Построение угла равного данному кратко. Как построить угол, равный данному

Чтобы построить какой-либо чертеж или выполнить плоскостную разметку заготовки детали перед ее обработкой, необходимо осуществить ряд графических операций – геометрических построений.

На рис. 2.1 изображена плоская деталь – пластина. Чтобы начертить ее чертеж или разметить на стальной полосе контур для последующего изготовления, нужно проделать на плоскости построения, основные из которых пронумерованы цифрами, записанными на стрелках-указателях. Цифрой 1 указано построение взаимно перпендикулярных линий, которое надо выполнить в нескольких местах, цифрой 2 – проведение параллельных линий, цифрой 3 – сопряжение этих параллельных линий дугой определенного радиуса, цифрой 4 – сопряжение дуги и прямой дугой заданного радиуса, который в данном случае равен 10 мм, цифрой 5 – сопряжение двух дуг дугой определенного радиуса.

В результате выполнения этих и других геометрических построений будет вычерчен контур детали.

Геометрическим построением называют способ решения задачи, при котором ответ получают графическим путем без каких-либо вычислений. Построения выполняют чертежными (или разметочными) инструментами максимально аккуратно, ибо от этого зависит точность решения.

Линии, заданные условиями задачи, а также построения выполняют сплошными тонкими, а результаты построения – сплошными основными.

Приступая к выполнению чертежа или разметке, нужно вначале определить, какие из геометрических построений необходимо применить в данном случае, т.е. провести анализ графического состава изображения.

Рис. 2.1.

Анализом графического состава изображения называют процесс расчленения выполнения чертежа на отдельные графические операции.

Выявление операций, необходимых для построения чертежа, облегчает выбор способа его выполнения. Если нужно вычертить, например, пластину, изображенную на рис. 2.1, то анализ контура ее изображения приводит нас к выводу, что мы должны применить следующие геометрические построения: в пяти случаях провести взаимно перпендикулярные центровые линии (цифра 1 в кружке), в четырех случаях вычертить параллельные линии (цифра 2 ), вычертить две концентрические окружности (0 50 и 70 мм), в шести случаях построить сопряжения двух параллельных прямых дугами заданного радиуса (цифра 3 ), а в четырех – сопряжения дуги и прямой дугой радиуса 10 мм (цифра 4 ), в четырех случаях построить сопряжение двух дуг дугой радиуса 5 мм (цифра 5 в кружке).

Для выполнения этих построений необходимо вспомнить или повторить по учебнику правила их вычерчивания.

При этом целесообразно выбирать рациональный способ выполнения чертежа. Выбор рационального способа решения задачи сокращает время, затрачиваемое на работу. Например, при построении равностороннего треугольника, вписанного в окружность, более рационален способ, при котором построение выполняют рейсшиной и угольником с углом 60° без предварительного определения вершин треугольника (см. рис. 2.2, а, б ). Менее рационален способ решения той же задачи с помощью циркуля и рейсшины с предварительным определением вершин треугольника (см. рис. 2.2, в ).

Деление отрезков и построение углов

Построение прямых углов

Угол 90° рационально строить с помощью рейсшины и угольника (рис. 2.2). Для этого достаточно, проведя прямую, восставить к ней перпендикуляр с помощью угольника (рис. 2.2, а ). Рационально перпендикуляр к отрезку наклонной строить, передвигая (рис. 2.2, б ) или поворачивая (рис. 2.2, в ) угольник.

Рис. 2.2.

Построение тупых и острых углов

Рациональные способы построения углов 120, 30 и 150, 60 и 120, 15 и 165, 75 и 105,45 и 135° приведены на рис. 2.3, где показаны положения угольников для построения этих углов.

Рис. 2.3.

Деление угла на две равные части

Из вершины угла описывают дугу окружности произвольного радиуса (рис. 2.4).

Рис. 2.4.

Из точек ΜηΝ пересечения дуги со сторонами угла раствором циркуля, большим половины дуги ΜΝ, делают две пересекающиеся в точке А засечки.

Через полученную точку А и вершину угла проводят прямую линию (биссектрису угла).

Деление прямого угла на три равные части

Из вершины прямого угла описывают дугу окружности произвольного радиуса (рис. 2.5). Не меняя раствора циркуля, делают засечки из точек пересечения дуги со сторонами угла. Через полученные точки М и Ν и вершину угла проводят прямые.

Рис. 2.5.

Этим способом можно делить на три равные части только прямые углы.

Построение угла, равного данному. Из вершины О заданного угла проводят дугу произвольного радиуса R, пересекающую стороны угла в точках М и N (рис. 2.6, а ). Затем проводят отрезок прямой, который будет служить одной из сторон нового угла. Из точки О 1 на этой прямой тем же радиусом R проводят дугу, получая точку Ν 1 (рис. 2.6, б ). Из этой точки описывают дугу радиусом R 1, равным хорде MN. Пересечение дуг дает точку Μ 1, которую соединяют прямой с вершиной нового угла (рис. 2.6, б ).

Рис. 2.6.

Деление отрезка прямой на две равные части. Из концов заданного отрезка раствором циркуля, большим половины его длины, описывают дуги (рис. 2.7). Прямая, соединяющая полученные точки М и Ν, делит отрезок на две равные части и перпендикулярна ему.

Рис. 2.7.

Построение перпендикуляра в конце отрезка прямой. Из произвольной точки О, взятой над отрезком АВ, описывают окружность, проходящую через точку А (конец отрезка прямой) и пересекающую прямую в точке М (рис. 2.8).

Рис. 2.8.

Через полученную точку М и центр О окружности проводят прямую до встречи с противоположной стороной окружности в точке N. Точку N соединяют прямой с точкой А.

Деление отрезка прямой на любое число равных частей. Из любого конца отрезка, например из точки А, проводят под острым углом к нему прямую линию. На ней циркулем- измерителем откладывают нужное число равных отрезков произвольной величины (рис. 2.9). Последнюю точку соединяют со вторым концом заданного отрезка (с точкой В ). Из всех точек деления с помощью линейки и угольника проводят прямые, параллельные прямой 9В, которые и разделят отрезок АВ на заданное число равных частей.

Рис. 2.9.

На рис. 2.10 показано, как применить это построение для разметки центров отверстий, равномерно расположенных на прямой.

В задачах на построение будем рассматривать построение геометрической фигуры, которое можно выполнить с помощью линейки и циркуля.

С помощью линейки можно провести:

произвольную прямую;

произвольную прямую, проходящую через данную точку;

прямую, проходящую через две данные точки.

С помощью циркуля можно описать из данного центра окружность данного радиуса.

Циркулем можно отложить отрезок на данной прямой от данной точки.

Рассмотрим основные задачи на построение.

Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b, с (рис.1).

Решение. С помощью линейки проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку В. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С - точка ее пересечения с прямой. Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным b - окружность из центра С. Пусть А - точка пересечения этих окружностей. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c.

Замечание. Чтобы три отрезка прямой могли служить сторонами треугольника, необходимо, чтобы больший из них был меньше суммы двух остальных (а < b + с).

Задача 2.

Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 2.

Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С - точки пересечения окружности со сторонами угла (рис.3, а). Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О - начальной точке данного луча (рис.3, б). Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим С 1 . Опишем окружность с центром С 1 и радиусом ВС. Точка В 1 пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства Δ ABC = Δ ОВ 1 С 1 (третий признак равенства треугольников).

Задача 3. Построить биссектрису данного угла (рис.4).

Решение. Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С - точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D - точка их пересечения, отличная от А. Луч AD делит угол А пополам. Это следует из равенства Δ ABD = Δ ACD (третий признак равенства треугольников).

Задача 4. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку (рис.5).

Решение. Произвольным, но одинаковым раствором циркуля (большим 1/2 АВ) описываем две дуги с центрами в точках А и В, которые пересекутся между собой в некоторых точках С и D. Прямая CD будет искомым перпендикуляром. Действительно, как видно из построения, каждая из точек С и D одинаково удалена от А и В; следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

Задача 5. Разделить данный отрезок пополам. Решается так же, как и задача 4 (см. рис.5).

Задача 6. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

Решение. Возможны два случая:

1) данная точка О лежит на данной прямой а (рис. 6).

Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересекающую прямую а в точках А и В. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О 1 - точка их пересечения, отличная от О. Получаем ОО 1 ⊥ AB. В самом деле, точки О и О 1 равноудалены от концов отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

При строительстве или разработке домашних дизайн-проектов часто требуется построить угол, равный уже имеющемуся. На помощь приходят шаблоны и школьные знания геометрии.

Инструкция

• Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка будет называться вершиной угла, а линии будут являться сторонами угла.
• Для обозначения углов используйте три буквы: одна у вершины, две у сторон. Называют угол, начиная с той буквы, которая стоит у одной стороны, далее называют букву, стоящую у вершины, и затем букву у другой стороны. Используйте и другие способы для обозначения углов, если вам удобнее иначе. Иногда называют только одну букву, которая стоит у вершины. А можно обозначать углы греческими буквами, например, α, β, γ.
• Встречаются ситуации, когда необходимо начертить угол, чтобы он был равен уже данному углу. Если при построении чертежа использовать транспортир возможности нет, можно обойтись только линейкой и циркулем. Допустим, на прямой, обозначенной на чертеже буквами MN, нужно построить угол у точки К, так, чтобы он был равен углу В. То есть из точки K необходимо провести прямую, образующую с линией MN угол, который будет равен углу В.
• В начале отметьте по точке на каждой стороне данного угла, например, точки А и С, дальше соедините точки С и А прямой линией. Получите треугольник АВС.
• Сейчас постройте на прямой MN такой же треугольник, чтобы его вершина В находилась на линии в точке К. Используйте правило построения треугольника по трем сторонам. Отложите от точки К отрезок KL. Он должен быть равен отрезку ВС. Получите точку L.
• Из точки K вычертите окружность радиусом равным отрезку ВА. Из L вычертите окружность радиусом СА. Полученную точку (Р) пересечения двух окружностей соедините с К. Получите треугольник КPL, который будет равен треугольнику ABC. Так вы получите угол К. Он и будет равен углу В. Чтобы это построение сделать удобнее и быстрее, от вершины В отложите равные отрезки, используя один раствор циркуля, не сдвигая ножек, опишите этим же радиусом из точки К окружность.

Это - древнейшая геометрическая задача .

Пошаговая инструкция

1й способ. - С помощью «золотого», или «египетского», треугольника . Стороны этого треугольника имеют соотношение сторон 3:4:5, а угол равен строго 90град . Этим качеством широко пользовались древние египтяне и другие пракультуры.

Илл.1. Построение Золотого, или египетского треугольника

• Изготавливаем три мерки (или веревочных циркуля – веревка на двух гвоздях или колышках) с длинами 3; 4; 5 метров . Древние в качестве единиц измерения часто пользовались способом завязывания узелков с равными расстояниями между ними. Единица длины - «узелок ».
• Вбиваем в точке О колышек, цепляем на него мерку «R3 - 3 узелка».
• Протягиваем веревку вдоль известной границы – в сторону предполагаемой точки А.
• В момент натяжения на линии границы – точка А, вбиваем колышек.
• Затем - снова от точки О, протягиваем мерку R4 – вдоль второй границы. Колышек пока не вбиваем.
• После этого натягиваем мерку R5 – от А до В.
• В месте пересечения мерок R2 и R3 вбиваем колышек. – Это искомая точка В – третья вершина золотого треугольника , со сторонами 3;4;5 и с прямым углом в точке О .

2й способ. С помощью циркуля .

Циркуль может быть веревочный или в виде шагомера . См:

Наш циркуль-шагомер имеет шаг в 1 метр.

Илл.2. Циркуль-шагомер

Построение – также по Илл.1.

• От точки отсчета – точки О – угла соседа, проводим отрезок произвольной длины - но больше, чем радиус циркуля = 1м – в каждую сторону от центра (отрезок АВ).
• Ставим ногу циркуля в точку О.
• Проводим окружность с радиусом (шагом циркуля) = 1м. Достаточно провести короткие дуги – сантиметров по 10-20, в местах пересечения с отмеченным отрезком (через точки А и В.). Этим действием мы нашли равноудаленные точки от центра - А и В. Величина удаления от центра здесь не имеет значения. Можно эти точки просто отметить рулеткой.
• Далее нужно провести дуги с центрами в точках А и В, но несколько (произвольно) большего радиуса, чем R=1м. Можно перенастроить наш циркуль на больший радиус, если он имеет регулируемый шаг. Но для такой небольшой текущей задачи не хотелось бы его «дергать». Или когда регулировки нет. Можно сделать за полминуты веревочный циркуль .
• Ставим первый гвоздь (или ножку циркуля с радиусом больше, чем 1м) поочередно в точки А и В. И проводим вторым гвоздем - в натянутом состоянии веревки, две дуги - так чтобы они пересеклись друг с дружкой. Можно в двух точках: C и D, но достаточно одной – C. И снова хватит коротких засечек на пересечении в точке С.
• Проводим прямую (отрезок) через точки С и D.
• Все! Полученный отрезок, или прямая, - есть точное направление на север:). Простите, - на прямой угол .
• На рисунке показаны два случая несоответствия границы по участку соседа. На Илл.3а приведен случай, когда забор соседа уходит от нужного направления в ущерб себе. На 3б – он залез на Ваш участок. В ситуации 3а возможно построение двух «направляющих» точек: и C, и D. На 3б же – только С.
• Поставьте на углу О колышек, а в точке C - временный колышек, и протяните от С шнур до задней границы участка. – Так, чтобы шнур едва касался колышка О. Замерив от точки О – в направлении D, длину стороны по генплану, получите достоверный задний правый угол участка.

Илл.3. Построение прямого угла – от угла соседа, с помощью циркуля-шагомера и веревочного циркуля

Если у Вас есть циркуль-шагомер, то можно и вовсе обойтись без веревочного . Веревочный в предыдущем примере мы применили для проведения дуг большего радиуса, чем у шагомера. Большего потому, что эти дуги должны где-нибудь пересечься. Для того чтобы дуги можно было провести шагомером с тем же радиусом – 1м с гарантией их пересечения, надо чтобы точки А и В находились внутри окружности c R =1м.

• Отмерьте тогда эти равноудаленные точки рулеткой - в разные стороны от центра, но обязательно по линии АВ (линии забора соседа). Чем точки А и В будут ближе к центру – тем дальше от него направляющие точки: C и D, и тем точнее измерения. На рисунке это расстояние принято равным около четверти радиуса шагомера = 260мм.

Илл.4. Построение прямого угла с помощью циркуля-шагомера и рулетки

• Не менее актуальна эта схема действий и при построении любого прямоугольника, в частности - контура прямоугольного фундамента. Вы получите его идеальным. Его диагонали, конечно, нужно проверить, но разве не уменьшаются усилия? – По сравнению, когда диагонали, углы и стороны контура фундамента двигают туда-сюда, пока углы не сойдутся..

Собственно, мы решили геометрическую задачу на земле. Для того чтобы Ваши действия были более уверенными на участке, потренируйтесь на бумаге – с помощью обычного циркуля. Что ничем в принципе не отличается.

Цели урока:

• Формирование умений анализировать изученный материал и навыков применения его для решения задач;
• Показать значимость изучаемых понятий;
• Развитие познавательной активности и самостоятельности получения знаний;
• Воспитание интереса к предмету, чувства прекрасного.

Задачи урока:

• Формировать навыки в построении угла равного данному с помощью масштабной линейки, циркуля, транспортира и чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Повторение.
2. Построение угла, равного данному.
3. Анализ.
4. Построение пример первый.
5. Построение пример второй.

Повторение.

Угол.

Плоский угол - неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами (Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой - внешним.
Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.

Для обозначения угла имеется общепринятый символ: , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

Угол – это геометрическая фигура (рис.1), образованная двумя лучами OA и OB (стороны угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).

Угол обозначается символом и тремя буквами, обозначающими концы лучей и вершину угла: AOB (причём, буква вершины – средняя). Углы измеряются величиной поворота луча ОА вокруг вершины O до тех пор, пока луч OA не переходит в положение OB. Широко применяются две единицы измерения углов: радиан и градус. О радианном измерении углов см. ниже в пункте «Длина дуги», а также в главе «Тригонометрия».

Градусная система измерения углов.

Здесь единицей измерения является градус (его обозначение °) – это поворот луча на 1 / 360 полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360 о. Один градус делится на 60 минут (обозначение ‘); одна минута – соответственно на 60 секунд (обозначение “). Угол в 90° (рис.2) называется прямым; угол, меньший, чем 90° (рис.3), называется острым; угол, больший, чем 90° (рис.4), называется тупым.

Прямые линии, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными. Если прямые АВ и МK перпендикулярны, то это обозначается: AB MK.

Построение угла, равного данному.

До начала построений или решения какой либо задачи в независимости от предмета нужно провести анализ . Понять о чем говориться в задании, прочитать его вдумчиво и не спеша. Если после первого раза возникают сомнения или чтото было не понятно или понятно но не до конца, рекомендуется прочитать еще раз. Если вы делаете задание на уроке можете спросить у учителя. В противном случаи ваша задача какую вы неверно поняли может быть решена не правильно или вы можете найти не то что от вас требовали и она будет считаться неправильной и вам прейдется ее переделывать. Как по мне - лучше потратить немного больше времени на изучение задания чем переделывать задачу заново .

Анализ.

Пусть a – данный луч с вершиной A, а угол (ab) искомый. Выберем точки B и C на лучах a и b соответственно. Соединив точки B и C, получим треугольник ABC. В равных треугольниках соответственные углы равны, и отсюда вытекает способ построения. Если на сторонах данного угла каким-то удобным образом выбрать точки C и B, от данного луча в данную полуплоскость построить треугольник AB 1 C 1 , равный ABC (а это можно сделать, если знать все стороны треугольника), то задача будет решена.

При проведении каких либо построений будьте предельно внимательны и старайтесь все построения выполнять аккуратно. Так как любые несоответствия могут вылиться в какие то ошибки, отклонения что может привести к неверному ответу. А если задача данного типа выполняется впервые то ошибку будет очень тяжело найти и исправить.

Построение пример первый.

Проведем окружность с центром в вершине данного угла. Пусть B и C – точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом AB проведем окружность с центром в точке A 1 – начальной точке данного луча. Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим B 1 . Опишем окружность с центром в B 1 и радиусом BC. Точка пересечения C 1 построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.

Треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам. Углы A и A 1 – соответствующие углы этих треугольников. Следовательно, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Для большой наглядности можно рассмотреть те же построения подробней.

Построение пример второй.

Задание остается тоже отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.

Построение.

Шаг 1. Проведем окружность с произвольным радиусом и центров в вершине A данного угла. Пусть В и С – точки пересечения окружности со сторонами угла. И проведем отрезок BC.

Шаг 2. Проведем окружность радиусом AB с центром в точке О – начальной точке данной полупрямой. Точку пересечения окружности с лучом обозначим B 1 .

Шаг 3. Теперь опишем окружность с центром B 1 и радиусом BC. Пусть точка С 1 пересечение построенных окружностей в указанной полуплоскости.

Шаг 4. Проведем луч из точки O, через точку С 1 . Угол C 1 OB 1 и будет искомый.

Доказательство.

Треугольники ABC и OB 1 C 1 равны как треугольники с соответствующими сторонами. И следовательно углы CAB и C 1 OB 1 равны.

Интересный факт:

В числах.

В предметах окружающего мира вы прежде всего замечаете их отдельные свойства, отличающие один предмет от другого.

Обилие частных, индивидуальных свойств заслоняет собой свойства общие, присущие решительно всем предметам, и обнаружить такие свойства поэтому всегда труднее.

Одним из важнейших общих свойств предметов является то, что все предметы можно считать и измерять. Мы отражаем это общее свойство предметов в понятии числа.

Овладевали люди процессом счета, то-есть понятием числа, очень медленно, веками, в упорной борьбе за свое существование.

Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития.

Счету при помощи числа обучается теперь каждый человек незаметно еще в детстве, почти одновременно с тем, как начинает говорить, но этот привычный нам счет прошел длительный путь развития и принимал разные формы.

Было время, когда для счета предметов употреблялись лишь два числительных: один и два. В процессе дальнейшего расширения системы счисления привлекались части человеческого тела и в первую очередь пальцы, а если не хватало такого рода «цифр», то еще палочки, камешки и другие вещи.

Н. Н. Миклухо-Маклай в своей книге «Путешествия» рассказывает о забавном способе счета, применявшемся туземцами Новой Гвинеи:

Вопросы:

1. Сформулируйте определение угла?
2. Какие есть виды углов?
3. Какая разница между диаметром и радиусом?

Список использованных источников:

1. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
2. Математическая смекалка. Б.А. Кордемский. Москва.
3. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Над уроком работали:

Левченко В.С.

Потурнак С.А.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

Предмети > Математика > Математика 7 класс