Как решать взаимное расположение графиков линейных функций. Урок "взаимное расположение графиков линейных функций"
§ 1 Взаимное расположение графиков линейных функций
Из курса геометрии мы знаем, что 2 прямые на плоскости могут совпадать, т.е. иметь бесконечно много общих точек; пересекаться, т.е. иметь одну общую точку или не пересекаться, т. е. не иметь ни одной общей точки. Такие прямые называются параллельными.
Линейная функция задаётся равенством вида у = kх + m. Коэффициент k называют угловым коэффициентом. Он «отвечает» за угол наклона прямой относительно положительного направления оси х. Если k > 0, то угол наклона острый (как на рисунке 1), если k < 0, то угол наклона тупой (как на рисунке 2).
А теперь посмотрим на рисунок 3. На нём изображены 2 прямые, заданные уравнениями у = k1 + m1 и у = k2 + m2. Предположим, что k1 = k2. Это означает, что углы наклона прямой одинаковы. Это соответственные углы, а значит данные нам прямые параллельны по признаку параллельных прямых.
Таким образом, если 2 линейные функции имеют одинаковый угловой коэффициент, то их графики будут параллельны. Если же угловые коэффициенты не равны, то графики будут пересекаться.
Например, даны линейные функции, заданные формулами у = 2х - 1 и у = 2х + 3. Как будут располагаться на плоскости их графики по отношению друг к другу? Так как угловой коэффициент первой функции k1 = 2 и угловой коэффициент второй функции k2 = 2, то графики будут параллельны.
Или другая пара: у = х - 3 и у = 2х + 3. У первой функции коэффициент k1 = 1, а у второй функции коэффициент k2 = 2. Это неравные коэффициенты, поэтому графики этих функций будут пересекаться. А в каком же случае прямые будут совпадать?
Для ответа надо сначала ответить на другой вопрос: а за что «отвечает» коэффициент m? Давайте посмотрим на рисунок, на котором изображены графики трёх функций:
у = х, у = х + 3 и у = х - 2.
У всех трёх функций угловой коэффициент k= 1, т. е. графики параллельны. Но обратите внимание: график функции у = х проходит через начало координат, здесь m = 0. График функции у = х + 3 получен сдвигом графика у = х на 3 единицы вверх, как показывает коэффициент m = 3.
График функции у = х - 2 получен сдвигом графика у = х на 2 единицы вниз, как показывает коэффициент m = -2. Иначе говоря, коэффициент m отвечает за параллельный перенос графика у = kх относительно начала координат на m единиц вдоль оси у.
Теперь можно ответить на поставленный вопрос. 2 прямые будут совпадать, если у них одинаковые угловые коэффициенты и коэффициент m1равен коэффициенту m2.
§ 2 Краткие итоги по теме урока
Графики линейных функций по отношению друг к другу на плоскости могут быть параллельны, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны, а коэффициенты m1 и m2 различны. Могут пересекаться в случае, когда угловые коэффициенты k1 и k2 не равны. А также могут совпадать, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны и коэффициенты m1 и m2 так же равны. График функции у = kх проходит через начало координат, т. к. коэффициент m = 0, а график функции у = kх + m проходит через точку (0; m).
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010
На данном уроке мы вспомним все, что изучили о линейных функциях и рассмотрим различные варианты расположения их графиков, вспомним свойства параметров и рассмотрим их влияние на график функции.
Тема: Линейная функция
Урок: Взаимное расположение графиков линейных функций
Напомним, что линейной называется функция вида:
x - независимая переменная, аргумент;
у - зависимая переменная, функция;
k и m - некоторые числа, параметры, одновременно они не могут быть равны нулю.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Важно понимать смысл параметров k и m и на что они влияют.
Рассмотрим пример:
Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения , параметр - это ордината точки пересечения прямой с осью у. Кроме того, отметим, что коэффициент отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси х, кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный - убывать. Коэффициент называется угловым коэффициентом.
Таблица для второй функции;
Таблица для третьей функции;
Очевидно, что все построенные прямые параллельны, потому что их угловые коэффициенты одинаковы. Функции отличаются только значением m.
Сделаем вывод. Пусть заданы две произвольные линейные функции:
и 
Если но то заданные прямые параллельны.
Если и то заданные прямые совпадают.
Изучение взаимного расположения графиков линейных функций и свойств их параметров является основой для изучения систем линейных уравнений. Мы должны запомнить, что если прямые параллельны, то система не будет иметь решений, а если прямые совпадают - то система будет иметь бесчисленное множество решений.
Рассмотрим задачи.
Пример 2 - определить знаки параметров k и m по заданному графику функции:
Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k также плюс.
Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k минус.
Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k плюс.
Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k также минус.
Рассмотрим случай, когда угловые коэффициенты не равны. Рассмотрим пример:
Пример 3 - найти графически точку пересечения прямых:
Обе функции имеют график - прямую линию.
Угловой коэффициент первой функции , второй функции , , значит прямые не параллельны и не совпадают, значит имеют точку пересечения, при чем единственную.
Составим таблицы для построения графиков:
Таблица для второй функции;
Очевидно, что прямые пересекаются в точке (2; 1)
Проверим результат, подставив полученные координаты в каждую функцию.
Цель занятия: На этом занятии вы познакомитесь с различными случаями взаимного расположения графиков линейных функций и научитесь их распознавать.
Как могут располагаться графики линейных функций?
Вы уже знаете, что графиком линейной функции является прямая.
Каково может быть расположение двух прямых на плоскости?
- Они могут пересекаться, то есть иметь единственную общую точку.
- Они могут быть параллельны, то есть не иметь общих точек.
- Они могут совпадать, то есть иметь бесконечно много общих точек.
Определим условия для каждого из этих случае.
Начнем с последнего случая: графики двух линейных функций совпадают. Очевидно, что в том случае, когда линейная функция задана уравнением y = kx + b , очевидным условием совпадения графиков этих функций будет совпадение коэффициентов k и b .
Понятно, что если уравнения обеих функций записаны в таком виде, установить совпадение их графиков легко. Однако в том случае, когда одна из функций или каждая функция записаны по-другому, необходимо преобразовать выражения.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
Даны три функции:
(1) y
= 2x
+ 3 – 5(x
+ 2)
(2) y
= 3x
2 – 3(x
+ 2)(x
– 3) – 25
(3) y
= 2x
2 + 3x
– 2x
(x
+ 2)
Выясните, графики каких из них совпадают.
Решение:
1. Для начала выясним области определения каждой функции.
Так как ни одна из функций не включает дробей со знаменателями, содержащими переменную, областью определения каждой из них является любое число.
2. Преобразуем каждую из функций.
(1) y
= 2x
+ 3 – 5(x
+ 2) = 2x
+ 3 – 5x
– 10 = –3x
–7
(2) y
= 3x
2 – 3(x
– 2)(x
+ 3) – 25 = 3x 2 – 3(x
2 – 2x
+ 3x
– 6) = 3x
2 – 3x
2 – 3x
+ 18 – 25 = –3x
–7
(3) y
= 2x
2 + 3x
– 2x
(x
+ 2) = 2x
2 + 3x
– 2x
2 – 4x
= –x
В результате преобразований мы получили, что выражения для первой и второй функций совпадают. Это значит, что и графики функций (1) и (2) совпадают.
Теперь рассмотрим ситуацию параллельности графиков линейных функций.
Для этого рассмотрим пример.
Пример 2.
Выяснить взаимное расположение графиков линейных функций y = –2x + 3 и y = –2x – 1.
Найдем несколько пар точек, принадлежащих графикам этих функций, для соответствующих значений аргумента и занесем эти точки в таблицу:
| x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y = –2x + 1 | 7 | 5 | 3 | 1 | –1 | –3 |
| y = –2x – 2 | 3 | 1 | –1 | –3 | –5 | –7 |
Видно, что в каждой точке значение функции y = –2x – 1 на 4 единицы меньше, чем значение функции y = –2x + 3. Это значит, что каждой точке графика функции y = –2x + 3 с координатами (x 0 ; y 0 ) соответствует точка с координатами (x 0 ; y 0 – 4) графика функции y = –2x – 1, то есть вся прямая сдвигается вниз на 4 единицы. Таким образом, графиком функции y = –2x – 1 является прямая, параллельная графику функции y = –2x + 3 (см. рис.1.).
Рис. 1. Графики функций y = –2x – 1 (красный) и y = –2x + 3 (синий)Таким образом, условием параллельности графиков функций:
y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 является: k 1 = k 2 и b 1 ≠ b 2 .
Для того чтобы более подробно изучить вопрос с параллельностью прямых, поработайте с материалами видеоуроков.
«Уравнение параллельной прямой»
«Параллельные прямые».
В тех случаях, когда k 1 ≠ k 2 графики линейных функций y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 не параллельны и не совпадают. Они пересекаются в единственной точке.
Теперь поработайте с материалами электронных образовательных ресурсов (ЭОР) « » (теоретический материал) и « » (практические задания).
Рассмотрим частный случай пересечения графиков линейных функций – их перпендикулярность – и выясним, какое условие должно выполняться для того, чтобы графики функций y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 были перпендикулярны.
Условием перпендикулярности прямых будет выполнение условия: k 1 ∙ k 2 = –1 , то есть угловые коэффициенты прямых должны быть обратными по модулю числами с противоположными знаками.
Заметим, что с доказательством этого факта вы познакомитесь позже, в 9 классе.
Рассмотрите примеры решения задач, связанные с перпендикулярностью прямых, поработав в материалами видеоуроков.
«Перпендикулярные прямые».
«Перпендикулярные прямые 2».
Решение задач
Прежде чем переходить к решению задач, изучите материалы видеоуроков.
«Параллельные прямые 2».
«Параллельные прямые 3».
Пример 1.
Найдите координаты общих точек графиков функций.
а) y = 2x – 3(x + 2) и y = 5x + 6
Решение:
Выясним, как расположены графики функций. Для этого преобразуем первую функцию:
y = 2x – 3(x + 2) = 2x – 3x – 6 = –x – 6
Имеем функции y = –x – 6 и y = 5x + 6. Так как угловые коэффициенты этих функций не являются равными числами, то графики функций пересекаются в единственной точке (x 0 ; y 0 ).
Для того чтобы найти общую точку, нужно найти такую пару чисел (x 0 ; y 0 ), при подстановке которых и в первое, и во второе уравнение получатся верные числовые равенства. Или, рассуждая по-другому, ординаты графиков должны получиться одинаковые при равных значениях абсциссы.
То есть нужно решить уравнение: –x 0 – 6 = 5x 0 + 6, а затем найденное значение подставить в одно из уравнений для того чтобы найти значение ординаты.
Решая уравнение, получаем: –12 = 6x 0 или –2 = x 0 тогда y 0 = –4. Таким образом, координаты точки пересечения графиков функций y = –x – 6 и y = 5x + 6 является точка (–2; –4).
Графическая иллюстрация изображена на рисунке 2.
Рис. 2. Графики функций y = –x – 6 (красный) и y = 5x + 6 (синий)б) y = –2x + 3(x – 4) + 8 и y = 5x – 4(x – 1)
Решение:
Преобразуем данные функции:
y
= –2x
+ 3(x
– 4) + 8 = –2x
+ 3x
– 12 + 8 = x
– 4
y
= 5x
– 4(x
– 1) = 5x
– 4x
+ 4 = x
+ 4
Так как угловые коэффициенты данных функций совпадают, а свободные коэффициенты различны, то графики функций будут параллельны, то есть графики общих точек не имеют.
Графическая иллюстрация изображена на рисунке 3.
Рис. 3. Графики функций y = x + 4 (красный) и y = x – 4 (синий)в) y = –2x – 3(x – 1) и y = –5x + 3
Решение:
Преобразуем первую функцию:
y = –2x – 3(x – 1) = –2x – 3x + 3 = –5x + 3
В данном случае уравнения функций одинаковые, значит, графики функций совпадают. Поэтому эти графики имеют бесконечно много общих точек.
Пример 2.
Докажите, что график функции (1) y = 6x + 3(1 – 3x ) всегда расположен выше графика функции (2) y = –x – 2(x + 2).
Решение:
Преобразуем данные функции.
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Гимназия №1 имени Ризы Фахретдина" г. Альметьевск Республики Татарстан, ул. Ленина,124
Урок математики в 7 классе по теме
«Взаимное расположение графиков линейных функций»
учитель математики высшей категории
Закирова Миннур Анваровна
г.Альметьевск, 2016 год
Урок « Взаимное расположение графиков линейных функций» - это урок изучения новых знаний. Урок предназначен для учащихся 7 класса общеобразовательной школы изучающих математику по учебнику «Алгебра 7» для учащихся общеобразовательных учреждений, А.Г.Мордкович, М.,Мнемозина,2012
На уроке организована частично - поисковая деятельность учащихся, которые в ходе выполнения практической работы учащиеся выясняют, как влияют коэффициенты k и m линейных функций на взаимное расположение соответствующих прямых.
Выполнение исследовательской работы учащихся организовано в группах. В конце выполнения работы по одному представителю презентуют работу у доски перед всеми учащимися класса.
Урок состоит из следующих основных этапов:
2.Актуализация опорных знаний
исследовательской работы
5.Физминутка
7.Рефлексия
Использование на уроке информационно-коммуникационных технологий (презентация к уроку) способствует увеличению количества заданий рассматриваемых на уроке, позволяет сделать урок ярким и интересным для учащихся, повышает интерес к предмету.
Тема урока: «Взаимное расположение графиков линейных функций»
Цель урока: формирование практико-ориентированной компетенции при построении графиков функций в зависимости от коэффициентов
Задачи:
Образовательные:
1.Повторить свойства линейной функции
2.Отработать навык построения графиков линейной функции
3.Определить влияние коэффициентов к и m на взаимное расположение графиков линейных функций
4.Отработать знания и умения определять взаимное расположение графиков линейных функций заданных аналитически
5. Приобретение навыков исследовательской работы
Развивающие:
1.Развивать навыки самоконтроля
2.Развивать коммуникативные компетентности (культуру общения, умение работать в группах
3.Развивать осмысленное отношение к своей деятельности; творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества
4.Развивать самостоятельность мышления, видеть общую закономерность и делать обобщенные выводы.
5.Развивать практическую направленность изучаемого материала
6.Развивать математическую речь, память, умение анализировать, обобщать и делать выводы;
7.Развивать познавательный интерес к предмету, логическое мышление;
Воспитательные:
1.Воспитывать ответственное отношение к учению;
2.Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;
3.Воспитывать аккуратность, трудолюбие, чувство коллективизма, уважение и интерес к математике
4.Воспитывать культуру общения, умения слушать и слышать других
Тип урока : изучение нового материала.
Вид урока : проблемный.
Формы организации учебно-познавательной деятельности : фронтальная работа, работа в группах, индивидуальная работа
Структура урока:
1.Организационный момент
2.Актуализация опорных знаний
3.Введение в тему, постановка учебных задач
4.Изучение нового материала в ходе выполненияисследовательской работы
5.Физминутка
6.Первичное осмысление и закрепление учебного материала
7.Рефлексия
8.Запись и обсуждение домашнего задания
9.Подведение итога урока, анкетирование
Эпиграф урока
«Истина не рождается в голове отдельного человека, она рождается между людьми, совместно ищущими, в процессе их диалогического общения»
Бахтин М.М
Ход урока
1.Организационный момент -2 мин.
Цель: обеспечить рабочую обстановку на уроке, включить всех обучающихся в рабочую обстановку.
Учитель приветствует учащихся, проверка присутствующих на уроке и проверка готовности к уроку, наличие учебных принадлежностей. Настрой учащихся на учебную деятельность.
2.Актуализация опорных знаний - 6 мин.
Цель: организовать познавательную деятельность учащихся.
Экспресс-опрос
1)Слайд 3: проверка знания видов функций и формул их задающих; алгоритм построения графиков линейной функции и прямой пропорциональности.
Какие функции вам известны?
Какой формулой задается каждая из этих функций?
Как называется переменная x и y в формуле, задающий функцию?
Что является графиком этих функций? В чем их сходство и различие?
Каким образом мы сможем построить графики этих функций?
2)Слайд 4: Среди записанных на доске формул выберите те, которые задают линейную функцию, прямую пропорциональность. Сколько точек, кроме начала координат, достаточно для построения графика прямой пропорциональности?
y= (5x-1) + (8x+9)
3)Слайд 5: нахождение значения функции для известного значения аргумента и нахождение аргумента по известному значению функции.
Функция задана формулой y=2x+5. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -3;0;5
Функция задана формулой y=4x-9. Найдите значение аргумента, при котором функция принимает значение -1;0;3
4)Слайд 6: проверить принадлежность предложенных точек графику заданной функции у= -2х
5)Слайд №7.Установите соответствие между графиком линейной функции и ее формулой
а) б) в)
г) д е)
1)у=2х 2) у=-2х 3)у=2х+2 4) у=-2х+2 5)у=-2х+2 6)у=-2х-2
3.Введение в тему. Постановка учебных задач - 2 мин.
Цель: обеспечить целеполагание.
Известно, что графиком линейной функции и прямой пропорциональности являются прямые. Ребята, вспомните из курса геометрии, каким может быть взаимное расположение двух прямых (параллельны, пересекаются, совпадают). А теперь нам предстоит выяснить, от чего зависит взаимное расположение двух прямых, то есть перед нами такая проблема : слайд №8
1.Выяснить при каком значении k и m графики функций параллельны, пересекаются.
2.Выяснить существует ли связь между значением m и координатами точек пересечения графика с осями координат.
Для этого мы выполним следующую исследовательскую работу.
4.Изучение нового материала в ходе выполнения исследовательской работы - 15 мин. Цель: создание условий для введения нового материала. (слайд №9)
Сейчас вы выполните исследовательскую работу, которая поможет ответить на следующие вопросы: от чего зависит параллельность, пересечение графиков линейных функций? Как по аналитическому заданию функций определить взаимное расположение их графиков? Для этого в одной системе координат постройте графики функций, определите закономерность расположения графиков и сходство в записи формул:
Задание №1 первому ряду:
| Коэффициент k, | Коэффициент m |
|
Задание №2 второму ряду:
| Коэффициент k, | Коэффициент m |
|
Задание №3 третьему ряду:
| Коэффициент k, | Коэффициент m |
|
Обсуждение результатов исследовательской работы
Слайд 10: обсуждение результатов исследовательской работы.
1)Посмотрите на формулы, задающие графики в задании №1, что вы можете сказать про коэффициенты? (k - одинаковы, m - различны). Обратите внимание на то, как расположены графики функций в задании №1 (графики данных функций параллельны).
2)Посмотрите на формулы, задающие графики в задании №2, что вы можете сказать про коэффициенты? (k -различны, m - различны) Обратите внимание на то, как расположены графики функций в задании №2? (графики данных функций пересекаются). Слайд №11.
3)Посмотрите на формулы, задающие графики в задании №3, что вы можете сказать про коэффициенты? (k - различны, m - одинаковы). Обратите внимание на то, как расположены графики функций в задании №3? (графики данных функций пересекаются в точке с координатой (0;3)). Слайд №12.
4)Какой вывод можно сделать, сопоставив аналитическое задание функций и взаимное расположение их графиков? (слайд 13).Записать полученные выводы в тетрадь.
Заполните таблицу (слайд №14): (проверка по слайду №15)
5.Физминутка-релаксация. (слайд 16)-2мин.
Просмотр слайда под музыку , и выполнение п ростейших упражнений для глаз , которые служат профилактикой нарушения зрения, а также благоприятны при неврозах, гипертонии, повышенном внутричерепном давлении.
Комплекс упражнений для глаз:
1) вертикальные движения глаз вверх - вниз;
2) горизонтальное вправо - влево;
3) вращение глазами по часовой стрелке и против;
4) закрыть глаза и представить по очереди цвета радуги как можно отчетливее;
5) на доске начерчены кривые (спираль, окружность, ломаная)и четырехугольники; предлагается глазами “нарисовать” эти фигуры несколько раз в одном, а затем в другом направлении.
Мозговая гимнастика
6) “Ленивые восьмёрки” (упражнение активизирует структуры мозга, обеспечивающие запоминание, повышает устойчивость внимания):
нарисовать в воздухе в горизонтальной плоскости “восьмёрки” по три раза каждой рукой, а затем обеими руками.
7) “Шапка для размышлений” (улучшает внимание, ясность восприятия и речь):
“наденьте шапку”, то есть мягко заверните уши от верхней точки до мочки три раза.
8) “Письмо носом” (снижает напряжение в области глаз):
закройте глаза. Используя нос, как длинную ручку, пишите или рисуйте что-нибудь в воздухе. Глаза при этом мягко прикрыты.
6.Первичное осмысление и закрепление изученного - 12 мин.
Цель: отработка умения определять по формулам задающим линейные функции взаимное расположение графиков функций
1)Не выполняя построения, установите взаимное расположение графиков линейных функций (слайд №17):
у = 2х и у = 2х - 4
у = х +3 и у = 2х - 1
у =4х + 6 и у = 4х + 6
у =12х - 6 и у = 13х - 6
у =0,5 х + 7 и у = 1/2 х - 7
у =5х + 8 и у = 15/3х + 4
у = 12/16х - 4 и у = 15 /16х +3
2)Поставьте вместо … такое число, чтобы графики заданных линейных функций (слайд №18):
пересекались: параллельны:
у = 6х + 5 и у = … х + 5
у = - 9 - 4х и у = -… х - 5
у = - х - 6 и у = -…х + 6
а) у = 1,3х - 5 и у = …х +7
б) у = …х + 3 и у = -4 х - 6
в) у = 45 - … х и у = -2х - 5
3)Составить функцию, так чтобы они пересекали ось ОУ в точке с координатой (0;т) (слайд №19)
а) у = 10х -3;
б) у = - 20х -7;
в) у = 0,5х -3;
г) у = -3 - 20х;
д) у = 3х +2 ;
е) у = 2 + 3х;
ж) у = 1/2х + 3;
в) решить по учебнику №10.6;10.8;10.10
7.Рефлексия -2 мин.
Цель: создание условий для формирования навыков самоанализа.
Фронтальное обсуждение вопросов: какова цель прошедшего урока? Что мы делали, чтобы достигнуть цели? Что нового узнали?
8. Запись и обсуждение домашнего задания - 2 мин. (слайд 20)
9.Подведение итогов урока и выставление оценок. Анкетирование -2 мин.
Цель: подвести итоги урока, обобщить и систематизировать знания и умения, полученные на уроке
Анкета «Как прошел урок?» (слайд 21)
Литература:
1. А.Г.Мордкович. Алгебра 7, Часть1, учебник. для учащихся общеобразовательных учреждений, М.,Мнемозина,2010
2. А.Г.Мордкович. Алгебра. 7,.Часть 2, задачник для учащихся общеобразовательных учреждений, М.,Мнемозина,2010
3. Л.А. Александрова Алгебра 7, Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, М.,Мнемозина, 2012г
Самоанализ
В ходе урока по теме «Взаимное расположение графиков линейных функций» достигнуты все поставленные цели. Учащиеся с большой готовностью и желанием включились в работу, с интересом выполняли задания практической работы. По ходу урока ребята стремились быстро и четко отвечать на поставленные вопросы, им было интересно узнать содержание последующих слайдов. За урок было решено большое количество заданий, устных и письменных, построено много графиков линейных функций, что способствует отработки навыка.
Устные вопросы способствовали развитию математической речи учащихся. Использование проблемных задач способствовало развитию логического мышления учащихся. Ребятам понравился этап подведения итога урока в виде анкеты «Как прошел урок?», все давали подробные ответы, а не просто односложно отвечали на предложенные вопросы. С большим энтузиазмом восприняли они и домашнее задание, которое можно назвать творческим, а не репродуктивным.
Используя на данном уроке презентацию, я смогла показать учащимся что компьютер - это универсальный инструмента для учебного процесса, а не только средство развлечения и общения.
Здесь будет файл: /data/edu/files/a1459785211.pptx (Взаимное расположение графиков линейных функций)
На уроке испрользуются разные методы обучения:
Частично-поисковый;
Проверка по образцу;
Частично-исследовательский;
Частично-проблемный.
Поэтому я думаю многие могут взять мой материал за основу для своего урока.
Просмотр содержимого документа
«Конспект открытого урока алгебра 7 класс по теме "Взаимное расположение графиков линейных функций"»
ПЛАН – КОНСПЕКТ УРОКА
| ФИО (полностью) | Асташова Тамара Александровна |
|
| Место работы | МБОУ Поповская ООШ |
|
| Должность | у читель математики |
|
| Предмет | алгебра |
|
| Класс | ||
| Тема и номер урока в теме | Взаимное расположение графиков линейных функций, урок № 1 |
|
| Базовый учебник | Учебник : А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. Алгебра -7 (в 2 частях). М.: Мнемозина, 2013 г. |
|
| ТИП УРОКА: | урок изучения нового материала. |
|
| ЦЕЛЬ: | Рассмотреть различные случаи взаимного расположения графиков линейных функций. |
|
| ЗАДАЧИ: Обучающие: | Создать условия для: Раскрытия геометрического смысла коэффициентов k и m линейной функции; Формирования умений по внешнему виду формул линейных функций устанавливать взаимное расположение их графиков; |
|
| Развивающие: | Создать условия для: Самостоятельного добывания знаний, осмысленного отношения к своей деятельности; Развития мыслительной деятельности обучающихся, умения сравнивать, обобщать и делать выводы; |
|
| Воспитательные: | Создать условия для: Развития грамотной математической речи, умения работать в парах, умения анализировать и делать выводы. |
|
| МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ: | Частично-поисковый; Проверка по образцу; Частично-исследовательский; Частично-проблемный. |
|
| ФОРМА ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: | Фронтальный опрос; Работа в парах; Индивидуальная работа; |
СТРУКТУРА УРОКА:
Организационный момент (1 мин).
Актуализация опорных знаний (6 мин)
Формулировка темы. Постановка учебных задач (1 мин)
Изучение нового материала (15 мин)
Физкультминутка (2 мин)
Первичное закрепление (10 мин)
Рефлексия (2 мин)
Домашнее задание (1 мин)
Итог урока (2 мин)
Необходимое техническое оборудование : ноутбук, мультимедийный проектор, компьютеры для учащихся
Структура и ход урока :
| Этап урока | Название используемых ЭОР | Деятельность учителя | Деятельность ученика | ||
| Орг. момент Цель: Обеспечить рабочую обстановку на уроке. | Приветствует учеников, сообщает девиз урока. Девизом к нашему уроку я хочу предложить такие слова «Каждое дело творчески, иначе зачем?» | Отчет дежурного | |||
| Актуализация знаний. Цель: Организовать познавательную деятельность учащихся. | Экспресс- опрос : 1. Какую функцию называют линейной? 2. Что является графиком линейной функции? 3. Какое уравнение имеет линейная функция, график которой проходит через начало координат? 4. От чего зависит угол между прямой и положительным направлением оси ОХ? 5. Что является графиком уравнения х=а и y= в? | Ответы на вопросы. | |||
| Распределите данные функции по группам. Оценивает работу учащихся | выполнение самостоятельной работы | ||||
| Введение в тему. Постановка учебных задач. Цель: Обеспечить целеполагание | Слайд №4 и №5 | Задаёт вопрос из курса геометрии: «Прямые на плоскости могут иметь сколько общих точек?» Формулирует тему урока. | Отвечают на вопрос. Записывают тему | ||
| Ознакомление с новым материалом. Цель: Создать условия для ознакомления учащихся с новым материалом | Взаимное расположение графиков линейных функций. Слайд с № 6 по №12 | И так я вам предлагаю провести исследование графиков линейных функций и сделать выводы о поведении графиков в зависимости от их коэффициентов. Работу делаем самостоятельно, но в парах по вариантам. Вместе с учащимися сделать выводы: Если даны две линейные функции у=к1 +m1 и у=к2+ m2,то графики функций параллельны, если к1=к2. Графики функций пересекаются, если к1 и к2 различны. Графики функций пересекаются в одной точке, если к1 и к2 различны, а m1= m2; | Выполняют самостоятельную. Отвечают на вопрос учителя, делают выводы, после корректировки учителем этих выводов учащиеся записывают их в тетради. | ||
| Здоровье-сберегающая пауза. | Слайд №13 | После такой работы нужно потянуться и распрямить свой позвоночник. Мы засиделись. Нужно расправить свои плечи и потянуться. Встанем. Выпрямимся. Начинаем нашу разминку. Ось ординат. Раз. Два. Потянулись. Ось абсцисс. Раз. Два. Помахали. Прямая у = kx + m. Раз. Два. Потянуться. Три. Четыре. Потянуться. k – положительное. Наклон вправо. Потянулись. k – отрицательное. Наклон влево. Потянулись. И ещё раз. Закроем глаза, проделаем круговые движения глазами влево, вправо, откроем глаза и быстро поморгаем. | Выполняют упражнения | ||
| Первичное осмысление изученного. Цель: Создать условия для первичного осмысления полученных знаний. | Взаимное расположение графиков линейных функций, №14 по №16. | Выполняем задание 3 из практики. Учитель демонстрирует задания: Выполняем № 10.1 стр.27. Учитель демонстрирует задание. Возникает проблема???? пример в Сформулируйте как располагаются графики по вашему мнению. Самостоятельно №10.2 | Устно выполняют задание Фронтальный опрос. Ученики формулируют вывод Записывают в тетрадях решение №10.1 . Учащиеся выполняют самостоятельно задание 10.2 из задачника. Учащиеся записывают решение задания в тетради. | ||
| Итоги урока | Задает вопросы: 1.В каком случае графики линейных функций пересекаются? 2.В каком случае графики линейных функций параллельны? 3.В каком случае графики линейных функций пересекаются в одной точке? 4.В каком случае графики линейных функций совпадают? Учитель оценивает работу учащихся на уроке. | Отвечают на вопросы | |||
| Домашнее задание. Цель: Дать инструкцию по выполнению домашнего задания. | 1 уровень - № 10.4,№10.5 2 уровень - № 10.3; №10.6-№10.8 Творческое задание: для интересующихся математикой: «Линейная зависимость в пословицах и поговорках». | Записывают дом задание в дневник |
Приложение №1:
| Вариант 1 | Вариант 2 |
||||||||||||||||||
| В одной системе координат постройте графики функций, определите закономерность расположения графиков и сходство в записи формул: |
|||||||||||||||||||
| Задание №1 | Задание №1 |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
| Задание №2 | Задание №2 |
||||||||||||||||||
|
|
Приложение №2:
| Линейные функции | Алгебраическое | Геометрический вывод |
| к 1 =к 2 , m 1 ≠ m 2 | ||
| к 1 ≠ к 2 , m 1 ≠ m 2 | ||
| к 1 ≠ к 2 , m 1 =m 2 | ||
| к 1 =к 2 , m 1 =m 2 | ||
| Линейные функции | Алгебраическое |
