Линейная комбинация векторов для чайников. Линейная зависимость векторов

Линейной комбинацией векторов , называется выражение вида: , где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Определение линейной независимости векторов

Система векторов А 1 ,А 2 ,…А n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ1, λ2,...,λn, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет единственное нулевое решение.

Определение линейной зависимости векторов

Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

Теорема о линейной зависимости векторов

Теорема о представлении строки в виде линейной комбинации независимых строк

Каждая строка матрицы А может быть представлена в виде линейной комбинации независимых строк матрицы А.

Пусть матрица А имеет ранг r ,тогда существует минор порядка r отличный от 0,добавим к этому минору i-ую строку и j-ый столбец

а 11	а 12	…	а 1r	a 1j
a 21	a 22	…	a 2r	a 2j
…	…	…	…	…
a 41	a 42	…	a 4r	a 4j
a i1	a i2	…	a ir	a ij

М r =
M r+1 =0; т.к. ранг A=r (как минор более высоеого порядка,чем r).Этот минор можно разложить по последнему столбцу.

[а 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0

Разделим все на M r и введем A ij /( (-1) i+j M r)=λ i

a ij = λ 1 a 1j +λ 2 a 2j +…+ λ 4 a 4j, где j=r+1 это равенство справедливо и для j=1 m

81. Теорема о представлении cтолбца в виде линейной комбинации независимыхcтолбцов

Теорема о связи ранга матрицы с числом независимых строк/cтолбцов

Ранг матрицы А равен числу её независимых строк/столбцов.Пусть матрица А (m*n) имеет ранг r

а 11	а 12	…	а 1r
a 21	a 22	…	a 2r
…	…	…	…
а 21	а 22	…	а 2r

Существует минор порядка r = 0; {e 1….. е r } –линейно-независимы

Пусть имеется противоположное: e r = λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ r-1 e r-1

Проведем эле-ые преобр. не изменяющие определитель этого минора (M r)

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2 – λ 3 e 3 -…- λ r-1 e r-1

Итак,мы получим последнюю строку состоящую из 0,но тогда M r = 0,наше предположение неверно!

Определители

Свойства определителей. № 01.(Транспонирование)

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: .

Доказательство . Согласно определению,

При транспонировании матрицы A происходит лишь перегруппировка слагаемых в этой сумме.

Свойства определителей. № 02. (Перестановка строк или столбцов).

Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.

Доказательство . По Теореме 1, любая транспозиция изменяет четность перестановки. Следовательно, при перестановке двух строк (столбцов) каждое слагаемое суммы изменяет свой знак на противоположный.

В данной статье мы расскажем:

• что такое коллинеарные векторы;
• какие существуют условия коллинеарности векторов;
• какие существуют свойства коллинеарных векторов;
• что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Определение 1

Коллинеарные векторы - это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Пример 1

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

• условие 1 . Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
• условие 2 . Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• условие 3 . Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Замечание 1

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Замечание 2

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Пример 1

Исследуем векторы а = (1 ; 3) и b = (2 ; 1) на коллинеарность.

Как решить?

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ : a | | b

Пример 2

Какое значение m вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) необходимо для коллинеарности векторов?

Как решить?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = - 2 .

Ответ: m = - 2 .

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Теорема

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Доказательство

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Обозначим:

A k - 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В таком случае:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Достаточность

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен - 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Следствие:

• Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
• Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Свойства линейно зависимых векторов

1. Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Два коллинеарных вектора - линейно зависимы.
2. Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора - компланарны. (3 компланарных вектора - линейно зависимы).
3. Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Пример 3

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 4

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей - 1-ю:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми. ​​​​​​​

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

3.3. Линейная независимость векторов. Базис.

Линейной комбинацией системы векторов

называется вектор

где a 1 , a 2 , ..., a n - произвольные числа.

Если все a i = 0, то линейная комбинация называется тривиальной . В этом случае, очевидно,

Определение 5.

Если для системы векторов существует нетривиальная линейная комбинация (хотя бы одно a i ¹ 0) равная нулевому вектору: то система векторов называется линейно зависимой . Если равенство (1) возможно только в случае, когда все a i =0, то система векторов называется линейно независимой .

Теорема 2 (Условия линейной зависимости).

Определение 6.

Из теоремы 3 следует, что если в пространстве задан базис то добавив к нему произвольный вектор , получим линейно зависимую систему векторов. В соответствии с теоремой 2 (1) , один из них (можно показать, что вектор ) можно представить в виде линейной комбинации остальных:

.

Определение 7.

Числа называются координатами вектора в базисе (обозначается

Если векторы рассматриваются на плоскости, то базисом будет упорядоченная пара неколлинеарных векторов

и координатами вектора в этом базисе – пара чисел:

Замечание 3 . Можно показать, что при заданном базисе координаты вектора определяются однозначно . Из этого, в частности, следует, что если векторы равны, то равны их соответствующие координаты, и наоборот .

Таким образом, если в пространстве задан базис, то каждому вектору пространства соответствует упорядоченная тройка чисел (координаты вектора в этом базисе) и наоборот: каждой тройке чисел соответствует вектор.

На плоскости аналогичное соответствие устанавливается между векторами и парами чисел.

Теорема 4 (Линейные операции через координаты векторов).

Если в некотором базисе и a – произвольное число, то в этом базисе

Иными словами:

при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число ;

при сложении векторов складываются их соответствующие координаты .

Пример 1 . В некотором базисе векторы имеют координаты

Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они некомпланарны, следовательно (в соответствии с теоремой 3(2) ) линейно независимы.

По определению 5 это означает, что равенство

возможно только в случае, когда x = y = z = 0.

Лекция 6.

Векторы …, называются линейно зависимыми, если существуют числа , , … , среди которых по крайней мере одно, не равное нулю, такие, что

Сумма произведений чисел на векторы , т.е. вектор

называется линейной комбинацией векторов .

Если вектор представлен в виде линейной комбинации векторов , то говорят также, что вектор разложен по векторам .

Данное выше определение линейной зависимости векторов , эквивалентно такому: векторы линейно зависимы, если один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных (или разложить по остальным).

Теорема 1. Для того чтобы два вектора и были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Доказательство необходимости. Дано: векторы и линейно зависимы. Требуется доказать, что они коллинеарны. Так как векторы и линейно зависимы, то существуют числа и , не равные нулю одновременно, и такие, что

Пусть, например, ; тогда

отсюда следует, что векторы и коллинеарны.

Дано: векторы и коллинеарны. Требуется доказать, что они линейно зависимы.

Если , то имеет место равенство , а это означает, что векторы и линейно зависимы .

Если же , то полагая , находим , или ; значит векторы и линейно зависимы.

Три вектора называются компланарными, если, будучи отложены от одной точки, оказываются лежащими в одной плоскости.

Теорема 2. Для того, чтобы три вектора , , были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Дано: векторы , , линейно зависимы. Требуются доказать, что они компланарны.

Так как векторы , , линейно зависимы, то существуют числа , , , среди которых есть хотя бы одно ; такие, что

Пусть, например, ; тогда

Векторы и коллинеарны соответственно векторам и ; поэтому сумма таких векторов, т.е. вектор будет компланарен с векторами и .

Доказательство достаточности. Дано: векторы , , компланарны. Требуется доказать, что эти векторы линейно зависимы.

Если векторы и коллинеарны, то они линейно зависимы (теорема 1 настоящего параграфа), т.е. найдутся числа и , из которых по крайней мере одно не равно нулю и такие, что , но тогда и , т.е. векторы , , линейно зависимы.

Пусть векторы и неколлинеарны. Отложим векторы , и от одной и той же точки О :

Так как векторы , , компланарны, то точки О , лежат в одной плоскости. Спроектируем точку на прямую параллельно прямой ; пусть Р – эта проекция. Тогда и так как

то, полагая

то есть векторы , , - линейно зависимы.

Теорема 3. Всякие четыре вектора , , , в пространстве линейно зависимы.

Доказательство. Предложим, то векторы , , некомпланарны. Отложим все векторы , , , от одной и той же точки О :

Пусть Р – проекция точки на плоскость параллельно прямой , а - проекция точки Р на прямую параллельно прямой . Тогда .

Векторы соответственно коллинеарны векторам , и . Полагая ; ; получим ; ;

и, следовательно:

т.е. векторы , , , линейно зависимы.

Теорема 4. Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны.

Докажем теорему для случая, когда векторы заданы своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве.

Доказательство необходимости. Дано: векторы ; и коллинеарны. Требуется доказать, что их координаты пропорциональны.

Так как , то полагая , получим , т.е.

Доказательство достаточности. Дано: координаты векторов

пропорциональны. Требуется доказать, что эти векторы коллинеарны.

Пусть ; то есть , или , и, значит, векторы и коллинеарны.

Теорема 5. Для того, чтобы два вектора и , заданные своими координатами относительно общей декартовой системы координат на плоскости

или относительно общей декартовой системы координат в пространстве

были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы

(в случае плоскости),

(в случае пространства).

Докажем теорему для случая, когда векторы и заданы своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве.

Доказательство необходимости. Дано: векторы и коллинеарны. Требуется доказать, что выполнены соотношения

Если векторы и ненулевые и коллинеарны, то их координаты пропорциональны, а потому эти равенства выполнены (определитель, в котором две строки пропорциональны, равен нулю). Если или (или ==0), то это равенство очевидно.

Доказательство достаточности. Дано, что эти соотношения выполнены. Требуется доказать, что векторы и коллинеарны.

Если (т.е. =0), то векторы и коллинеарны (т.к. нулевой вектор коллинеарен любому вектору). Пусть хотя бы одно из чисел не равно нулю, например . Положим ; тогда и из соотношения или (раскрывая определитель) , находим, , заданные своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве, принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда выполнены соотношения

Следствие 3. Точки , , , , заданные своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы ; ; компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда .

Линейной комбинацией векторов из называется вектор стит при . Ясно, что линейной комбинацией линейных комбинаций векторов является снова линейная комбинация этих векторов.

Совокупность векторов называется линейно независимой, если равенство стит возможно только при . Если же существуют не равные одновременно нулю си такие, что стит - 0, то совокупность векторов называется линейно зависимой. Определения эти совпадают с определениями, данными на стр. 108 в применении к строкам.

Предложение 1. Совокупность векторов линейно зависима в том и только в том случае, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Предложение 2. Если совокупность векторов линейно независима, а совокупность линейно зависима, то вектор есть линейная комбинация векторов

Предложение 3. Если векторы являются линейными комбинациями векторов , то совокупность линейно зависима.

Доказательства этих предложений ничем не отличаются от доказательств аналогичных предложений для строк (стр. 108-110).

Совокупность векторов называется порождающей, если все векторы пространства являются их линейными комбинациями. Если для пространства S существует конечная порождающая система, то пространство называется конечномерным, в противном случае - бесконечномерным. В конечномерном пространстве не могут существовать сколь угодно большие (по числу векторов) линейно независимые совокупности векторов, ибо, согласно предложению 3, любая совокупность векторов, превосходящая по числу векторов порождающую совокупность, линейно зависима.

Пространство матриц фиксированных размеров и, в частности, пространство строк фиксированной длины конечномерны, в качестве порождающей системы можно взять матрицы с единицей на одной позиции и с нулями на остальных.

Пространство всех полиномов от уже бесконечномерно, ибо совокупность полиномов линейно независима при любом .

В дальнейшем будем рассматривать конечномерные пространства.

Предл ожение 4. Любая минимальная (по числу векторов) порождающая совокупность векторов линейно независима.

Действительно, пусть - минимальная порождающая совокупность векторов. Если она линейно зависима, то один из векторов, скажем есть линейная комбинация остальных и всякая линейная комбинация есть линейная комбинация меньшей совокупности векторов которая тем самым оказывается порождающей.

Предложение 5. Любая максимальная (по числу векторов) линейно независимая совокупность векторов является порождающей.

Действительно, пусть - максимальная линейно независимая совокупность и u - любой вектор пространства. Тогда совокупность и не будет линейно независимой, и, в силу предложения 2, вектор и есть линейная комбинация

Предложение 6. Любая линейно независимая порождающая совокупность является минимальной среди порождающих и максимальной среди линейно независимых.

Действительно, пусть - линейно независимая порождающая совокупность векторов. Если - какая-то другая порождающая совокупность, то являются линейными комбинациями и отсюда заключаем, что , ибо если было бы то, в силу предложения была бы линейно зависимой совокупностью. Пусть теперь - какая-либо линейно независимая совокупность. Векторы являются линейными комбинациями векторов и, следовательно, ибо при в силу того же предложения составляли бы линейно зависимую совокупность.

Таким образом, в предложениях 4, 5, 6 устанавливается тождественность трех понятий - минимальная порождающая совокупность векторов, максимальная линейно независимая совокупность векторов и линейно независимая порождающая совокупность.

Совокупность векторов, удовлетворяющая этим условиям, называется базисом пространства, а число векторов, составляющих базис, называется размерностью пространства. Размерность пространства S обозначается . Таким образом, размерность равна максимальному числу линейно независимых векторов (мы часто в дальнейшем будем говорить слова «линейно независимые» и «линейно зависимые векторы» вместо того, чтобы сказать «векторы, составляющие линейно зависимую совокупность» и - соответственно для линейно независимой совокупности) и минимальному числу порождающих векторов.

Предложение 7. Пусть - линейно независимая совокупность векторов, причем их число меньше размерности пространства. Тогда к ним можно присоединить вектор так, что совокупность останется линейно независимой.

Доказательство. Рассмотрим множество линейных комбинаций . Оно не исчерпывает всего пространства, ибо не составляют порождающую совокупность векторов. Возьмем вектор, не являющийся линейной комбинацией

Тогда - линейно независимая совокупность, так как иначе был бы линейной комбинацией векторов в силу предложения 2.

Из предложения 7 следует, что любую линейно независимую совокупность векторов можно дополнить до базиса.

Это же предложение и его доказательство указывают на характер произвола в выборе базиса. Действительно, если взять произвольной ненулевой вектор, то его можно достраивать до базиса, взяв второй вектор как угодно, только не линейную комбинацию первого, третий как угодно, только не линейную комбинацию первых двух, и т. д.

К базису можно «спуститься», исходя из произвольной порождающей совокупности.

Предложение 8. Любая порождающая совокупность векторов содержит базис.

Действительно, пусть - порождающая совокупность векторов. Если она линейно зависима, то один из ее векторов есть линейная комбинация остальных, и его можно исключить из порождающей совокупности. Если оставшиеся векторы линейно зависимы, то можно исключить еще один вектор, и т. д., до тех пор пока не останется линейно независимая порождающая совокупность, т. е. базис.