Q у │z 1 =а = 0 ;

R A – q . а = 0 ,

20 – 20а = 0 , откуда а = 1 м.

М х │z 1 =1 = 10 + 20 . 1 – 10 . 12 = 20 кНм.

2-й участок.

(1 м ≤ z 2 ≤ 2 м)

Q у = - R В – q . (z2 – 1) = -20 + 20 . (z 2 – 1) = +20z 2 – 40

(прямая с тем же наклоном) ;

при z 2 = 2 м

Q у = 20 . 2 – 40 = 0 ,

при z 2 = 1 м

Q у = 20 . 1 – 40 = - 40 кН,

(z2 – 1)

Мх = - М2 + RВ . (z2 – 1 ) - q . (z2 – 1 ) . ----------

1. Определим неизвестную опорную реакцию R , составив уравнение

равновесия для всего стержня и учитывая С 2.5, С 2.4, К 2.5, К 2.4 (рис. 3.20).

∑Z = 0 ,

R – F1 + F2 + F3

Q 1 . 2 – q 2 . 3 = 0 ,

R = -40 + 10 + 20 + 30

2 – 5 . 3 ,

R = +35 кН.

F =10 кН F3 =20 кН

при z 3

м (правый край участка)

10 - 5 . 0 = -10 кН;

при z 3

м (левый край участка)

10 - 5 . 3 = -25 кН.

4 участок.

м ≤ z 4 ≤ 2 м (область определения N4 )

N 4 = F 3 + F 2 – F 1 – q 2

3 + q 1 . z 4 = 20 + 10 – 40 – 5 . 3 + 30 . z 4 = -25

30z 4

при z4 = 0 м

при z4 = 2 м

М1 =2М

М2 =5М

М3 =7М

М4 =3М

М z М кр

ℓ1

ℓ2

Расстояние в долях

точенная

а1 /а

а2 /а

а3 /а

Время выполнения работы – 2 часа

Цель: Двухступенчатый стальной брус, длина ступеней которого указана на схеме, нагружены силами F 1 и F 2. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение (укорочение) бруса, приняв МПа.

Задача: Числовые значения сил F 1 и F 2, а так же площадей поперечных сечений ступеней А 1 и А 2 взять из таблицы.

Практическая работа №8

Тема: Решение задач по теме «Растяжение, сжатие»

Время выполнения работы – 1 час

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает один внутренний силовой фактор – продольная сила N.
Величина последней равна алгебраической сумме проекций на продольную ось внешних сил, действующих на отсеченную часть стержня
N=∑ F KZ (1)
Так как величина продольных сил в разных сечениях стержня неодинакова, то строится эпюра продольных сил, т.е. график, показывающий изменения величины продольных сил в сечении стержня по его длине.
Под действием продольных сил в поперечном сечении стержня возникает нормальное напряжение, которое определяется по формуле:
σ =N/А
где А- площадь поперечного сечения стержня.
При решении первой задачи от студента требуется умение строить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и определять удлинение или укорочение стержня.
Последовательность построения эпюр продольных сил:
Разбиваем стержень на участки, ограниченные точками приложения сил (нумерацию участков ведём от незакрепленного конца).
Используя метод сечений, определяем величину продольных сил в сечении каждого участка.
Выбираем масштаб и строим эпюру продольных сил, т.е. под изображением стержня проводим прямую, параллельную его оси, и от этой прямой проводим перпендикулярные отрезки, соответственно в выбранном масштабе продольным силам (положительное значение откладываем вверх (или в право) отрицательное - вниз (или влево).
Последовательность построения эпюр нормальных напряжений.
Разбиваем стержень на участки, ограниченные точками приложения сил и там, где меняется площадь сечения
Строим эпюру нормальных сил
по формуле 1 определяем нормальные напряжения на каждом участке
По полученным значениям в масштабе строим эпюру нормальных напряжений.
Удлинение (укорочение) стержня определяется по формуле Гука.

где Е – модуль Юнга (для стали Е=2·10 5 МПа).
Удлинение (укорочение) определяется на каждом участке стержня, а затем находят алгебраическую сумму полученных значений. Это будет ∆l стержня. Если ∆l положительна, то брус удлиняется, если ∆l отрицательна, то укорачивается.
При решении ряда задач необходимо ясно представлять смысл условия прочности при растяжении – сжатии, знать, что исходя из условия прочности, можно производить три вида расчётов:
а) проверочный, при котором проверяется выполнено ли условие прочности σ≤ [σ] (или n≥ [n]);
б) определение допускаемой нагрузки;
в) проектный, при котором определяются необходимые размеры поперечных сечений бруса, обеспечивающие заданную прочность.
Студенты должны также уметь пользоваться в ходе решения всеми необходимыми формулами, расчётными зависимостями и правильно выполнять вычисления.
II. Вопросы для самопроверки
2.1. Как нужно нагрузить прямой брус, чтобы он работал на растяжение - сжатие?
2.2 Как определяется напряжение в любой точке поперечного сечения при растяжении (сжатии)?
2.3. Каков физический смысл модуля продольной упругости Е?
2.4. Что такое допускаемое напряжение и как оно выбирается в зависимости от механических свойств материала?
2.5. Сколько различных видов расчёта, и какие расчеты можно проводить, используя условие прочности?
адача. Проверить прочность стального стержня при заданых допускаемых напряжениях 160МПа. (решение задач по технической механике)

А лгоритм решения

1. Находим неизвестные внешние усилия (силы, моменты, реакции опор)
2. Разбиваем на расчетные участки (границы расчетных участков определяются изменением нагрузки, площади сечения, материала).
3. Пользуясь методом сечений определяем продольные силы. (Метод сечений: Р азрезаем стержень, О тбрасываем одну из частей, З аменяем действие отброшенной части внутренними силами, составляем У равнения равновесия рассматриваемой части)
4. Строим эпюру продольных сил
5. определяем нормальные напряжения на участках
6. Строим эпюру перемещений
7. Проверяем прочность стержня (в случае, если материал стержня по разному работает на растяжениеи сжатие, проверяем прочность отдельно на растяжения и сжатие)
8. Определяем перемещения на каждом участке (перемещение в конце участка равняется сумме перемещений в начале участка и перемещению на данном участке)

9. Строим эпюру перемещений

При решении задачи пренебрегаем собственным весом стержя.

При жестко закрепленном стержне вначале можно не определять реакции в опоре, а строить эпюры, идя со свободного конца стержня. При этом реакцию в опоре можно определить по эпюре продольных сил

Порядок решения типовых задач
Задача №1
Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F 1 =30 кН F 2 =40 кН.
Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение ∆l свободного конца бруса, приняв Е=2∙10 5 МПа. Площади поперечных сечений А 1 =1,5см 2 ?;А 2 =2см 2 ?

Первая задача требует от студента умения строить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и определять удлинения и укорочения бруса.
Последовательность решения задачи
Разбить брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, а для напряжений также и место изменения размеров поперечного сечения.
Определить по методу сечений продольную силу для каждого участка (ординаты эпюры N) и построить эпюры продольных сил N. Проведя – параллельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, отложить перпендикулярно ей в произвольном масштабе получаемые значения ординат. Через концы ординат провести линии, проставить знаки и заштриховать эпюру линиями, параллельными ординатам.
Для построения эпюры нормальных напряжений определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков. В пределах каждого участка напряжения постоянные, т.е. эпюра на данном участке изображается прямой, параллельной оси бруса.
Перемещение свободного конча бруса определяем как сумму удлинений (укорочений) участков бруса, вычисленных по формуле Гука.
Решение:
Разбиваем брус на участки.
Определяем ординаты эпюры N на участках бруса:
N 1 = - F 1 = -30кН
N 2 = - F 2 = -30кН
N 3 = -F 1 +F 2 = -30+40=10 кН
Строим эпюру продольных сил
Вычисляем ординаты эпюры нормальных напряжений
σ 1 = = = –200МПа
σ 2 = = = –150МПа
σ 3 = = = 50МПа
Строим эпюры нормальных напряжений.
4. Определяем перемещение свободного конца бруса
∆l =∆l 1 +∆l 2 +∆l 3
∆l 1 = = = – 0,5мм
∆l 2 = = = – 0,225мм
∆l 3 = = = 0,05мм
∆l = - 0,5 – 0,225 + 0,05 = – 0,675мм
Брус укоротился на 0,675мм
Задача № 2
Из условия прочности определить размеры поперечного сечения стержня, удерживающего в равновесии балку, если предел текучести материала σ т =320МПа, заданный коэффициент запаса прочности [n] = 2,5. Расчет провести для двух случаев:
1. поперечное сечение стержня – круг;
2. поперечное сечение стержня – квадрат.

Вторая задача может быть решена студентами, если они будут ясно представлять смысл условия прочности при растяжении (сжатии).
Последовательность решения задачи:
Балку, равновесие которой рассматривается, освободить от связей и заменить действия связей их реакциями;
Составить уравнение равновесия, причем принять за точку, относительно которой определяются моменты, точку в которой установлена опора, и определяем продольную силу N;
Определить из условия прочности площадь поперечного сечения стержня;
Определить для двух случаев размеры поперечного сечения стержня.
Для круга – диаметр d;
Для квадрата – сторону a.
Решение
Составляем уравнение равновесия и определяем продольную силу N
Σ m A =0
N∙sin30 ° ∙3 – 3q∙1,5 + F∙1 = 0
N= = = 53,3 кН
2. Определяем допускаемое нормальное напряжение

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в попереч­ных сечениях бруса (стержня) возникает только продольная (нормальная) сила. Считается, что внутрен­няя продольная сила действует вдоль оси стержня, перпендикулярно к его поперечным сечениям. Чис­ленные значения продольных сил N определяют по участкам, используя метод сечений, составляя урав­нения равновесия суммы проекций на ось бруса (z) всех сил, действующих на отсечённую часть.

Рассмотрим (рис. 1.2, а) прямой брус постоянной толщины, закреплённый одним концом и нагру­женный на другом конце силой Р , направленной вдоль его оси. Под действием закрепления и внешней силы Р брус растягивается (деформируется). При этом в закреплении возникает некоторое усилие, бла­годаря которому верхний край брусаостаётсянеподвижным. Это усилие называют реакцией закрепле­ния на внешнюю нагрузку. Заменим влияние закрепления на стержень эквивалентно действующей си­лой. Эта сила равна реакции закрепления R (рис. 1.2, б).

Р и неизвестной пока реакции R-

При построении уравнений общего равновесия механики принято следующее правило знаков: про­екция усилия на ось положительна, если её направление совпадает с выбранным направлением этой оси, проекция отрицательна, если направлена в противоположную сторону.

п-п (рис. 1.2, б). n-п нор­мальной силы N (рис. 1.2, в). Уравнение равновесия нижней отсечённой части бруса:

График изменения продольной силы вдоль оси бруса показан на рис. 1.2, г. График, показывающий изменение продольных сил по длине оси бруса, называется эпюрой продольных сил (эпюрой N ).

Пример. Построить эпюру внутренних нормальных сил, возникающих под действием трёх внеш­них сил (см. рис. 1.3): Р 1 =5 кН, P 2 = 8 кН, Р 3 , = 7 кН (см. рис. 1.3, а).

Используя метод сечений, определим значения внутренней силы в характерных поперечных сече­ниях бруса.

Уравнение равновесия нижней отсчетной части бруса:

сечение II-II

cечение I-I

сечение III-III

ƩZ= 0; -N+ Р 1 - Р 2 + Р 3 =0 или N=Р 1 -Р 2 + Р 3 =4 кН.

Строим эпюру нормальных сил (см. рис. 1.3,б)

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодейст­вующую внутренних нормальных сил, распределённых по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью

Под действием двух внешних воздействий: известной силы Р и неизвестной пока реакции R- брус находится в равновесии. Уравнение равновесия бруса

При построении уравнений общего равновесия механики принято следующее правило знаков: проекция усилия на ось положительна, если её направление совпадает с выбранным направлением этой оси, проекция отрицательна, если направлена в противоположную сторону.

Мысленно разрежем стержень на две части по интересующему нас сечению п-п (рис. 1.2, б). Влияние на нижнюю часть верхней части представим действием на нижнюю часть в её верхнем торце п-п нормальной силы N (рис. 1.2, в). Уравнение равновесия нижней отсечённой части бруса

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределённых по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью

здесь σ - нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элемен­тарной площадке dF; F- площадь поперечного сечения бруса.

Произведение σdF=dN представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку dF.

Значение продольной силы N в каждом частном случае легко можно определить при помощи мето­да сечений. Для нахождения напряжений в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.

Проведём на боковой поверхности бруса до его нагружения линии, перпендикулярные к оси бруса (рис. 1.4, а).

Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса. При нагружении бруса осевой силой Р эти линии, как показывает опыт, остаются прямыми и параллельными между собой (их положения после нагружения бруса показаны на рис. 1.4, б).

на­гружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Такой опыт

Рис. 1.4. Деформирование бруса

подтвер­ждает гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли).

Согласно гипотезе плоских сечений, все продольные волокна бруса растяги­ваются одинаково, значит их растягивают одинаковые по величине силы о dF = dN, следовательно, во всех точках поперечного сечения нормальное на­пряжение о имеет постоянное значение.

В поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределённые нормальные напряжения, равные от­ношению продольной силы к площади поперечного сечения .

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений . Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил (она отличается от неё лишь принятым масштабом). При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен; в частности, для стержня со ступенчатым законом изменения поперечных сечений эпюра нормальных напряжений имеет скачки не только в сечениях, в которых приложены сосредоточенные осевые нагрузки (где имеет скачки эпюра продольных сил), но и в местах изменения размеров поперечных сечений.

Построение эпюр продольных усилий при растяжении (сжатии)

Растяжение (сжатие) - деформация, вызванная силами или системами сил, равнодействующая которых или сами силы приложены в центре тяжести сечения и перпендикулярны сечению.

При растяжении (сжатии) в каждом сечении стержня действует только один внутренний силовой фактор - продольная сила N .

Продольная сила представляет собой равнодействующую внутренних нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении стержня, численно равную алгебраической сумме проекций на продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т.е.

При растяжении продольную силу принято считать положительной , а при сжатии - отрицательной (рис. 1.3).

Рисунок 1.3

Внешние нагрузки, действующие на стержень могут быть сосредоточенными и распределенными. Сосредоточенные нагрузки передают свое действие через относительно небольшие участки стержня. Распределенные нагрузки действуют на все сечения стержня (силы веса, инерции - объемные нагрузки), либо на достаточно большие участки стержня (силы трения - поверхностные нагрузки).

Интенсивность распределенной нагрузки - нагрузка, приходящаяся на единицу длины стержня (выражается в Н/м):

При учете собственного веса стержня определяется интенсивность распределенной нагрузки от собственного веса (вес единицы длины стержня) (Н/м):

q = G/l = Fl/l = F,

где G - вес стержня; F - площадь поперечного сечения стержня; l - длина стержня; - удельный вес материала стержня.

Задача 1.1. Для стержня, рисунок 1.4, построить эпюру продольных сил.

1. В данной задаче не обязательно определять реакцию в заделке, так как, рассматривая нагрузки от свободного конца стержня, можно определить во всех сечениях продольную силу. Продольная сила, полученная для крайнего левого сечения стержня (т.е. для заделки), и будет представлять собой реакцию в заделке.

Однако для контроля правильности расчета продольных сил полезно в начале определить реакцию R из условия равновесия т. е. сумма проекций всех сил на продольную ось стержня должка быть равна нулю:

=R-3P+2P-P=0 R=2P.

Рисунок 1.4

Полученный знак плюс для реакции свидетельствует о правильности выбранного направления вектора R . Если бы реакция получалась отрицательной, то следовало бы изменить направление вектора R на противоположное.

2. Разбиваем стержень на три участка. Проводим произвольные сечения, задаем координату сечения на каждом участке (рис.1.4, а). В данной задаче на каждом участке начало координат взято в крайнем правом сечении участка.

Задание координаты сечения на участке однозначно определяет, с какой стороны от сечения суммировать внешние силы при определении внутреннего силового фактора. Если начало координат находится справа, то рассматриваются все внешние нагрузки, лежащие справа от сечения, и наоборот.

Составляем уравнения для продольной силы по участкам.

I участок : пределы изменения координаты сечения 0х 1 a . Мысленно отбрасываем часть стержня слева от сечения. Согласно определению, продольная сила равна сумме всех внешних нагрузок, лежащих по одну сторону (справа) от сечения. Справа от сечения имеется только одна сила, которая действует на данное сечение, вызывая сжатие левой от сечения части стержня, поэтому (рис.1.4, б)

II участок : 0х 2 a . Продольная сила в сечении равна сумме всех внешних сил, действующих справа от сечения. Справа от сечения действуют сила P , вызывая сжатие, и сила 2P , вызывая растяжение оставшейся левой части стержня, поэтому (рис. 1.4, в)

N = -P + 2P = P.

III участок : 0х 3 a . Рассуждая аналогично, получим (рис. 1.4, г)

N=-P+ 2P- 3P=- 2P.

Продольная сила N в заделке совпала по величине и направлению с реакцией Д (знак минус для N на III участке говорит о том, что на этом участке действует сжимающая сила), причем рассмотрение внешних сил справа от сечения позволяет определить продольную силу в каждом сечении, не определяя реакцию в заделке.

4. По полученным уравнениям строим эпюру продольных сил. Так как на каждом участке продольная сила - величина постоянная, то графики продольных сил - прямые, параллельные координатной оси х. Откладываем в произвольном масштабе значения N на каждом участке и строим эпюру (рис.1.4, д).

Как видно из эпюры, в каждом сечении, в котором к стержню приложена сосредоточенная сила, продольная сила меняется скачком. Таким образом, на эпюре N в сечении, где приложена сосредоточенная сила, должен быть скачок на значение этой силы. В данной задач на эпюре имеем четыре скачка N , каждый скачок соответствует сосредоточенной силе.

Эпюры принято штриховать прямыми линиями, перпендикулярными продольной оси х . Каждая ордината эпюры в принятом масштабе дает значение продольной силы в поперечном сечении бруса с данной координатой. На эпюре иногда указываются знаки продольных сил (плюс - для положительных, минус- для отрицательных сил).

Эпюра показывает, что брус под действием внешних сил на I и Ш участках испытывает сжатие, на II - растяжение с усилиями, известными из расчета.

Задача 1.2. Построить эпюру N для стержня, нагруженного сосредоточенной и распределенной нагрузками (рис.1.5), если известны величины a, b, c, P 1 = P, P 2 = 3P , q = P/b

Рисунок 1.5

• 1. Разбиваем стержень на три участка, проводим произвольные сечения на каждом участке, задаем координаты этих сечений.
• 2. Определяем уравнения для N по участкам, рассматривая внешние нагрузки вниз от сечения:

I участок: 0х 1 a; N =P 1 =P;

II участок: 0х 2 b; N = P 1 + qX 2 = P + P/b X 2 ;

III участок: 0х 3 c ; N = P 1 + qb- P 2 = P + P/b b - 3P = -P.

3. Строим эпюру N по полученным уравнениям.

На II участке функция N от х представляет собой линейную зависимость, график которой есть наклонная прямая. Строим график по двум крайним значениям в начале и в конце участка:

при х 2 =0 N = P;

при х 2 =b N = P + P/b * b = 2P.

Соединяя эти точки примой, получим график искомой линейной зависимости.

Как видно из эпюры, при действии на стержень распределенной осевой нагрузки продольная сила на участке, на котором такая нагрузка приложена, меняется непрерывно. Если интенсивность нагрузки на участке постоянная (q = const ), то на эпюре будет наклонная прямая. На участках, где нет распределенной нагрузки, на эпюре - прямые, параллельные оси х . Эпюра показывает, что участки I н II испытывают растяжение, участок III - сжатие, наиболее нагруженным является сечение с координатой x 2 =b .

В этом сечении действует растягивающее усилие, равное 2P . На эпюре три скачка, один соответствует реакции в заделке, второй - силе P 2 , третий - силе P 1 .

Задача 1.3. Построить эпюру N для стержня (рис. 1.6) с учетом собственного веса, если заданы a, F, P = 10 Fa .

Рисунок 1.6

• 1. Разбиваем стержень на три участка.
• 2. Определяем N по участкам.

I участок : 0х 1 a.

На I участке равно сумме всех сил, лежащих вниз от сечения. Но вниз от сечения действует только вес вышележащей части стержня, который равен произведению удельного веса на объем нижележащей части: 2Fх 1 . Определяем значение N в начале и в конце участка: при х 1 =0 N= 0, при х 1 =a N=2Fa.

II участок : 0х 2 a.

Продольное усилие в произвольном сечении II участка равно весу I участка плюс вес вышележащей части стержня II участка:

N = 2Fa + FX 2 .

Определяем значения N в начале и в конце участка:

при х 2 =0 N = 2Fa;

при х 2 =a N = 3Fa.

III участок: 0 х 3 а. Продольное усилие в произвольном сечении III участка равно сумме весов I и II участков, внешней силе и весу нижележащей части III участка:

N = 2Fa + Fa - P+ Fх 3 = - 7Fа + Fх 3 .

Определяем значения N в начале и в конце участка:

при х 3 =0 N = - 7Fa ;

при х 3 =a N = - 6Fa.

3. Строим эпюру N. На всех участках это наклонные прямые, причем наклон прямых (коэффициент при х) определяется площадью сечения и удельным весом материала стержня. Наиболее нагруженным является сечение х3=0, оно испытывает сжатие с усилием 7Fa.

Похожие статьи

Погадать онлайн на желание на кубиках

Как правильно приготовить лаваш в домашних условиях

Эти знаки зодиака, как правило, самые умные Умные и тупые знаки зодиака