Пространственный вектор. Линейное векторное пространство: определение, свойства

4.3.1 Определение линейного пространства

Пусть ā , , - элементы некоторого множества ā , , L и λ , μ - действительные числа, λ , μ R ..

Множество L называется линейным или векторным пространством, если определены две операции:

1 0 . Сложение. Каждой паре элементов этого множества поставлен в соответствие элемент того же множества, называемый их суммой

ā + =

2°. Умножение на число. Любому действительному числу λ и элементу ā L ставится в соответствие элемент того же множества λ ā L и выполняются следующие свойства:

1. ā+ = + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. существуетнулевой элемент
, такой, что ā +=ā ;

4. существуетпротивоположный элемент -
такой, что ā +(-ā )=.

Если λ , μ - действительные числа, то:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Элементы линейного пространства ā, , ... называют векторами.

Упражнение. Покажите самостоятельно, что данные множества образуют линейные пространства:

1) Множество геометрических векторов на плоскости;

2) Множество геометрических векторов в трехмерном пространстве;

3) Множество многочленов некоторой степени;

4) Множество матриц одинаковой размерности.

4.3.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства

Линейной комбинацией векторов ā 1 , ā 2 , …, ā n L называется вектор того же пространства вида:

,

где λ i - действительные числа.

Векторы ā 1 , .. , ā n называются линейно независимыми, если их линейная комбинация будет нулевым вектором в том и только в том случае, когда все λ i равны нулю, то есть

λ i =0

Если же линейная комбинация будет нулевым вектором и хотя бы один из λ i отличен от нуля, то эти векторы называются линейно-зависимыми. Последнее означает, что хотя бы один из векторов может быть представлен как линейная комбинация других векторов. Действительно, пусть и, например,
. тогда,
, где

.

Максимально линейно-независимая упорядоченная система векторов называется базисом пространства L . Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Допустим, что существует n линейно-независимых векторов, тогда пространство называют n -мерным. Другие векторы пространства могут быть представлены как линейная комбинация n векторов базиса. За базис n - мерного пространства можно взять любые n линейно-независимых векторов этого пространства.

Пример 17. Найти базис и размерность данных линейных пространств:

а) множества векторов, лежащих на прямой (коллинеарных некоторой прямой)

б) множество векторов, принадлежащих плоскости

в) множество векторов трёхмерного пространства

г) множество многочленов степени не выше второй.

Решение.

а) Любые два вектора, лежащие на прямой будут линейно-зависимыми, так как вектора коллинеарные
, то
, λ - скаляр. Следовательно, базисом данного пространства является только один (любой) вектор, отличный от нулевого.

Обычно это пространство обозначают R , размерность его равна 1.

б) любые два неколлинеарные векторы
будут линейно-независимы, а любые три вектора на плоскости - линейно-зависимы. Для любого вектора , существуют числа  и  такие, что
. Пространство называют двумерным, обозначают R 2 .

Базис двумерного пространства образуют любые два неколлинеарных вектора.

в) Любые три некомпланарные векторы будут линейно независимые, они образуют базис трехмерного пространства R 3 .

г) В качестве базиса пространства многочленов степени не выше второй можно выбрать такие три вектора: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x ; ē 3 =1 .

(1 - это многочлен, тождественно равный единице). Данное пространство будет трехмерным.

Лекция 6. Векторное пространство.

Основные вопросы.

1. Векторное линейное пространство.

2. Базис и размерность пространства.

3. Ориентация пространства.

4. Разложение вектора по базису.

5. Координаты вектора.

1. Векторное линейное пространство.

Множество, состоящее из элементов какой угодно природы, в которых определены линейные операции: сложение двух элементов и умножение элемента на число называются пространствами , а их элементы – векторами этого пространства и обозначаются так же, как и векторные величины в гео-метрии: . Векторы таких абстрактных пространств, как правило, ничего общего не имеют с обычными геометрическими векторами. Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т. д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому такие пространства принято называть векторными пространствами .

Векторными пространствами являются, например , множество колли-неарных векторов, обозначаемое V 1 , множество компланарных векторов V 2 , множество векторов обычного (реального пространства) V 3 .

Для этого частного случая можно дать следующее определение век-торного пространства.

Определение 1. Множество векторов называется векторным прост-ранством , если линейная комбинация любых векто-ров множества также является вектором этого мно-жества. Сами векторы называются элементами век-торного пространства.

Более важным как в теоретическом, так и в прикладном отношении яв-ляется общее (абстрактное) понятие векторного пространства.

Определение 2. Множество R элементов , в котором для лю-бых двух элементов и определена сум-ма и для любого элемента https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> называется векторным (или линейным) про-странством , а его элементы – векторами, если опера-ции сложения векторов и умножение вектора на число удовлетворяют следующим условиям (аксиомам ) :

1) сложение коммутативно, т. е..gif" width="184" height="25">;

3) существует такой элемент (нулевой вектор), что для любого https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width="99" height="27">;

5) для любых векторов и и любого чис-ла λ имеет место равенство ;

6) для любых векторов и любых чисел λ и µ справедливо равенство https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> и любых чисел λ и µ справедли-во ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Из аксиом, определяющих векторное пространство, вытекают прос-тейшие следствия :

1. В векторном пространстве существует только один нуль – элемент – нулевой вектор.

2. В векторном пространстве каждый вектор имеет единственный проти-воположный вектор.

3. Для каждого элемента выполняется равенство .

4. Для любого действительного числа λ и нулевого вектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> называется вектор , удовлетворяющий равенству https://pandia.ru/text/80/142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Итак, действительно, и множество всех геометрических векторов являет-ся линейным (векторным) пространством, так как для элементов этого мно-жества определены действия сложения и умножения на число, удовлетворя-ющие сформулированным аксиомам.

2. Базис и размерность пространства.

Существенными понятиями векторного пространства являются понятия базиса и размерность.

Определение. Совокупность линейно независимых векторов, взятых в определенном порядке, через которые линейно выражается любой вектор пространства, называется базисом этого пространства. Векторы. Составляющие базис пространства, называется базисным .

Базисом множества векторов, расположенных на произвольной прямой, можно считать один коллинеарный этой прямой вектор .

Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора на этой пло-скости, взятые в определенном порядке https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Если базисные векторы попарно перпендикулярны (ортогональны), то базис называется ортогональным , а если эти векторы имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным .

Наибольшее число линейно независимых векторов пространства называ-ется размерностью этого пространства, т. е. размерность пространства сов-падает с числом базисных векторов этого пространства.

Итак, в соответствии с данными определениями:

1. Одномерным пространством V 1 является прямая линия, а базис состо-ит из одного коллинеарного вектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Обычное пространство является трехмерным пространством V 3 , базис которого состоит из трех некомпланарных векторов .

Отсюда мы видим, что число базисных векторов на прямой, на плос-кости, в реальном пространстве совпадает с тем, что в геометрии принято на-зывать числом измерений (размерностью) прямой, плоскости, пространства. Поэтому естественно ввести более общее определение.

Определение. Векторное пространство R называется n – мерным, если в нем существует не более n линейно неза-висимых векторов и обозначается R n . Число n на-зывается размерностью пространства.

В соответствии с размерностью пространства делятся на конечномерные и бесконечномерные . Размерность нулевого пространства по определению считается равной нулю.

Замечание 1. В каждом пространстве можно указать сколько угодно базисов, но при этом все базисы данного пространства состоят из одного и того же числа векторов.

Замечание 2. В n – мерном векторном пространстве базисом назы-вают любую упорядоченную совокупность n линейно независимых векторов.

3. Ориентация пространства.

Пусть базисные векторы в пространстве V 3 имеют общее начало и упорядочены , т. е. указано какой вектор считается первым, какой – вторым и какой – третьим. Например, в базисе век-торы упорядочены согласно индек-сации.

Для того чтобы ориентировать пространство, необходимо задать какой-нибудь базис и объявить его положительным .

Можно показать, что множество всех базисов пространства распадается на два класса, т. е. на два непересекающихся подмножества.

а) все базисы, принадлежащие одному подмножеству (классу), имеют одинаковую ориентацию (одноименные базисы) ;

б) всякие два базиса, принадлежащие различным подмножествам (кла-ссами), имеют противоположную ориентацию, (разноименные базисы) .

Если один из двух классов базисов пространства объявлен положитель-ным, а другой – отрицательным, то говорят, что это пространство ориенти-ровано .

Часто при ориентации пространства одни базисы называют правыми , а другие – левыми .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> называют правым , если при наблюдении с конца третьего вектора кратчайший поворот пер-вого вектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> осуществляется против часовой стрелки (рис. 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Рис. 1.8. Правый базис (а) и левый базис (б)

Обычно положительным базисом объявляется правый базис пространства

Правый (левый) базис пространства может быть определен и с помощью правила «правого» («левого») винта или буравчика.

По аналогии с этим вводится понятие правой и левой тройки некомпла-нарных векторов , которые должны быть упорядочены (рис.1.8).

Таким образом, в общем случае две упорядоченные тройки некомпла-нарных векторов имеют одинаковую ориентацию (одноименны) в пространстве V 3 если они обе правые или обе левые, и – противоположную ориентацию (разноименны), если одна из них правая, а другая левая.

Аналогично поступают и в случае пространства V 2 (плоскости).

4. Разложение вектора по базису.

Этот вопрос для простоты рассуждений рассмотрим на примере трех-мерного векторного пространства R 3 .

Пусть https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> - произвольный вектор этого пространства.

Векторным (линейным) пространством называется множество векторов (элементов) с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющим определенным аксиомам (свойствам)

1)х + у = у + х (перестановочность сложения);

2)(х + у )+ z = x +(y + z ) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x ;

4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0 ,

5) 1 · х = х,

6) a (bx )=(ab ) х (ассоциативность умножения);

7) (a + b ) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);

8) a (х + у )= aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

Линейное пространство (векторное) V(P) над полем P – это непустое множество V. Элементы множества V называют векторами, а элементы поля P – скалярами.

Простейшие свойства.

1.Векторное пространство является абелевой группой(группа, в которой групповая операция является коммутативной. Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком +)

2.Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств для любого .

3.Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

4.(–1) х = – х для любого х є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) для любых α є P и x є V.

Выражение a 1 e 1 + a 2 e 2 + … + a n e n (1) называется линейной комбинацией векторов e 1 , e 2 ,..., e n с коэффициентами a 1 , a 2 ,..., a n . Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a 1 , a 2 ,..., a n отличен от нуля. Векторы e 1 , e 2 ,..., e n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e 1 , e 2 ,..., e n равна нулевому вектору) векторы e 1 , e 2 ,..., e n называется линейно независимыми.

Размерность пространства – максимальное число содержащихся в нем ЛЗ векторов.

Векторное пространство называется n-мepным (или имеет «размерность n» ), если в нём существуют n линейно независимых элементов e 1 , e 2 ,..., e n , а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). Векторное пространство называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного Векторное пространство образуют базис этого пространства. Если e 1 , e 2 ,..., e n - базис Векторное пространство , то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов: x = a 1 e 1 + a 2 e 2 +... + a n e n .
При этом числа a 1 , a 2, ..., a n называются координатами вектора х в данном базисе.

Линейным (векторным) пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам \mathbf{u} и {\mathbf{v}} поставлен в соответствие вектор \mathbf{u}+\mathbf{v} , называемый суммой векторов \mathbf{u} и {\mathbf{v}} , любому вектору {\mathbf{v}} и любому числу \lambda из поля действительных чисел \mathbb{R} поставлен в соответствие вектор \lambda \mathbf{v} , называемый произведением вектора \mathbf{v} на число \lambda ; так что выполняются следующие условия:

1. \mathbf{u}+ \mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V (коммутативность сложения);
2. \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})=(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент \mathbf{o}\in V , называемый нулевым вектором, что \mathbf{v}+\mathbf{o}=\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V ;
4. для каждого вектора {\mathbf{v}} существует такой вектор , называемый противоположным вектору \mathbf{v} , что \mathbf{v}+(-\mathbf{v})=\mathbf{o} ;
5. \lambda(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\lambda \mathbf{u}+\lambda \mathbf{v}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V,~\forall \lambda\in \mathbb{R} ;
6. (\lambda+\mu)\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}+\mu \mathbf{v}\,~ \forall \mathbf{v}\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R} ;
7. \lambda(\mu \mathbf{v})=(\lambda\mu)\mathbf{v}\,~ \forall \mathbf{v}\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R} ;
8. 1\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V .

Условия 1-8 называются аксиомами линейного пространства . Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества V , такие векторы называются равными.

В определении линейного пространства операция умножения вектора на число введена для действительных чисел. Такое пространство называют линейным пространством над полем действительных (вещественных) чисел , или, короче, вещественным линейным пространством . Если в определении вместо поля \mathbb{R} действительных чисел взять поле комплексных чисел \mathbb{C} , то получим линейное пространство над полем комплексных чисел , или, короче, комплексное линейное пространство . В качестве числового поля можно выбрать и поле \mathbb{Q} рациональных чисел, при этом получим линейное пространство над полем рациональных чисел. Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные линейные пространства. В некоторых случаях для краткости будем говорить о пространстве, опуская слово линейное, так как все пространства, рассматриваемые ниже - линейные.

Замечания 8.1

1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.

2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.

3. Линейное пространство - это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.

4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

5. Разностью векторов \mathbf{u} и \mathbf{v} называется сумма вектора \mathbf{u} с противоположным вектором (-\mathbf{v}) и обозначается: \mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-\mathbf{v}) .

6. Два ненулевых вектора \mathbf{u} и \mathbf{v} называются коллинеарными (пропорциональными), если существует такое число \lambda , что \mathbf{v}=\lambda \mathbf{u} . Понятие коллинеарности распространяется на любое конечное число векторов. Нулевой вектор \mathbf{o} считается коллинеарным с любым вектором.

Следствия аксиом линейного пространства

1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В линейном пространстве для любого вектора \mathbf{v}\in V существует единственный противоположный вектор (-\mathbf{v})\in V .

3. Произведение произвольного вектора пространства на число нуль равно нулевому вектору, т.е. 0\cdot \mathbf{v}=\mathbf{o}\,~\forall \mathbf{v}\in V .

4. Произведение нулевого вектора на любое число равно нулевому вектору, т.е для любого числа \lambda .

5. Вектор, противоположный данному вектору, равен произведению данного вектора на число (-1), т.е. (-\mathbf{v})=(-1)\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V .

6. В выражениях вида \mathbf{a+b+\ldots+z} (сумма конечного числа векторов) или \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf{v} (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.

Докажем, например, первые два свойства. Единственность нулевого вектора. Если \mathbf{o} и \mathbf{o}" - два нулевых вектора, то по аксиоме 3 получаем два равенства: \mathbf{o}"+\mathbf{o}=\mathbf{o}" или \mathbf{o}+\mathbf{o}"=\mathbf{o} , левые части которых равны по аксиоме 1. Следовательно, равны и правые части, т.е. \mathbf{o}=\mathbf{o}" . Единственность противоположного вектора. Если вектор \mathbf{v}\in V имеет два противоположных вектора (-\mathbf{v}) и (-\mathbf{v})" , то по аксиомам 2, 3,4 получаем их равенство:

(-\mathbf{v})"=(-\mathbf{v})"+\underbrace{\mathbf{v}+(-\mathbf{v})}_{\mathbf{o}}= \underbrace{(-\mathbf{v})"+\mathbf{v}}_{\mathbf{o}}+(-\mathbf{v})=(-\mathbf{v}).

Остальные свойства доказываются аналогично.

Примеры линейных пространств

1. Обозначим \{\mathbf{o}\} - множество, содержащее один нулевой вектор, с операциями \mathbf{o}+ \mathbf{o}=\mathbf{o} и \lambda \mathbf{o}=\mathbf{o} . Для указанных операций аксиомы 1-8 выполняются. Следовательно, множество \{\mathbf{o}\} является линейным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.

2. Обозначим V_1,\,V_2,\,V_3 - множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества V_1,\,V_2,\,V_3 являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма \mathbf{v}+\mathbf{v} не принадлежит рассматриваемому множеству.

3. Обозначим \mathbb{R}^n - множество матриц-столбцов размеров n\times1 с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором в этом множестве служит нулевой столбец o=\begin{pmatrix}0&\cdots&0\end{pmatrix}^T . Следовательно, множество \mathbb{R}^n является вещественным линейным пространством. Аналогично, множество \mathbb{C}^n столбцов размеров n\times1 с комплексными элементами является комплексным линейным пространством. Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами, напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположных векторов.

4. Обозначим \{Ax=o\} - множество решений однородной системы Ax=o линейных алгебраических уравнений с и неизвестными (где A - действительная матрица системы), рассматриваемое как множество столбцов размеров n\times1 с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве \{Ax=o\} . Из свойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы, т.е. принадлежат множеству \{Ax=o\} . Аксиомы линейного пространства для столбцов выполняются (см. пункт 3 в примерах линейных пространств). Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством.

Множество \{Ax=b\} решений неоднородной системы Ax=b,~b\ne o , напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента (x=o не является решением неоднородной системы).

5. Обозначим M_{m\times n} - множество матриц размеров m\times n с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица O соответствующих размеров. Следовательно, множество M_{m\times n} является линейным пространством.

6. Обозначим P(\mathbb{C}) - множество многочленов одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции сложения много членов и умножения многочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены и удовлетворяют аксиомам 1-8 (в частности, нулевым вектором является многочлен, тождественно равный нулю). Поэтому множество P(\mathbb{C}) является линейным пространством над полем комплексных чисел. Множество P(\mathbb{R}) многочленов с действительными коэффициентами также является линейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел). Множество P_n(\mathbb{R}) многочленов степени не выше, чем n , с действительными коэффициентами также является вещественным линейным пространством. Заметим, что операция сложения много членов определена на этом множестве, так как степень суммы многочленов не превышает степеней слагаемых.

Множество многочленов степени n не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.

7. Обозначим C(\mathbb{R}) - множество действительных функций, определенных и непрерывных на \mathbb{R} . Сумма (f+g) функций f,g и произведение \lambda f функции f на действительное число \lambda определяются равенствами:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) для всех x\in \mathbb{R}

Эти операции действительно определены на C(\mathbb{R}) , так как сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями, т.е. элементами C(\mathbb{R}) . Проверим выполнение аксиом линейного пространства. Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливость равенства f(x)+g(x)=g(x)+f(x) для любого x\in \mathbb{R} . По этому f+g=g+f , т.е. аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевым вектором служит функция o(x) , тождественно равная нулю, которая, разумеется, является непрерывной. Для любой функции f выполняется равенство f(x)+o(x)=f(x) , т.е. справедлива аксиома 3. Противоположным вектором для вектора f будет функция (-f)(x)=-f(x) . Тогда f+(-f)=o (аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют из дистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 - из ассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение на единицу не изменяет функцию: 1\cdot f(x)=f(x) для любого x\in \mathbb{R} , т.е. 1\cdot f=f . Таким образом, рассматриваемое множество C(\mathbb{R}) с введенными операциями является вещественным линейным пространством. Аналогично доказывается, что C^1(\mathbb{R}),C^2(\mathbb{R}), \ldots, C^m(\mathbb{R}) - множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго.и т.д. порядков соответственно, также являются линейными пространствами.

Обозначим - множество тригонометрических двучленов (часто ты \omega\ne0 ) с действительными коэффициентами, т.е. множество функций вида f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t , где a\in \mathbb{R},~b\in \mathbb{R} . Сумма таких двучленов и про изведение двучлена на действительное число являются тригонометрическим двучленом. Аксиомы линейного пространства для рассматриваемого множества выполняются (так как T_{\omega}(\mathbb{R})\subset C(\mathbb{R}) ). Поэтому множество T_{\omega}(\mathbb{R}) с обычными для функций операциями сложения и умножения на число является вещественным линейным пространством. Нулевым элементом служит двучлен o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t , тождественно равный нулю.

Множество действительных функций, определенных и монотонных на \mathbb{R} , не является линейным пространством, так как разность двух монотонных функций может оказаться немонотонной функцией.

8. Обозначим \mathbb{R}^X - множество действительных функций, определенных на множестве X , с операциями:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Оно является вещественным линейным пространтвом (доказательство такое же, как в предыдущем примере). При этом множество X может быть выбрано произвольно. В частности, если X=\{1,2,\ldots,n\} , то f(X) - упорядоченный набор чисел f_1,f_2,\ldots,f_n , где f_i=f(i),~i=1,\ldots,n Такой набор можно считать матрицей-столбцом размеров n\times1 , т.е. множество \mathbb{R}^{\{1,2,\ldots,n\}} совпадает с множеством \mathbb{R}^n (см. пункт 3 примеров линейных пространств). Если X=\mathbb{N} (напомним, что \mathbb{N} - множество натуральных чисел), то получаем линейное пространство \mathbb{R}^{\mathbb{N}} - множество числовых последовательностей \{f(i)\}_{i=1}^{\infty} . В частности, множество сходящихся числовых последовательностей также образует линейное пространство, так как сумма двух сходящихся последовательностей сходится, и при умножении всех членов сходящейся последовательности на число получаем сходящуюся последовательность. Напротив, множество расходящихся последовательностей не является линейным пространством, так как, например, сумма расходящихся последовательностей может иметь предел.

9. Обозначим \mathbb{R}^{+} - множество положительных действительных чисел, в котором сумма a\oplus b и произведение \lambda\ast a (обозначения в этом примере отличаются от обычных) определены равенствами: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^{\lambda} , другими словами, сумма элементов понимается как произведение чисел, а умножение элемента на число - как возведение в степень. Обе операции действительно определены на множестве \mathbb{R}^{+} , так как произведение положительных чисел есть положительное число и любая действительная степень положительного числа есть положительное число. Проверим справедливость аксиом. Равенства

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

показывают, что аксиомы 1, 2 выполняются. Нулевым вектором данного множества является единица, так как a\oplus1=a\cdot1=a , т.е. o=1 . Противоположным для a вектором является вектор \frac{1}{a} , который определен, так как a\ne o . В самом деле, a\oplus\frac{1}{a}=a\cdot\frac{1}{a}=1=o . Проверим выполнение аксиом 5, 6,7,8:

\begin{gathered} \mathsf{5)}\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^{\lambda}= a^{\lambda}\cdot b^{\lambda}= \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf{6)}\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^{\lambda+\mu}=a^{\lambda}\cdot a^{\mu}=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf{7)} \quad \lambda\ast(\mu\ast a)=(a^{\mu})^{\lambda}=a^{\lambda\mu}=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf{8)}\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end{gathered}

Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.

10. Пусть V - вещественное линейное пространство. Рассмотрим множество определенных на V линейных скалярных функций, т.е. функций f\colon V\to \mathbb{R} , принимающих действительные значения и удовлетворяющих условиям:

f(\mathbf{u}+\mathbf{v})=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V (аддитивность);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb{R} (однородность).

Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма f+g и произведение \lambda\cdot f определяются равенствами:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb{R}.

Выполнение аксиом линейного пространства подтверждается также, как в пункте 8. Поэтому множество линейных функций, определенных на линейном пространстве V , является линейным пространством. Это пространство называется сопряженным к пространству V и обозначается V^{\ast} . Его элементы называют ковекторами.

Например, множество линейных форм n переменных, рассматриваемых как множество скалярных функций векторного аргумента, является линейным пространством, сопряженным к пространству \mathbb{R}^n .

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Головизин В.В. Лекции по алгебре и геометрии. 4

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 2.

Лекция 22. Векторные пространства.

Краткое содержание: определение векторного пространства, его простейшие свойства, системы векторов, линейная комбинация системы векторов, тривиальная и нетривиальная линейная комбинация, линейно зависимые и независимые системы векторов, условия линейной зависимости или независимости системы векторов, подсистемы системы векторов, системы столбцов арифметического векторного пространства.

п.1. Определение векторного пространства и его простейшие свойства.

Здесь, для удобства читателя, мы повторяем содержание п.13 лекции 1.

Определение. Пусть - произвольное непустое множество, элементы которого мы будем называть векторами, K – поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множестве определена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком + и называть сложением векторов. Пусть также на множестве определена внешняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими словами определены два отображения:

Множество вместе с этими двумя алгебраическими операциями называется векторным пространством над полем К, если выполняются следующие аксиомы:

1. Сложение ассоциативно, т.е.

2. Существует нулевой вектор, т.е.

3. Для любого вектора существует противоположный ему:

Вектор у, противоположный вектору х, обычно обозначается –х, так что

4. Сложение коммутативно, т.е. .

5. Умножение вектора на скаляр подчиняется закону ассоциативности, т.е.

где произведение есть произведение скаляров, определенное в поле К.

6. , где 1 - это единица поля К.

7. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов:

8. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров: .

Определение. Векторное пространство над полем вещественных чисел называется вещественным векторным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3. или
.

4. .

Доказательство. 1) Единственность нулевого вектора доказывается также, как единственность единичной матриц и, вообще, как единственность нейтрального элемента любой внутренней бинарной алгебраической операции.

Пусть 0 – нулевой вектор векторного пространства V. Тогда . Пусть
– еще один нулевой вектор. Тогда . Возьмем в первом случае
, а во втором –
. Тогда
и
, откуда следует, что
, ч.т.д.

2а) Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору.

Пусть
. Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:

Относительно сложения векторное пространство является абелевой группой, а в любой группе справедлив закон сокращения. Применяя закон сокращения, из последнего равенства следует

.

2б) Теперь докажем утверждение 4). Пусть
– произвольный вектор. Тогда

Отсюда сразу же следует, что вектор
является противоположным вектору х.

2в) Пусть теперь
. Тогда, применяя аксиомы векторного пространства,
и
получаем:

2г) Пусть
и допустим, что
. Так как
, где К – поле, то существует
. Умножим равенство
слева на
:
, откуда следует
или
или
.

Теорема доказана.

п.2. Примеры векторных пространств.

1) Множество числовых вещественных функций одной переменной, непрерывных на интервале (0; 1) относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

2) Множество многочленов от одной буквы с коэффициентами из поля K относительно сложения многочленов и умножения многочленов на скаляр.

3) Множество комплексных чисел относительно сложения комплексных чисел и умножения на действительное число.

4) Множество матриц одного и того же размера с элементами из поля К относительно сложения матриц и умножения матриц на скаляр.

Следующий пример является важным частным случаем примера 4.

5) Пусть - произвольное натуральное число. Обозначим через множество всех столбцов высоты n, т.е. множество матриц над полем K размера
.

Множество является векторным пространством над полем К и называется арифметическим векторным пространством столбцов высоты n над полем K.

В частности, если вместо произвольного поля К взять поле действительных чисел , то векторное пространство
называется вещественным арифметическим векторным пространством столбцов высоты n.

Аналогично, векторным пространством является и множество матриц над полем K размера
или, иначе, строк длины n. Оно обозначается также через и также называется арифметическим векторным пространством строк длины n над полем K.

п.3. Системы векторов векторного пространства.

Определение. Системой векторов векторного пространства называют любое конечное непустое множество векторов этого пространства.

Обозначение:
.

Определение. Выражение

, (1)

где - скаляры поля К, – векторы векторного пространства V, называется линейной комбинацией системы векторов
. Скаляры называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Определение. Если все коэффициенты линейной комбинации (1) равны нулю, то такую линейную комбинацию называют тривиальной, в противном случае – нетривиальной.

Пример. Пусть
система из трех векторов векторного пространства V. Тогда

– тривиальная линейная комбинация данной системы векторов;

– нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов, т.к. первый коэффициент этой комбинации
.

Определение. Если какой-либо вектор х векторного пространства V может быть представлен в виде:

то говорят, что вектор х линейно выражается через векторы системы
. В этом случае говорят также, что система
линейно представляет вектор х.

Замечание. В этом и предыдущем определении слово "линейно" часто пропускают и говорят, что система представляет вектор или вектор выражается через векторы системы и т.п.

Пример. Пусть
– система из двух столбцов арифметического вещественного векторного пространства столбцов высоты 2. Тогда столбец
линейно выражается через столбцы системы или данная система столбцов линейно представляет столбец х. Действительно,

п.4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов векторного пространства.

Так как произведение нулевого скаляра на любой вектор есть нулевой вектор и сумма нулевых векторов равна нулевому вектору, то для любой системы векторов выполняется равенство

Отсюда следует, что нулевой вектор линейно выражается через векторы любой системы векторов или, говоря иначе, любая система векторов линейно представляет нулевой вектор.

Пример. Пусть
. В этом случае нулевой столбец можно линейно выразить через столбцы системы не одним способом:

или

Чтобы различать эти способы линейного представления нулевого вектора введем следующее определение.

Определение. Если выполняется равенство

и при этом все коэффициенты , то говорят, что система
представляет нулевой вектор тривиально. Если же в равенстве (3) хотя бы один из коэффициентов
не равен нулю, тогда говорят, что система векторов
представляет нулевой вектор нетривиально.

Из последнего примера мы видим, что существуют системы векторов, которые могут представлять нулевой вектор нетривиально. Из следующего примера мы увидим, что существуют системы векторов, которые не могут представлять нулевой вектор нетривиально.

Пример. Пусть
– система двух столбцов из векторного пространства . Рассмотрим равенство:

,

где
неизвестные пока коэффициенты. Используя правила умножения столбца на скаляр (число) и сложения столбцов, получаем равенство:

.

Из определения равенства матриц следует, что
и
.

Таким образом, данная система не может представлять нулевой столбец нетривиально.

Из приведенных примеров следует, что существует два вида систем векторов. Одни системы представляют нулевой вектор нетривиально, а другие нет. Отметим еще раз, что любая система векторов представляет нулевой вектор тривиально.

Определение. Система векторов векторного пространства, которая представляет нулевой вектор ТОЛЬКО тривиально называется линейно независимой.

Определение. Система векторов векторного пространства, которая может представить нулевой вектор нетривиально называется линейно зависимой.

Последнее определение можно дать в более развернутом виде.

Определение. Система векторов
векторного пространства V называется линейно зависимой, если найдется такой ненулевой набор скаляров поля K

Замечание. Любая система векторов
может представлять нулевой вектор тривиально:

Но этого недостаточно, чтобы выяснить линейно зависимая или же линейно независимая данная система векторов. Из определения следует, что линейно независимая система векторов не может представлять нулевой вектор нетривиально, а только тривиально. Поэтому для того, чтобы убедиться в линейной независимости данной системы векторов, нужно рассмотреть представление нуля произвольной линейной комбинацией этой системы векторов:

Если это равенство невозможно при условии, чтобы хотя бы один коэффициент этой линейной комбинации был ненулевой, тогда эта система является по определению линейно независимой.

Так в примерах предыдущего параграфа система столбцов
является линейно независимой, а система столбцов
является линейно зависимой.

Аналогично доказывается линейная независимость системы столбцов , , ... ,

из пространства , где К - произвольное поле, n – произвольное натуральное число.

Следующие теоремы дают несколько критериев линейной зависимости и соответственно линейной независимости систем векторов.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система
линейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:

где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть
,
.

Разделим обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на :

Обозначим:
, где .

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие векторы этой системы, ч.т.д.

Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы:

Перенесем вектор в правую часть этого равенства:

Так как коэффициент при векторе равен
, то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов
, что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие.

1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.

2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть система линейно независимая. Допустим противное и существует вектор системы линейно выражающийся через другие вектора этой системы. Тогда по теореме система является линейно зависимой и мы приходим к противоречию.

Достаточность. Пусть ни один из векторов системы не выражается через другие. Допустим противное. Пусть система линейно зависимая, но тогда из теоремы следует, что существует вектор системы линейно выражающийся через другие векторы этой системы и мы опять приходим к противоречию.

2а) Пусть система содержит нулевой вектор. Допустим для определенности, что вектор
:. Тогда очевидно равенство

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы. Из теоремы следует, что такая система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Заметим, что этот факт можно доказать непосредственно из определения линейно зависимой системы векторов.

Так как
, то следующее равенство очевидно

Это нетривиальное представление нулевого вектора, а значит система
является линейно зависимой.

2б) Пусть система имеет два равных вектора. Пусть для определенности
. Тогда очевидно равенство

Т.е. первый вектор линейно выражается через остальные векторы этой же системы. Из теоремы следует, что данная система линейно зависимая, ч.т.д.

Аналогично предыдущему это утверждение можно доказать и непосредственно определения линейно зависимой системы.

Действительно, так как
, то верно равенство

т.е. мы имеем нетривиальное представление нулевого вектора.

Следствие доказано.

Теорема (О линейной зависимости системы из одного вектора.

Система, состоящая из одного вектора является линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Доказательство.

Необходимость. Пусть система
линейно зависимая, т.е. существует нетривиальное представление нулевого вектора

,

где
и
. Из простейших свойств векторного пространства следует, что тогда
.

Достаточность. Пусть система состоит из одного нулевого вектора
. Тогда эта система представляет нулевой вектор нетривиально

,

откуда следует линейная зависимость системы
.

Теорема доказана.

Следствие. Система, состоящая из одного вектора является линейно независимой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой.

Доказательство оставляется читателю как упражнение.