье широко используемое дискретное распределение – распределение Пуассона. Случайная величина Y имеет распределение Пуассона, если

,

где λ – параметр распределения Пуассона, и P (Y = y )= 0 для всех прочих y (при y=0 обозначено 0! =1). Для распределения Пуассона

M (Y ) = λ, D (Y ) = λ.

Это распределение названо в честь французского математика С.Д.Пуассона (1781-1840), впервые получившего его в 1837 г. Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, когда вероятность р осуществления события мала, но число испытаний n велико, причем np = λ. Точнее, справедливо предельное соотношение

Поэтому распределение Пуассона (в старой терминологии «закон распределения») часто называют также «законом редких событий».

Распределение Пуассона возникает в теории потоков событий (см. выше). Доказано, что для простейшего потока с постоянной интенсивностью Λ число событий (вызовов), происшедших за время t , имеет распределение Пуассона с параметром λ = Λt . Следовательно, вероятность того, что за время t не произойдет ни одного события, равна e - Λ t , т.е. функция распределения длины промежутка между событиями является экспоненциальной.

Распределение Пуассона используется при анализе результатов выборочных маркетинговых обследований потребителей, расчете оперативных характеристик планов статистического приемочного контроля в случае малых значений приемочного уровня дефектности, для описания числа разладок статистически управляемого технологического процесса в единицу времени, числа «требований на обслуживание», поступающих в единицу времени в систему массового обслуживания, статистических закономерностей несчастных случаев и редких заболеваний, и т.д.

Описание иных параметрических семейств дискретных распределений и возможности их практического использования рассматриваются в литературе.

В некоторых случаях, например, при изучении цен, объемов выпуска или суммарной наработки на отказ в задачах надежности, функции распределения постоянны на некоторых интервалах, в которые значения исследуемых случайных величин не могут попасть.

) играет осо-бо важную роль в теории вероятностей и чаще других применяется в решении практических задач. Его главная особенность в том, что он является предельным законом, к которому приближаются дру-гие законы распределения при весьма часто встречающихся типич-ных условиях. Например, сумма достаточно большого числа неза-висимых (или слабо зависимых) случайных величин приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем больше случайных величин суммируется.

Экспериментально доказано, что нормальному закону под-чиняются погрешности измерений, отклонения геометрических размеров и положения элементов строительных конструкций при их изготовлении и монтаже, изменчивость физико-механических характеристик материалов и нагру-зок, действующих на строительные конструкции.

Распределению Гаусса подчи-няются почти все случайные вели-чины, отклонение которых от сред-них значений вызывается большой совокупностью случайных факто-ров, каждый из которых в отдельности незначителен (центральная предельная теорема).

Нормальным распределением называется распределение случайной непрерывной величины, для которых плотность вероят-ностей имеет вид (рис. 18.1).

Рис. 18.1. Нормальный закон распределения при а 1 < a 2 .

где а и — параметры распределения.

Вероятностные характеристики случайной величины, распре-деленной по нормальному закону, равны:

Математическое ожидание (18.2)

Дисперсия (18.3)

Среднеквадратичное отклонение (18.4)

Коэффициент асимметрии А = 0 (18.5)

Эксцесс Е = 0. (18.6)

Параметр σ, входящий в распределение Гаусса равен сред-неквадратичному отношению слу-чайной величины. Величина а оп-ределяет положение центра рас-пределения (см. рис. 18.1), а величина а — ширину распределе-ния (рис. 18.2), т.е. статистический разброс вокруг средней величины.

Рис. 18.2. Нормальный закон распределения при σ 1 < σ 2 < σ 3

Вероятность попадания в заданный интервал (от x 1 до x 2) для нормального распределения, как и во всех случаях, определяется интегралом от плотности вероятности (18.1), который не выража-ется через элементарные функции и представляется специальной функцией, называется функцией Лапласа (интеграл вероятностей).

Одно из представлений интеграла вероятностей:

Величина и называется квантилем.

Видно, что Ф(х) — нечетная функция, т. е. Ф(-х) = -Ф(х). Значения этой функции вычислены и представлены в виде таблиц в технической и учебной литературе.

Функция распределения нормального закона (рис. 18.3) может быть выражена через ин-теграл вероятностей:

Рис. 18.2. Функция нормального закона распределения.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в интервал от х. до х, определяется выра-жением:

Следует заметить, что

Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.

При решении практических задач, связанных с распределе-нием, часто приходится рассматривать вероятность попадания в интервал, симметричный относительно математического ожидания, если длина этого интервала т.е. если сам интервал имеет грани-цу от до , имеем:

При решении практических задач границы отклонений слу-чайных величин выражаются через стандарт, среднеквадратичное отклонение, умноженное на некоторый множитель, определяющий границы области отклонений случайной величины.

Принимая и а также используя формулу (18.10) и таблицу Ф(х) (приложение № 1), получим

Эти формулы показывают , что если случайная величина име-ет нормальное распределение, то вероятность ее отклонения от сво-его среднего значения не более чем на σ составляет 68,27 %, не бо-лее чем на 2σ — 95,45 % и не более чем на Зσ — 99,73 %.

Поскольку величина 0,9973 близка к единице, практически считается невозможным отклонение нормального распределения случайной величины от математического ожидания более чем на Зσ. Это правило, справедливое только для нормального распределения, называется правилом трех сигм. Нарушение его имеет вероятность Р = 1 - 0,9973 = 0,0027. Этим правилом пользуются при установле-нии границ допустимых отклонений допусков геометрических ха-рактеристик изделий и конструкций.

Итак, мы приходим к задаче: как найти вероятность, что при следующем испытании случайная величина попадет в наперед заданный интервал?

Для ответа на этот вопрос, прежде всего надо ввести понятие закона распределения случайной величины.

Закон распределения случайной величины (ЗРСВ) – это способ рассчитать вероятность того, что случайная величина (СВ) примет то или иное значение (для дискретных случайных величин) или попадет в тот или иной интервал (для непрерывных случайных величин) в результате испытания.

Для дискретных СВ это чаще всего таблица. Например, для правильной игральной кости эта таблица будет выглядеть так:

Выпадение 1, 2, 3, 4, 5, или 6 равновероятно и равно одной шестой.

Для непрерывной случайной величины, ЗРСВ может быть задан или в виде графика или в виде формулы. Наибольшее значение в математической статистике имеет нормальный закон распределения случайной величины или закон Гаусса.

Это связано с тем, что очень многие СВ распределены именно по этому закону, в том числе и в биологии и медицине.

Итак, для вычисления вероятностей нам нужен закон Гаусса. Рассмотрим этот закон.

Поставим задачу более точно. Пусть у нас есть некоторая непрерывная случайная величина Х и мы хотим узнать какова вероятность, что при следующем испытании эта величина примет значение х i , лежащие в маленьком интервале от х до х+dx (здесь dx – дифференциал х). Тогда вероятность P(x i), что при следующем испытании это произойдет, по закону Гаусса будет равна:

Формула (1) позволяет рассчитать вероятность попадания следующего измерения в бесконечно маленький интервал dx. Но на практике нам надо научиться рассчитывать вероятность попадания в реальные интервалы, например в интервал от х=а до х=b. Это можно сделать с помощью формулы (2):

Поскольку интервал (а,b) мы задаем сами, следовательно, для расчета вероятности того, что результат следующего испытания попадет в этот интервал нам надо знать только два числа: μ - математическое ожидание и σ - среднее квадратическое отклонение .

Таким образом, оценка этих двух чисел является одной из основных задач математической статистики.

Итак, чтобы решить главную задачу, которая как мы знаем, состоит в том, чтобы научиться рассчитывать вероятность попадания случайной величины в тот или иной наперед заданный интервал, нам надо научиться рассчитывать эти два числа. Вот здесь нас ожидает неудача, поскольку точно рассчитать эти два числа оказалось невозможным! Оказалось, что для того чтобы точно получить эти два числа, например для случайной величины «рост», надо измерить рост у всех людей в мире! Ясно, что мы этого сделать не можем. Что же нам остается? А остается нам измерить рост у тех людей, до которых мы можем добраться, и по полученным значениям ОЦЕНИТЬ значения μ и σ. Подчеркну: не получить точные значения, а только оценить чему приблизительно они равны. Вот эти оценки, которые называются выборочным арифметическим средним () и оценкой среднеквадратичного отклонения (s) и являются самой первой целью большинства статистических исследований.

В нашем рассмотрении неожиданно появилось слово «выборочная». Попробуем объяснить, что оно значит. Для этого введем следующее определение:

Совокупность объектов, из которой отбирается некоторая часть ее членов для изучения, называется генеральной, а отобранная тем или иным способом часть генеральной совокупности называется выборочной совокупностью или выборкой.

В случае с ростом генеральной совокупностью является рост всех людей, тогда как те люди, у которых мы смогли измерить рост, называются выборкой из этой совокупности. Очевидно, что это определение справедливо для любой случайной величины.

РАСЧЕТ И S.

Расчет этих двух величин очень прост и задается следующими двумя формулами:

(3)

(4)

Чтобы пояснить формулы (3) и (4), представим себе, что мы измеряли рост у 50 человек. Это значит что n=50. Далее складываем все 50 полученных чисел и полученный результат делим на 50. Получаем значение среднего арифметического. Это все расчеты по формуле (3). Расчеты по формуле (4) несколько сложнее. Сначала от всех полученных в результате измерений 50 чисел отнимаем ранее полученную оценку среднего. Получаем 50 значений разности. Потом все 50 разностей возводим в квадрат, после чего все их складываем. Полученный результат делим на 49 (n-1). Из того что получилось, извлекаем квадратный корень. Расчеты среднего арифметического и оценки среднеквадратичного отклонения закончены.

Теперь, когда мы имеем оценки среднего и среднеквадратичного отклонения нам необходимо вернуться к формуле (2). Действительно, оценки μ и σ у нас есть, интервал (а,b) задаем сами, осталось взять интеграл... Но здесь нас подстерегает новая неприятность! Неопределенный интеграл такого вида не берется в элементарных функциях. На наше счастье мы имеем дело не с неопределенным интегралом, а с определенным интегралом. Как мы помним из предыдущего курса, определенный интеграл есть число и существует достаточно много численных методов получения этого числа с любой наперед заданной точностью. Применив один из этих методов, мы получим число, которое и будет вероятностью попадания следующего измерения случайной величины в интервал (a,b). Изменив границы интервала и проведя аналогичные расчеты мы получим вероятность попадания случайной величины в этот новый интервал и т.д. Задача вроде бы решена. У нас есть методика расчета вероятности попадания случайной величины в любой наперед заданный интервал. Однако проведение таких расчетов не очень удобно, поскольку требует много вычислений. Можно ли облегчить себе жизнь? Ну, первое, что приходит на ум это рассчитать все значения интеграла для интервалов, изменяющихся с определенным (небольшим шагом) и занести их в таблицу. Тогда можно пользоваться этой таблицей и ничего не считать. Но эта таблица будет верна, только для той случайной величины, для которой она рассчитывалась. Получается, что нам надо создавать бесчисленное количество таблиц для всевозможных случайных величин. Ясно, что здесь тоже надо что-то придумать. Человечество придумало, как обойтись одной таблицей для всех случаев. Для этого от нашей случайной величины X (любой, которую мы изучаем) надо перейти к другой случайной величине Z, используя следующее соотношение:

Что же мы получим в результате этой операции? Мы получим новую случайную величину, для которой = 0 и s = 1. Эта случайная величина называется нормированной нормально распределенной случайной величиной Z. Поскольку эту операцию можно провести для ЛЮБОЙ случайной величины, подчиняющейся закону Гаусса, мы можем любую случайную величину свести к случайной величине Z, а, следовательно, для расчета вероятности попадания исходной случайной величины в наперед заданный интервал построить ТОЛЬКО ОДНУ таблицу. Конечно же, такая таблица была давно построена, она приведена в приложении 3 и называется таблицей значений функции распределения нормированной нормально распределенной случайной величины

.(6).

Научимся пользоваться этой таблицей. Например рассмотрим число стоящее на пересечении строки, начинающейся с 0,5 и столбца, помеченного цифрой 5. Это число равно 0,7088. Оно показывает, что при следующем испытании вероятность что случайная величина примет значение МЕНЬШЕ 0,55 равна 0,7088. Обратите внимание, что номер столбца есть сотый знак заданного нами числа. Теперь поставим задачу так. Как пользуясь таблицей найти вероятность попадание в интервал (z 1 ,z 2), ведь это и есть наша основная задача. Если z 2 > z 1 , то искомая вероятность будет равна разности Ф(z 2)–Ф(z 1). Например, найдем вероятность, что при следующем испытании значение нормированной случайной величины попадет в интервал (0,95; 1,54). Сначала найдем Ф(1,54). Для этого найдем в таблице строку, которая начинается с 1,5, потом двигаемся по этой строке до столбца, помеченного цифрой 4. Там стоит значение Ф(1,54) = 0,9382. Аналогичным образом найдем Ф(0,95) = 0,8289. Тогда искомая вероятность будет равна: Р = 0,9382 – 0,8289 = 0,1093.

Для полного решения поставленной задачи осталось ответить только на один вопрос: а что если значения z получатся отрицательные? Ведь в таблице приложения 3 нет отрицательных значений. Ответ на этот вопрос дает следующая формула:

Ф(-z) = 1 – Ф(z) (7).

Из формулы (7) следует: если z получилось отрицательным, то надо найти значение Ф(z) по таблице считая z положительным, а потом найденное значение отнять от единицы, это и будет ответом. Теперь задача нахождения вероятности попадания случайной величины, распределенной по закону Гаусса, в любой наперед заданный интервал решена полностью

Для иллюстрации введенных в рассмотрение понятий разберем следующий пример. Пусть в родильном доме за сутки родилось 20 детей, вес которых с точностью до 0,1 килограмма приведен в таблице 1.

Таблица 1

Вес новорожденных в килограммах

Итак, в формуле (2) a=2, b=3

Задача 2.

Решение первой задачи хотя и важно, но конечно не достаточно для практических целей. Следующей важнейшей задачей статистики является получение ответа на вопрос можно ли считать, что какой-то эффект действительно существует или необходимо признать, что на самом деле эффекта нет, и все, что мы наблюдаем есть игра случая. Под эффектом может подразумеваться все что угодно, например, действительно ли жители Скандинавии выше ростом жителей Африки, действительно ли одно лекарство эффективнее другого, действительно ли физиологические параметры изменяются в процессе адаптации, действительно ли успеваемость в одном классе выше успеваемости в другом и т.д.

Очевидно, что все эти задачи нацелены на сравнение двух выборок. Встает вопрос как это сделать. Допустим, мы измеряли рост 10000 жителей Скандинавии и 10000 жителей Африки. Таким образом, мы имеем два набора по 10000 чисел. Ясно, что просто разглядывая эти числа, мы мало чего добьемся. Возникает потребность описать каждый из наборов небольшим количеством производных от них параметров и уже потом сравнивать не сами числа, входящие в тот или иной набор, а эти вновь полученные параметры, характеризующие каждый из наборов. Поскольку вновь полученные параметры описывают сделанную выборку, они получили название «описательные статистики». Описательные статистики можно разделить на несколько групп. Мы будем рассматривать две из них: меры центральной тенденции и меры рассеивания.

Меры центральной тенденции характеризуют центральное значение, вокруг которого распределены значения случайной величины. К ним относятся средняя арифметическая (введена в рассмотрение в предыдущем разделе) и медиана. Средняя арифметическая хорошо подходит для описания распределений, близких к нормальным. Если же распределение существенно отличается от нормального (например, имеет очень длинные и широкие хвосты), то в этом случае имеет смысл использовать для оценки "центрального" значения медиану.

Медиана распределения какой-либо случайной величины X – это такое число Me, для которого вероятность, что при следующем испытании получиться значение исследуемой случайной величины больше Me равно 1/2. Это означает, что вероятность получить значение меньше или равно Me также равна 1/2. Таким образом, медиана характеризует центр распределения в том смысле, что появление значений больше медианы и меньше медианы равновероятны.

Теперь рассмотрим алгоритм, как по значениям выборки оценить медиану. (Обратите внимание на слово «оценить»).

Первое, что надо сделать, это отранжировать, т.е. расположить по возрастающей все значения выборки. Если мы проделаем эту процедуру с выборкой, представленной в предыдущем разделе, то мы получим следующую таблицу:

Далее необходимо определить четное или нечетное число значений в выборке. Если число значений нечетное, то медиана равна значению, находящемуся в центре выборки, если число значений четное, то медиана равна полусумме значений, стоящих в центре выборки. В нашем случае число значений в выборке равно 20, т.е. четное. На 10-м месте стоит число 3,3, а на 11 месте также стоит число 3,3. Следовательно, медиана равна: . В нашем случае получилось, что медиана и среднее арифметическое равны, но это не всегда так.

Меры рассеивания характеризуют разброс, с которым случайная величина распределяется вокруг своего центрального значения. К этим мерам относятся дисперсия, среднеквадратичное отклонение (введено в рассмотрение в предыдущем разделе), стандартная ошибка среднего, коэффициент вариации.

Если за центральное значение взять среднее арифметическое, то оценку дисперсии можно вычислить по следующей формуле:

(8).

Для нашего случая

Как видно из сравнения формул (4) и (8) оценка среднеквадратичного отклонения связана с оценкой дисперсии следующим соотношением:

(9)

В нашем случае .

Большое значение в медицине при проведении расчетов играет такая мера разброса как стандартная ошибка среднего (m), поскольку результаты проведенных исследований часто представляются в виде: . Формула для расчета оценки стандартной ошибки среднего задается следующим простым соотношением:

(10)

Для нашего случая

Изложенные выше меры рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение, стандартная ошибка среднего) имеют один недостаток: они дают показатель изменчивости признака в именованных величинах, а не в относительных. Например, для выборки, представленной в Таблице 1, дисперсия будет выражаться в кг 2 , а среднеквадратичное отклонение и стандартная ошибка в килограммах. Поэтому сопоставление (или сравнение) разноименных признаков по этим параметрам невозможно. Например, если бы мы измеряли не только вес новорожденных, но и их рост, то используя эти меры разброса нельзя было бы ответить на вопрос где изменчивость больше: в случае веса или в случае роста.

Для сравнения изменчивости двух разноименных выборок удобно пользоваться коэффициентом изменчивости (вариации) признака, который выражается в относительных величинах, а именно в процентах, и вычисляется по формуле:

(11).

В нашем случае

Чем большеV , тем более изменчив признак. Значения коэффициента вариации, невыходящие за пределы 10% , принято считать нормальными.

Если V>20% , то выборка некомпактна по заданному признаку.

Теперь, когда мы ввели в рассмотрение описательные статистики, задачу определить есть эффект или нет эффекта можно свести к вопросу различаются ли какие либо описательные статистики одной выборки от другой.

Казалось бы решение вопроса очень простое: посчитай описательные статистики одной и второй выборки и сравни их друг с другом. Однако дело обстоит далеко не так просто. Действительно, если бы мы измеряли вес не 20 новорожденных, а скажем, к примеру, только 19, было бы значение среднего и всех остальных описательных статистик тем же самым? Скорее всего НЕТ! Как говорилось, выше мы же всегда имеем дело с выборкой, а не с генеральной совокупностью, поэтому мы всегда получаем ОЦЕНКИ описательных статистик, а не их истинные значения. Следовательно, для решения поставленной задачи нельзя делать выводы, сравнивая непосредственно сами значения. Как же тогда решить задачу?

На помощь приходит понятие доверительного интервала. Идея доверительных интервалов возникает из вопроса: хорошо, мы не знаем точного значения той или иной описательной статистики, но мы хотя бы можем задать интервал, в котором оно находится? Ответ на этот вопрос таков: да мы можем построить интервал, внутри которого содержится точное значение той или иной описательной статистики с наперед заданной вероятностью. Таким образом, мы можем построить доверительный интервал, в котором точное значение описательной статистики содержится с вероятностью, например, 80% или 90%, или 95% или 99% и т.д.

Рассмотрим построение доверительного интервала для среднего значения. В этом случае получается следующее соотношение:

-mt < μ < +mt (12)

В формуле (12) - среднее арифметическое, μ – математическое ожидание (это и есть «истинное» значение, смотри (2)), m – стандартная ошибка среднего (см. (10)). Остается разобраться, что такое t. Буквой t обычно обозначается значение распределения Стьюдента. Расчет конкретного значения распределения Стьюдента для какого-либо конкретного случая довольно сложная задача, поэтому это распределение уже давно затабулировано и представлено в таблице приложения 4.

Рассмотрим эту таблицу. Для отыскания нужного нам значения надо, прежде всего, ответить для себя на вопрос: с какой вероятность мы собираемся строить доверительный интервал? В приложении 4 приведена таблица, которая позволяет строить доверительные интервалы с вероятностями 0,95, 0,99 и 0,999. Если мы задаемся, к примеру, вероятностью 0,95, значит, мы будем использовать первый столбец таблицы. Для того чтобы найти в этом столбце нужное нам число, надо найти строку, которая начинается с числа равного n-1, где n – число измерений. В нашем случае n=20, значит, мы ищем строку, начинающуюся с 19. На пересечении выбранного столбца и нужной строки и стоит нужное нам значение. В нашем случае это число равно 2,093. Следовательно, доверительный интервал будет () или, после вычислений (2,965; 3,635). Итак, истинное среднее (математическое ожидание) с вероятностью 0,95 лежит ГДЕ-ТО между этими двумя числами. Мы написали слово «где-то», чтобы проиллюстрировать одно из свойств доверительных интервалов: любое значение внутри интервала может оказаться математическим ожиданием с одинаковой вероятностью. Второе свойство состоит в том, что мы строили интервал с вероятностью 0,95, это означает, что с этой вероятностью истинное среднее лежит внутри интервала, но это также означает, что с вероятностью 0,05 его нет в данном интервале. Здесь мы впервые сталкиваемся с фундаментальным свойством любого статистического вывода: всегда есть вероятность, что он не верен. Статистический вывод это расчет вероятности справедливости двух гипотез: нулевой и альтернативной. Нулевая гипотеза всегда говорит «нет». Нет различий в описательных статистиках между двумя выборками, нет связи между двумя выборками и т.д. Очевидно, что альтернативная соответственно говорит «да». Возникает вопрос, когда можно считать нулевую гипотезу опровергнутой и принять альтернативную? Для этого нужно задаться уровнем значимости. Уровень значимости - это максимально приемлемая для исследователя вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу, когда на самом деле она верна. В медицине принят минимальный уровень значимости 0,05. Что это значит? Если в результате расчетов мы получаем что вероятность справедливости нулевой гипотезы меньше 0,05 мы имеем право ее опровергнуть и принять альтернативную гипотезу, тем самым считать доказанным, что различия (а, следовательно, и эффект) есть.

Теперь у нас есть все необходимые понятия, для решения задачи «есть эффект или нет». Пусть мы имеем группу мужчин из 20 больных гипертонией одинакового возрастного диапазона и одинаковой тяжести заболевания. Пусть, далее они принимают новый препарат для снижения артериального давления. Необходимо ответить на вопрос: действительно ли данный препарат эффективен. Проведено фоновое (до лечения) суточное мониторированние систолического артериального давления и получены среднесуточные значения для каждого из 20 человек. После применения схемы лечения, опять проведено суточное мониторированние систолического артериального давления и также получены среднесуточные значения для каждого больного. В результате получены значения представленные в Таблице 2.

Таблица 2

Среднесуточные значения систолического артериального давления до и после лечения

Номер больного	Среднесуточное систолическое давление (до лечения), мм.рт.ст.	Среднесуточное систолическое давление (после лечения) мм.рт.ст.	Разность систолического давления до лечения и после лечения, мм.рт.ст.
			+10
			+10
			-2
			+11
			+8
			+1
			+4
			+9
			+8
			+17
			+9
			+17
			+11
			+11
			+27
			+11
			+22
			-1
			+15
			+21
	177,1	166.2	11,0
s	6,8	8,4	7,5
m	1,5	1,9	1,7

Алгоритм решения задачи с помощью доверительных интервалов.

Таким образом, можно решить Задачу 2 с помощью построения доверительных интервалов. Однако более часто используется другой подход для решения этой задачи. Он построен на вычислении экспериментального значения распределения Стьюдента и сравнения его с табличным.

Для построения этого алгоритма решения задачи 2 надо ввести еще два понятия. Зададимся вопросом можно ли в таблице 2 переставлять экспериментальные данные в столбцах произвольным порядком? Ответ: конечно нет, ведь в таком случае данные, полученные на одном пациенте попадут к другому! Такие выборки называются связанными выборками. В нашем случае они связаны номером пациента. Для таких выборок экспериментальное значение распределения Стьюдента рассчитывается по формуле:

(13)

В формуле (13) - среднее арифметическое разности, - среднеквадратичное отклонение для разности, - ошибка среднего для разности. Используя значения в таблице 2, рассчитаем .

Как мы уже знаем, табличное значение () для уровня 0,95 и числа степеней свободы 19 (20-1) равно 2,086, следовательно, в нашем случае . Следовательно, наблюдаемые различия в артериальном давлении действительно существуют. В настоящий момент мы делаем этот вывод на уровне значимости 0,05. Но теперь, когда мы имеем экспериментальное значение распределения Стьюдента, мы можем его сравнить с табличными значениями для других доверительных вероятностей. Посмотрим, например, чему равно табличное значение распределения Стьюдента для доверительной вероятности 0,99 (уровень значимости 0,01). Как следует из таблицы приложения 4, это значение равно 2,861, а для доверительной вероятности 0,999 (уровень значимости 0,001) – 3,883. Поскольку 6,47 > 3,883, мы можем сделать вывод о том, что изучаемое лекарство эффективно не только на уровне 0,05, т.е. допуская что вероятность ошибки не больше 5%, но и на уровне 0,001, т.е. вероятность того, что наш вывод не верен не превышает 0,1% !!!

Приведенные выше расчеты справедливы для связанных выборок. Теперь будем решать ту же задачу (действительно ли есть эффект или полученные различия есть не более чем игра случая) для не связанных выборок.

Рассмотрим, как проверяется гипотеза о неравенстве средних для несвязанных выборок. В этом случае экспериментальное значение распределения Стьюдента можно рассчитать по формуле:

(14)

В формуле (14) и соответственно среднее арифметическое для первой выборки и среднее арифметическое для второй выборки. Аналогично - объем первой выборки, - объем второй выборки, s – объединенная оценка среднеквадратичного отклонения двух групп, которая вычисляется по формуле:
(15)

В формуле (15) - оценка среднеквадратичного отклонения для первой группы, а - для второй. - значение распределения Стьюдента, рассчитанное по экспериментальным данным.

В таблице 3 приведены значения усредненной по всем оценкам успеваемости двух групп студентов в первом семестре. Необходимо определить, можно ли считать, что одна группа училась лучше другой.

Очевидно, что в данном случае мы имеем дело с несвязанными выборками.

Таблица 3

Осредненная успеваемость студентов двух групп за первый семестр.

Рассчитывали по формуле (3), и рассчитывали по формуле (4). Используя формулу (15) рассчитаем s:

Теперь используя формулу (14) рассчитаем экспериментальное значение распределения Стьюдента:

Далее находим теоретическое значение распределения Стьюдента для доверительной вероятности 0,95 и числом степеней свободы . То есть, ищем число, стоящее на пересечении первого столбца таблицы Приложения 4 и 24 строки. Из таблицы следует, что это число равно .

Следовательно, в нашем случае: , и мы не имеем права говорить, что одна группа учиться лучше (или хуже) другой. Мы вынуждены признать, что различия, наблюдаемые в успеваемости групп, носят случайный характер, а в целом успеваемость в группах одинакова.

Этим заканчивается решение задачи 2. Осталось сделать только два замечания.

Замечание 1 состоит в том, что приведенные выше схемы расчетов справедливы в том случае, если обе выборки сделаны из генеральных совокупностей, распределенных по закону Гаусса.

Замечание 2. Мы отдаем себе отчет в том, что в настоящее время никто в реальных расчетах считать вручную не будет. Однако для закрепления материала очень полезно провести расчеты с использованием калькулятора. Для этих целей ниже приводится полное решение модельной задачи.

Задача Содержание свободного гепарина крови в двух различных возрастных группах принимало следующие значения:

1. Вычислить выборочную среднюю арифметическую, среднеквадратичное отклонение, стандартную ошибку среднего, медиану, коэффициент вариации для каждого ряда и доверительные интервалы для средних. Сравнить средние значения гепарина для двух возрастных групп.

Решение:

Число измерений в каждом ряду n=10.

Выборочная средняя определяется по формуле:

Следовательно для первого ряда она равна:

Найдем дисперсию по формуле:

Следовательно, для первого ряда выборочная дисперсия равна:

Вычислим среднеквадратичное отклонение
.

Вычислим стандартную ошибку среднего

Для определения медианы (Ме 1 ) по заданным значениям х 1 i строим вариационный ряд:

4,0 4,1 4,5 5,0 5,1 5,6 5,7 5,9 6,3 6,7

При четном числе вариант медиана определится как среднее арифметическое из двух центральных вариант:

(мг,%)

Вычислим коэффициент вариации .

Рссчитаем 95% доверительный интервал для среднего. В нашем случае число измерений 10, а доверительная вероятность 0,95. Входим в таблицу приложения 4. На пересечении столбца 0,95 и девятой строки стоит число t= 2,262.

Следовательно, в нашем случае, , и значит доверительный интервал будет или окончательно .

Проведя аналогичные расчеты для второго ряда получим:

Сравнивая доверительный интервал для среднего первого ряда, с доверительным интервалом для второго ряда, легко увидеть, что они сильно перекрываются. Следовательно, наблюдаемые различия между средними являются случайными и мы должны прийти к заключению, что различий между ними нет.

2. Сравнить средние, используя вычисление экспериментального значения распределения Стьюдента.

В данном случае мы имеем дело с не связанными выборками, поэтому для вычисление экспериментального значения будем использовать следующую формулу:
.

Вычислим объединенная оценка среднеквадратичного отклонения двух групп:

Тогда
. Число степеней свободы в нашем случае равно n=10+10-2=18. Итак, входим в таблицы Приложения 4 по восемнадцатой строке и первому столбцу. На пересечении стоит число 2,103. Это число намного больше, чем полученное 0,71. Следовательно, мы приходим к тому же заключению, что средние двух выборок не различаются.

Итак, ответ в данном случае, будет выглядеть так: .

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной (примеры 3.1, 3.3, 3.4).
Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной (пример 3.2). Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин.
Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной .
Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие вероятности.
Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.
Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности:

Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х 1 , х 2 , …, х n . При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х = х i (i = 1, 2, … , n ) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р 1 + р 2 + … + р n = 1.
Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат – соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура называется многоугольником (полигоном) распределения.
Существует ряд законов распределения:

· Биномиальное

· Пуассона

· Нормальное(Гауса)

· Показательное(экспоненциальное)

· Равномерное

Биномиальное распределение случайной величины

n – количество испытаний

Пуассоновское распределение.
Ситуация, когда вероятность появления события в каждом испытании близка к 0 (такие события называются редкими явлениями), а количество испытаний велико. Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит m раз, приближенно равна:

n – количество испытаний
m – предполагаемое наступление желаемого события
p- вероятность наступления события в одном испытании
Пример: Установлено, что при транспортировке в вагоне более 5000 изделий портится в среднем одно изделие. Найти вероятность того, что испортится три изделия. (0,06).

– Математическим ожиданием

Дисперсия

Показательное (экспоненциальное) распределение

- интенсивность (среднее число событий в единицу времени)

Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается данным выражением, называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.

Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению.

Как видно из формулы, показательное распределение определяется только одним параметром . Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров.

График функций показательного распределения имеют вид:

Вероятность попадания случайной величины X в интервал :

,математическое ожидание

, дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Таким образом, для показательного распределения характерно, что среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию.

Равномерное распределение
Равномерное распределение вероятностей является простейшим и может быть как дискретным, так и непрерывным. Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений СВ одна и та же, то есть:

где N – количество возможных значений СВ.

Распределение вероятностей непрерывной CВ Х, принимающие все свои значения из отрезка [а;b] называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю:

11.Функция распределения и её свойства.

Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x :

F (x )=P{X <x }.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки X. Из геометрической интерпретации наглядно можно вывести основные свойства функции распределения.

1. F (-¥) = 0.

2. F (+¥) = 1.

3. F (x ) – неубывающая функция своего аргумента, т.е. при x 1 < x 2

F (x 1) £ F (x 2).

4. P(α£ X < β) = F (β) - F (α), для "[α,β[ÎR. (5.4)

Вероятность того, что случайная величина Х в результате опыта попадет на участок от α до β (включая α) равна приращению функции распределени я на этом участке.

Таким образом, функция распределения F(x)любой случайной величины есть неубывающая функция своего аргумента, значения которой заключены между 0 и 1: 0≤F(x)≤1, причем F(-∞)=0, F(+∞)=1.

12. Функция распределения дискретной и непрерывной случайной величины.

Функция распределения дискретной случайной величины

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x 1 < x 2 < … < x i < … с вероятностями p 1 < p 2 < … < p i < …, то таблица вида

называется распределением дискретной случайной величины .

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая.

Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.

Случайная величина x(w),заданная в вероятностном пространстве {W, S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде интеграла

13. Плотность распределения непрерывной случайной величины.

Функция называется функцией плотности распределения вероятностей .

Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :

1. Плотность распределения неотрицательна: .

2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределения вероятностей равен единице:

3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .

4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т. к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :

5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:

График функции плотности распределения называется кривой распределения , и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения Fx(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0.

14. Связь функции распределения и плотности распределения. Интегральная формула полной вероятности.

Зная плотность распределения F(X) , можно найти функцию распределения F(X) по формуле

.

Действительно, F(X) = P(X < X ) = P(-∞ < X < X) .

Следовательно,

.

.

Таким образом, Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения можно найти плотность распределения , а именно:

F(X) = F"(X).
15. Числовые характеристики случайных величин.

Закон распределения полностью описывает случайную величину с

вероятностной точки зрения. Но часто достаточно указать только отдель-

ные числовые параметры, которые позволяют в сжатой форме выразить

наиболее существенные черты распределения. Такие параметры называ-

ются числовыми характеристиками случайной величины.

Среди числовых характеристик можно выделить характеристики по-

ложения, т. е. некие средние, ориентировочные значения случайной вели-

чины, около которых группируются ее возможные значения.

К числовым характеристикам относятся:

· Математическое ожидание

· Дисперсия

· Медиана

· Моменты

· Квантиль

· Асимметрия

· Эксцентриситет

16.Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается M x .

Математическое ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение

называется величина , если число значений случайной величины конечно.

Если число значений случайной величины счетно, то . При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей p x (x ) вычисляется по формуле . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Если случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f (x ), то

.

Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:

, .

Основные свойства математического ожидания:

· математическое ожидание константы равно этой константе, M c=c ;

· математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M (ax + bh ) = a M (x)+ b M (h);

· математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M (x h) = M (x)M (h).

17.Диспрсия случайной величины и её свойства.

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина x имеет математическое ожидание M x , то дисперсией случайной величины x называется величина D x = M (x - M x ) 2 .

Легко показать, что D x = M (x - M x ) 2 = M x 2 - M (x) 2 .

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина M x 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

, .

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используетсясреднеквадратичное отклонение ,связанное с дисперсией соотношением .

Основные свойства дисперсии:

· дисперсия любой случайной величины неотрицательна, D x 0;

· дисперсия константы равна нулю, D c =0;

· для произвольной константы D (cx ) = c 2 D (x);

· дисперсия суммы двух независимых случайных величинравна сумме их дисперсий: D (x ±h ) = D (x) + D (h).

18. Момент порядка k случайной величины, абсолютный и центральный моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k -й степени случайной величины x , т.е. a k = M x k .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m k , определяемая формулой m k = M (x - M x ) k .

Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a 1 = M x , а дисперсия - центральный момент второго порядка,

a 2 = M x 2 = M (x - M x ) 2 =D x .

Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:

m 2 =a 2 -a 1 2 , m 3 = a 3 - 3a 2 a 1 + 2a 1 3 .

Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = M x , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

АБСОЛЮТНЫЙ МОМЕНТ

случайной величин ы X - математич. ожидание Обычное обозначение А. м. таким образом,

Число r наз. порядком А. м. Если F(х).- функция распределения X, то

и, напр., если распределение Xимеет плотность p(х), то

19. Мода и Модой

случайной величины X называют ее наиболее вероятное значение, т. е. то,

для которого вероятность pi

или плотность распределения f (x) дости-

гают максимума. Моду обычно обозначают через Mx

Если многоугольник вероятности или плотность распределения достигают максимума в

нескольких точках, то такие распределения называют полимодальнымимедиана случайной величины.

Медианой непрерывной случайной величины X назы-

вается такое ее значение хm , для которого

20. Квантиль уровня x распределения случайной величины.

-кванти́ль случайной величины с функцией распределения - это любое число удовлетворяющее двум условиям:

2)

Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:

Если - непрерывная строго монотонная функция, то существует единственный квантиль любого порядка который однозначно определяется из уравнения и, следовательно, выражается через функцию, обратную к функции распределения:

Кроме указанной ситуации, когда уравнение имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:

§ если указанное уравнение не имеет решений , то это означает, что существует единственная точка в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилем порядка . Для этой точки выполнены соотношения: и (первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство).

§ если уравнение имеет более одного решения , то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантиля порядка может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины в данный интервал равна нулю.

21.Асимметрия и эксцентриситет распределения случайной величины.

Асимметрия

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой ,

где m 3 - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение.

Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x , от нормального распределения, является эксцесс.

Эксцесс g случайной величины x определяется равенством .

У нормального распределения, естественно, g = 0. Если g (x) > 0, то это означает, что график плотности вероятностей p x (x ) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если жеg (x) < 0, то “заостренность” графика p x (x ) меньше, чем у нормального распределения.

22. Биномиальный закон распределения.

P – вероятность наступления события в одном испытании.
q – вероятность не наступления события в одном испытании q = (1-p)
n – количество испытаний
k – предполагаемое количество наступления желаемого события
Формула Бернулли, позволяет вычислить вероятность того, что событие появится в n испытаниях ровно k раз.

23. Нормальный закон распределения случайной величины. Теория Лапласа-Ляпунова.
Нормальное (гаусовское) распределение
Это основной закон теории вероятностей. В пределе все законы стремятся к нормальным законам распределения. Сумма бесконечного числа случайных величин, распределенных по любым законам, в итоге приобретает нормальный закон распределения.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна:

– Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений возможных значений случайной величины на вероятности их появления

Дисперсия - для оценки степени разброса (отклонения) какого-то показателя от его среднего значения используются понятия дисперсии.

Дисперсия выборки или выборочная дисперсия – это мера изменчивости переменной. Дисперсия вычисляется по формуле:

где х - выборочное среднее, N - число наблюдений в выборке. Дисперсия меняется от нуля до бесконечности. Крайнее значение 0 означает отсутствие изменчивости, когда значения переменной постоянны. - среднеквадратическое отклонение случайной величины (квадратный корень из дисперсии.)

График функции нормального распределения, как видно из рисунка, имеет вид куполообразной кривой, называемой
Гауссовой, точка максимума имеет координаты Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения (кривая «сжимается» к оси Ох) и возрастает с убыванием значения (кривая «растягивается» в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра u (при неизменном значении ) не влияет на форму кривой, а лишь перемещает кривую вдоль оси Ох. Нормальное распределение с параметрами =0 и =1 называется нормированным. Функция распределения случайной величины в этом случае будет иметь вид:

Для =0, =1 график принимает вид:

Эта кривая при =0, =1 получила статус стандарта, ее называют единичной нормальной кривой, то есть любые собранные данные стремятся преобразовать так, чтобы кривая их распределения была максимально близка к этой стандартной кривой.

Нормализованную кривую изобрели для решения задач теории вероятности, но оказалось на практике, что она отлично аппроксимирует распределение частот при большом числе наблюдений для множества переменных

Пусть x 1 , x 2 , …, x n , …- неограниченная последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями m 1 , m 2 , …, m n , … и дисперсиями s 1 2 , s 2 2 , …, s n 2 … . Обозначим , и .