Явная разностная схема. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса)

1. В системе координат xOt строим прямоугольную сетку с шагом h по оси Ох и с шагом τ по оси Ot :

a) x i =ih , i = l, n , n=L/h ;

б) t k =k τ, k= l, m , m =T/τ;

в) и i , k = u (x i , t k ) = u (ih , k τ).

2. Вычисляем значения функции u (x i , t k ) в узлах, лежащих на прямых х= 0 и x=L :

3. Вычисляем u i ,0 =f (ih ), i= 1, n .

4. Используя (1.16) или (1.23), найдем решение для всех внутренних узлов: u i , k + n , i= l, n -l , k= 0, m -l .

1.3. Решение смешанной задачи для волнового уравнения методом сеток

1.3.1. Постановка задачи. Алгоритм метода

Рассмотрим смешанную задачу (т. е. заданы начальные и граничные условия) для волнового уравнения

в области D ={0≤x≤L , 0≤t≤T } с начальными условиями

и граничными условиями

Будем предполагать, что f (x ), g (x ) – достаточно гладкие функции, причем выполнены условия согласования в двух углах области D (x =0, t =0), (x=L , t =0), обеспечивающие существованне и единственность решения u (x , t ).

Для дискретизации исходной задачи построим в области

прямоугольную сетку

где h – шаг сетки в направлении х , τ – шаг сетки в направлении t ,

Используя для аппроксимации частных производных центральные разности второго порядка (1.10), для каждого внутреннего узла сетки получим систему разностных уравнений

которые аппроксимируют волновое уравнение (1.24) в узле (х i , t k ) с погрешностью O (h 2 + τ 2).

Здесь u i , k – приближенное значение функции и (х , t ) в узле (x i , t k ).

Полагая λ = аτ/h , получим трехслойную разностнуюсхему:

Схема (1.28) называется трехслойной потому, что связывает между собой значения u i , k функции и (х , t ) на трех временных слоях с номерами (k -l), k , (k +1).

Разностной схеме (1.28) соответствует пятиточечный трехслойный шаблон типа «крест» (рис. 1.2).

Схема (1.28) связывает значения u i , k =u (ih , kτ ) на трех слоях по времени, и чтобы перейти на уровень (k +1), необходимо знать как u i , k , так и u i , k -1 , что является следствием того, что дифференциальное уравнение (1.24) содержит вторую производную по времени. Численное решение задачи (1.24) – (1.26) состоит в вычислении приближенных значений u i , k решения u (х , t ) в узлах (х i , t ) при i = 1, n , k =1, m . Схема вычислений по (1.28) является явной, она позволяет вычислить приближенно значения функции в узлах (k +1)-го слоя по известным ее значениям на двух предыдущих слоях. На первых двух слоях значения функции определяются из начальных условий (1.25). Полагаем

Для производной по времени применяем аппроксимацию (1.5)

Порядок аппроксимации (1.30) равен О (τ).

Заметим, что (1.29), (1.31) дают решения для первыхдвухстрок: k =0, k =1. Подставляя k= 1 в (1.28), получим:

Все слагаемые в правой части уравнения (1.32) включают значения и i , k только из первых двух строк сетки; но ведь все эти значения известны из начальных условий.

После этого, зная решения и i ,1 , и i ,2 , можно по (1.28) вычислить значения функции и i , k на третьем временном слое, четвертом и т. д.

Описанная выше схема вычислений (1.28) – (1.31) aппpoксимирует задачу (1.24) – (1.26) с точностью О (τ+h 2). Невысокий порядок аппроксимации по τ объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по t в формуле (1. 30).

Рассмотрим теперь вопросы сходимости и устойчивости. Не приводя здесь доказательств, ограничимся формулировкой окончательных результатов. Схема вычислений будет устойчивой, если выполняется условие Куранта

Это означает, что при выполнении (1.33) малые погрешности, возникающие, например, при вычислении на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условия Куранта разностная схема (1.28) обладает равномерной сходимостью, т. е. при h →0 и τ→0 решение разностной задачи (1.28) – (1.31) равномерно стремится к решению исходной задачи (1.24) – (1.26).

Условие (1.33) является достаточным для сходимости, но не является необходимым. Другими словами, существуют уравнения и величины интервалов, для которых (1.33) не выполняется, но все же получается правильный результат. Все дело в том, что тогда нельзя гарантировать сходимость. В общем случае, конечно, желательно обеспечить сходимость наверняка, и поэтому требование соблюдения условия (1.33) обязательно.

Таким образом, как только выбрана величина шага h в направлении х , то появляется ограничение на величину шага τ по времени. Отличительная особенность всех явных методов заключается в том, что при их использовании должно соблюдаться некоторое условие типа (1.33), обеспечивающее сходимость и устойчивость метода.

Используя шаблон для каждого внутреннего узла области решения апроксимируется уравнение теплопроводности

Отсюда найдем:

Используя начальные и граничные условия, находят значения сеточной функции во всех узлах на нулевом временном уровне.

Затем с помощью соотношений

находятся значения этих функций во всех внутренних узлах на первом временном уровне, после чего находим значение на граничных узлах

В результате мы находим значение функций во всех узлах на первом временном уровне. После этого с помощью этих соотношений находим все остальные значения и т.д.

В рассматриваемой разностной схеме значения искомой функции на следующем временном уровне находится непосредственно, явно с помощью формулы

Поэтому рассматриваемая разностная схема, использующая этот шаблон, называется явной разностной схемой . Точность её имеет порядок .

Данная разностная схема проста в использовании, однако она обладает существенным недостатком. Оказывается, что явная разностная схема обладает устойчивым решением только в том случае, если выполняется условие :

Явная разностная схема является условно устойчивой . Если условие не выполняется, то небольшие погрешности вычислений, например, связанные с округлением данных компьютера приводит к резкому изменению решения. Решение становится неприемлемым для использования. Это условие накладывает весьма жесткие ограничения на шаг по времени, что может оказаться неприемлемым из-за значительного увеличения времени счета решения этой задачи.

Рассмотрим разностную схему, использующую другой шаблон

Метод 36

Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности.

Подставим в уравнение теплопроводности:

Это соотношение записывается для каждого внутреннего узла на временном уровне и дополняется двумя соотношениями, определяющими значения в граничных узлах. В результате получается система уравнений для определения неизвестных значений функции на временном уровне.

Схема решения задачи следующая:

С помощью начальных и граничных условий находится значение функции на нулевом временном уровне. Затем с помощью этих соотношений и граничных условий строится система линейных алгебраических уравнений для нахождения значения функции на первом временном уровне, после чего опять с помощью этих соотношений строится система, и находятся значения на втором временном уровне и т.д.

Отличие от явной схемы - значения на очередном временном уровне вычисляются не непосредственно с помощью готовой формулы, а находится путем решения системы уравнений, т.е. значения неизвестных находятся неявно путем решения СЛАУ. Поэтому разностная схема называется неявной. В отличие от явной неявная является абсолютно устойчивой.

Тема №9

Задачи оптимизации.

Эти задачи являются одними из важнейших задач прикладной математики. Под оптимизацией понимают выбор наилучшего варианта из всех возможных решений данной задачи. Для этого необходимо сформулировать решаемую задачу как математическую, придав количественный смысл понятиям лучше или хуже. Обычно в процессе решения необходимо найти оптимизируемые значения параметров. Эти параметры называют проектными. А число проектных параметров определяет размерность задачи.

Количественная оценка решения производится с помощью некоторой функции зависящей от проектных параметров. Эта функция называется целевой . Она строится таким образом, чтобы наиболее оптимальное значение соответствовало максимуму(минимуму).

- целевая функция.

Наиболее просты случаи, когда целевая функция зависит от одного параметра и задаётся явной формулой. Целевых функций может быть несколько.

Например, при проектировании самолёта требуется одновременно обеспечить максимальную надежность, минимальные вес и стоимость и т.д. В таких случаях вводится система приоритетов . Каждой целевой функции ставится в соответствие некоторый целевой множитель в результате получается обобщенная целевая функция(функция компромиссов).

Обычно оптимальное решение ограничено рядом условий связанных с физической функцией задачи. Эти условия могут иметь вид равенств или неравенств

Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследований одного из разделов прикладной математики – математического программирования.

Если целевая функция линейна относительно проектных параметров и ограничения, накладываемые на параметры также линейны, то возникает задача линейного программирования . Рассмотрим методы решения одномерной задачи оптимизации.

Требуется найти значения на при которых целевая функция имеет максимальное значение. Если целевая функция задана аналитически и может быть найдено выражение для её производных, то оптимальное решение будет достигаться либо на концах отрезка, либо в точках в которых производная обращается в ноль. Это критические точки и . Необходимо найти значения целевой функции во всех критических точках и выбрать максимальное.

В общем случае для нахождения решения применяют различные методы поиска. В результате происходит сужение отрезка содержащего оптимальное решение.

Рассмотрим некоторые из методов поиска. Предположим, что целевая функция на промежутке имеет один максимум. В этом случае, разбив узловыми точками , число которых , вычисляют целевую функцию в этих узловых точках. Предположим, что максимальное значение целевой функции будет в узле , тогда можно считать, что оптимальное решение находится на интервале . В результате произведено сужение отрезка, содержащего оптимальное решение. Полученный новый отрезок вновь разбивают на частей и т.д. При каждом разбиении отрезок, содержащий оптимальное решение уменьшаются в раз.

Предположим, что произведено шагов сужения. Тогда исходный отрезок уменьшается в раз.

То есть, делаем пока выполняется (*)

При этом производится вычислений целевой функции.

Требуется найти такое значение, чтобы выражение (*) было получено при наименьшем

числе вычислений .

Метод 37

Метод половинного деления.

Рассмотрим метод поиска при . Он называется методом половинного деления, так как на каждом шаге отрезок, содержащий оптимальное решение уменьшается в два раза.

Эффективность поиска можно повысить путём специального выбора точек, в которых вычисляется целевая функция на определённом шаге сужения.

Метод 38

Метод золотого сечения.

Одним из эффективных способов является метод золотого сечения. Золотым сечением отрезка называется точка для которой выполняется условие

Таких точек две: =0,382 +0,618

0,618 +0,382 .

Отрезок делится точками и а после находится точка, целевая функция в которой максимальна. В результате чего находится изменённый отрезок длинною 0,618( - ) .

Одно значение золотого отрезка для суженного отрезка уже известно, поэтому на каждом последующем шаге требуется вычисление целевой функции только в одной точке (второй точки золотого сечения).

Метод 39

Метод покоординатного подъёма (спуска).

Перейдём к рассмотрению задачи оптимизации в случае, когда целевая функция зависит от нескольких значений параметров. Простейшим методом поиска является метод покоординатного подъёма (спуска).

Математика и математический анализ

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи. Характеристика неявной разностной схемы Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями: 4.7 записана на n 1ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы 4. В разделе Порядок аппроксимации разностной схемы было отмечено что разностная схема 4.

8 вопрос: Разностные схемы: явная и неявная схемы:

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение ). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода , что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина ).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

Характеристика неявной разностной схемы

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с :

(4.5)

Запишем для уравнения (4.5) неявную разностную схему :

(4.6)

Запишем :

(4.7)

Аппроксимация граничных условий (4.7) записана на (n метода и алгоритма решения неявной разностной схемы (4.6).
В разделе " " было отмечено, что разностная схема (4.6) имеет такой же порядок аппроксимации , как и соответствующая ей явная разностная схема (4.2) , а именно:

В разделе " Доказательство абсолютной устойчивости неявной разностной схемы " было доказано, что неявная разностная схема (4.6) абсолютно устойчива, т.е. вне зависимости от выбора интервала деления на разностной сетке (или, иначе говоря, выбора расчётного шага по независимым переменным) погрешность решения неявной разностной схемы в процессе вычислений возрастать не будет. Отметим, что это, безусловно, является достоинством неявной разностной схемы (4.6) по сравнению с явной разностной схемой (4.2) , которая устойчива только при выполнения условия (3.12) . В то же время явная разностная схема имеет достаточно простой метод решения , а метод решения неявной разностной схемы (4.6), называемый методом прогонки , более сложен. Прежде чем перейти к изложению метода прогонки , необходимо вывести ряд соотношений , используемых этим методом.

Характеристика явной разностной схемы.

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями :

(4.1)

Запишем для уравнения (4.1) явную разностную схему :

(4.2)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий :

(4.3)

Аппроксимация граничных условий (4.3) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения явной разностной схемы (4.2).
В разделе " Порядок аппроксимации разностной схемы " было доказано, что разностная схема (4.2) имеет порядок аппроксимации :

В разделе " Доказательство условной устойчивости явной разностной схемы " было получено условие устойчивости данной разностной схемы, накладывающее ограничение на выбор интервала деления при создании разностной сетки (или, иначе говоря, ограничение на выбор расчётного шага по одной из независимых переменных):

Отметим, что это, безусловно, является недостатком явной разностной схемы (4.2). В то же время она имеет достаточно простой метод решения .

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
6399.		Сознание как проблема философии	58 KB
	Сознание как проблема философии Основные философские позиции по проблеме сознания Теория отражения. Основные философские позиции по проблеме сознания. Представители объективного идеализма (Платон, Гегель) трактуют сознание, дух как вечное п...
6400.		Диалектика как теоретическая система и метод познания	98.5 KB
	Диалектика как теоретическая система и метод познания Исторические типы метафизики и диалектики Системность Детерминизм Развитие Исторические типы метафизики и диалектики Еще с древности люди заметили, что всем предметам и явлениям ми...
6401.		Проблема человека в философии	71 KB
	Проблема человека в философии Проблема человека в истории философии Проблема антропосоциогенеза Природа человека Проблема человека является центральной для всей духовной культуры общества, т.к. только через себя мы понимаем окружающий мир, о...
6402.		Человеческая деятельность и ее содержание	116 KB
	Человеческая деятельность и ее содержание Освоение и отчуждение. Проблема свободы. Основные способы освоения мира человеком. Познание. Практически-духовное освоение мира Освоение и отчуждение. Проблема свободы. Центральной проблемой...
6403.		Общество как предмет философского анализа	71 KB
	Общество как предмет философского анализа. Социальная философия и ее задачи. Основные философские подходы к пониманию общества. Структура общества Социальная философия и ее задачи. В обыденном сознании существует иллюзия непосредственного во...
6404.		Философия истории. Движущие силы и субъекты исторического процесса	66 KB
	Философия истории Предмет и задачи философии истории Периодизация истории общества Движущие силы и субъекты исторического процесса Предмет и задачи философии истории Для историка прошлое - это данность, которая находится вне...
6405.		Стилі сучасної української літературної мови у професійному спілкуванні	44.27 KB
	Стилі сучасної української літературної мови у професійному спілкуванні План Функціональні стилі української мови та сфера їх застосування. Основні ознаки функціональних стилів. Текст як форма реалізації мовнопрофесійної діяльності (комунікати...
6406.		Основні поняття соціолінгвістики	121 KB
	Основні поняття соціолінгвістики Мовна спільнота. Мовний код, субкод.. Перемикання і змішування кодів. Інтерференція Мовна варіативність. Мовна норма. Соціолект. Сфера використання мови. Білінгвізм. Ди...
6407.		Правовідносин, що регулюються нормами трудового права	101 KB
	Правовідносин, що регулюються нормами трудового права Поняття трудових правовідносин Правові відносини в суспільстві формуються і розвиваються внаслідок наявності правових норм, які приймаються державою для регулювання суспільних відносин. Всту...

Часть вторая книги посвящена построению и исследованию разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом мы введем основные в теории разностных схем понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, которые носят общий характер. Знакомство с этими понятиями, полученное в связи с обыкновенными дифференциальными уравнениями, позволит в дальнейшем, при изучении разностных схем для уравнений с частными производными, сосредоточиться на многочисленных особенностях и трудностях, характерных для этого очень многообразного класса задач.

ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

В этой главе мы рассмотрим вводные примеры разностных схем, предназначенные только для предварительного знакомства с основными понятиями теории.

§ 8. Понятие о порядке точности и об аппроксимации

1. Порядок точности разностной схемы.

Этот параграф посвящен вопросу сходимости решений разностных уравнений при измельчении сетки к решениям дифференциальных уравнений, которые они приближают. Мы ограничимся здесь исследованием двух разностных схем численного решения задачи

Начнем с простейшей разностной схемы, основанной на использовании разностного уравнения

Разобьем отрезок на шаги длины h. Удобно выбрать где N - целое число. Точки деления занумеруем слева направо, так что . Значение и, полученное по разностной схеме в точке будем обозначать Зададим начальное значение. Положим . Из разностного уравнения (2) вытекает соотношение

откуда находим решение уравнения (2) при начальном условии :

Точное же решение задачи (1) имеет вид . Оно принимает в точке значение

Найдем теперь оценку величины погрешности приближенного решения (3). Эта погрешность в точке будет

Нас интересует, как убывает при увеличении числа точек разбиения, или, что то же самое, при уменьшении шага разностной сетки. Для того чтобы выяснить это, представим в виде

Таким образом, равенство (3) примет вид

т. е. погрешность (5) стремится к нулю при и величина погрешности имеет порядок первой степени шага.

На этом основании говорят, что разностная схема имеет первый порядок точности (не путать с порядком разностного уравнения, определенным в § 1).

Решим теперь задачу (1) с помощью разностного уравнения

Это не так просто, как может показаться на первый взгляд. Дело в том, что рассматриваемая схема является разностным уравнением второго порядка, т. е. требует задания двух начальных условий тогда как интегрируемое уравнение (1) есть уравнение первого порядка и для него мы задаем только . Естественно и в разностной схеме положить .

Не ясно, как задавать их. Чтобы разобраться в этом, воспользуемся явной формой решения уравнения (7) (см. § 3 формулы ):

Разложения (9) по формуле Тейлора корней характеристического уравнения позволяют дать приближенные представления для Проведем подробно вывод такого представления -

Так как , то

Не будем проводить совершенно аналогичной выкладки для , а выпишем сразу результат:

Подставив приближенные выражения для в формулу (8), получим

Все дальнейшие выводы мы будем получать путем исследования этой формулы.

Заметим, что если коэффициент стремится при к конечному пределу b, то первое слагаемое правой части равенства (12) стремится к искомому решению задачи (1).

Разностная схема

Разностная схема - это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода , что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

Хотя формальное определение не накладывает существенных ограничений на вид алгебраических уравнений, но на практике имеет смысл рассматривать только те схемы, которые каким-либо образом отвечают дифференциальной задаче. Важными понятиями теории разностных схем являются понятия сходимости, аппроксимации, устойчивости, консервативности.

Аппроксимация

Говорят, что дифференциальный оператор , определённый на функциях , заданных в области , аппроксимируется на некотором классе функций конечно-разностным оператором , определённым на функциях , заданных на сетке, зависящей от шага , если

Говорят, что аппроксимация имеет порядок , если

где - константа, зависящая от конкретной функции , но не зависящая от шага . Норма , использованная выше, может быть различной, и понятие аппроксимации зависит от её выбора. Часто используется дискретный аналог нормы равномерной непрерывности :

иногда используются дискретные аналоги интегральных норм .

Пример . Аппроксимация оператора конечно-разностным оператором

на ограниченном интервале имеет второй порядок на классе гладких функций .

Конечно-разностная задача аппроксимирует дифференциальную задачу, и аппроксимация имеет порядок , если и само дифференциальное уравнение, и граничные (и начальные) условия аппроксимируются соответствующими конечно-разностными операторами, и аппроксимации имеют порядок .

Условие Куранта

Условие Куранта (в англоязычной литературе англ. Courant-Friedrichs-Levy condition , CFL) - скорость распространения возмущений в разностной задаче не должна быть меньше, чем в дифференциальной. Если это условие не выполнено, то результат разностной схемы может не стремиться к решению дифференциального уравнения. Другими словами, за один шаг по времени частица не должна «пробегать» более одной ячейки.

В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, условие Куранта следует из устойчивости.

Схемы на смещенных сетках

В этих схемах сетки, на которых задан результат, и данные смещены относительно друг друга. Например, точки результата находятся посередине между точками данных. В некоторых случаях это позволяет использовать более простые граничные условия.

См. также

Ссылки

• «Разностные схемы» - Глава в wikibooks на тему «Разностные схемы для гиперболических уравнений»
• Демьянов А. Ю., Чижиков Д. В. Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности
• В. С. Рябенький, А. Ф. Филиппов. Об устойчивости разностных уравнений. - М .: Гостехиздат, 1956.
• С. К. Годунов, В. С. Рябенький. Введение в теорию разностных схем. - М .: Физматгиз, 1962.
• К. И. Бабенко. Основы численного анализа. - М .: Наука, 1986.
• Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, - Любое издание.
• Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, - Любое издание.
• Г. И. Марчук. Методы вычислительной математики. - М .: Наука, 1977.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Разностная схема" в других словарях:

Система разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальное уравнение и дополнительные (начальные, граничные и др.) условия. Аппроксимация исходной дифференциальной задачи Р. с. это один из способов приближенной дискретизации исходной задачи … Математическая энциклопедия

разностная схема конечных элементов - метод конечных элементов — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы метод конечных элементов EN finite volume difference schedule …

Разностная схема это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное… … Википедия

конечно-разностная схема расчёта на основе контрольных объёмов - (напр. тепломассобмена, теплопроводности) [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN control volume based finite difference schedule … Справочник технического переводчика

Схема: графический документ ; изложение, изображение, представление чего либо в самых общих чертах, упрощённо (например, схема доклада); электронное устройство, содержащее множество компонентов (интегральная схема). Графический документ… … Википедия

Разностная схема, построенная на основе вариационной задачи, соответствующей краевой задаче для дифференциального уравнения. Основная идея построения Р. в. с. состоит в том, чтобы при специальном выборе координатных функций в Ритца методе… … Математическая энциклопедия

Численные методы решения методы решения уравнений гииерболпч. типа на основе вычислительных алгоритмов. Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют точные аиалитич.… … Математическая энциклопедия

Раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечноразностными уравнениями (р а з н о с т н ы м и с х е м а м и). Р. с. т. изучает способы построения разностных схем,… … Математическая энциклопедия

Численные методы решения для уравнений с частными производными приближенные методы решения, в результате к рых решение задачи представляется таблицей чисел. Точно решения (в виде явных формул, рядов и т. п.) К. з. можно построить лишь в редких… … Математическая энциклопедия

Методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной… … Математическая энциклопедия электронная книга