Домашние задания по теме преобразование тригонометрических выражений. Урок "упрощение тригонометрических выражений"

Занятие 1

Тема: 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Упрощение тригонометрических выражений.

Решение простейших тригонометрических уравнений. (2 часа)

Цели:

• Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением формул тригонометрии и решением простейших тригонометрических уравнений.

Оборудование к уроку:

Структура урока:

1. Оргмомент
2. Тестирование на ноутбуках. Обсуждение результатов.
3. Упрощение тригонометрических выражений
4. Решение простейших тригонометрических уравнений
5. Самостоятельная работа.
6. Итог урока. Объяснение задания на дом.

1. Оргмомент. (2 мин.)

Учитель приветствует аудиторию, объявляет тему урока, напоминает о том, что ранее было дано задание повторить формулы тригонометрии и настраивает учащихся на тестирование.

2. Тестирование. (15мин + 3мин. обсуждение)

Цель – проверить знание тригонометрических формул и умение их применять. У каждого ученика на парте ноутбук в котором вариант теста.

Вариантов может быть сколько угодно, приведу пример одного их них:

I вариант.

Упростить выражения:

а) основные тригонометрические тождества

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формулы сложения

3. sin5x - sin3x;

в) преобразование произведения в сумму

6. 2sin8y cos3y;

г) формулы двойных углов

7. 2sin5x cos5x;

д) формулы половинных углов

е) формулы тройных углов

ж) универсальная подстановка

з) понижение степени

16. cos 2 (3x/7);

Учащиеся на ноутбуке напротив каждой формулы видят свои ответы.

Работу мгновенно проверяет компьютер. Результаты высвечиваются на большом экране ко всеобщему обозрению.

Также после окончания работы показываются на ноутбуках учащихся правильные ответы. Каждый ученик видит, где сделана ошибка, и какие формулы ему нужно повторить.

3. Упрощение тригонометрических выражений. (25 мин.)

Цель – повторить, отработать и закрепить применение основных формул тригонометрии. Решение задач В7 из ЕГЭ.

На данном этапе класс целесообразно разбить на группы сильных (работают самостоятельно с последующей проверкой) и слабых учеников, которые работают с учителем.

Задание для сильных учащихся (заранее подготовлены на печатной основе). Основной упор сделан на формулы приведения и двойного угла, согласно ЕГЭ 2011.

Упростить выражения (для сильных учащихся):

Параллельно учитель работает со слабыми учащимися, обсуждая и решая под диктовку учеников задания на экране.

Вычислить:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Упростить:

Наступила очередь обсуждения результатов работы сильной группы.

На экране появляются ответы, а также, с помощью видеокамеры выводятся работы 5-ти разных учеников (по одному заданию у каждого).

Слабая группа видит условие и метод решения. Идет обсуждение и анализ. С использованием технических средств это происходит быстро.

4. Решение простейших тригонометрических уравнений. (30 мин.)

Цель – повторить, систематизировать и обобщить решение простейших тригонометрических уравнений, запись их корней. Решение задачи В3.

Любое тригонометрическое уравнение, каким бы способом мы его не решали, приводит к простейшему.

При выполнении задания следует обращать внимание учащихся на запись корней уравнений частных случаев и общего вида и на отбор корней в последнем уравнении.

Решить уравнения:

В ответ записать наименьший положительный корень.

5. Самостоятельная работа (10 мин.)

Цель – проверка полученных навыков, выявление проблем, ошибок и путей их устранения.

Предлагается разноуравневая работа на выбор учащегося.

Вариант на «3»

1) Найти значение выражения

2) Упростить выражение 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Решить уравнение

Вариант на «4»

1) Найти значение выражения

2) Решить уравнение В ответе записать наименьший положительный корень.

Вариант на «5»

1) Найти tgα, если

2) Найти корень уравнения В ответ запишите наименьший положительный корень.

6. Итог урока (5 мин.)

Учитель подводит итоги о том, что на уроке повторили и закрепили тригонометрические формулы, решение простейших тригонометрических уравнений.

Задается домашнее задание (подготовленное на печатной основе заранее) с выборочной проверкой на следующем уроке.

Решить уравнения:

9)

10) В ответе указать наименьший положительный корень.

Занятие 2

Тема: 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Методы решений тригонометрических уравнений. Отбор корней. (2 часа)

Цели:

• Обобщить и систематизировать знания по решению тригонометрических уравнений различных типов.
• Содействовать развитию математического мышления учащихся, умению наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать.
• Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование к уроку: КРМу, ноутбуки на каждого ученика.

Структура урока:

1. Оргмомент
2. Обсуждение д/з и самот. работы прошлого урока
3. Повторение методов решений тригонометрических уравнений.
4. Решение тригонометрических уравнений
5. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.
6. Самостоятельная работа.
7. Итог урока. Домашнее задание.

1. Оргмомент (2 мин.)

Учитель приветствует аудиторию, объявляет тему урока и план работы.

2. а) Разбор домашнего задания (5 мин.)

Цель – проверить выполнение. Одна работа с помощью видео камеры выдается на экран, остальные выборочно собираются на проверку учителя.

б) Разбор самостоятельной работы (3 мин.)

Цель – разобрать ошибки, указать способы их преодоления.

На экране ответы и решения, у учащихся заранее выданные их работы. Быстро идет анализ.

3. Повторение методов решения тригонометрических уравнений (5 мин.)

Цель – вспомнить методы решения тригонометрических уравнений.

Спросить у учащихся, какие методы решений тригонометрических уравнений они знают. Акцентировать на том, что есть так называемые основные (часто используемые) методы:

• замена переменной,
• разложение на множители,
• однородые уравнения,

и есть прикладные методы:

• по формулам преобразования суммы в произведение и произведения в сумму,
• по формулам понижения степени,
• универсальная тригонометрическая подстановка
• введение вспомогательного угла,
• умножение на некоторую тригонометрическую функцию.

Также нужно напомнить, что одно уравнение может решаться различными способами.

4. Решение тригонометрических уравнений (30 мин.)

Цель – обощить и закрепить знания и навыки по данной теме, подготовиться к решению С1 из ЕГЭ.

Считаю целесообразным прорешать вместе с учащимися уравнения на каждый метод.

Ученик диктует решение, учитель записывает на планшет, весь процесс отображается на экране. Это позволит быстро и эффективно восстановить в памяти ранее пройденный материал.

Решить уравнения:

1) замена переменной 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) разложение на множители 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) однородные уравнения sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) преобразование суммы в произведение cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) преобразование произведения в сумму 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) понижение степени sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) универсальная тригонометрическая подстановка sinx + 5cosx + 5 = 0.

Решая это уравнение, следует отметить, что использование данного метода ведет к сужению области определения, так как синус и косинус заменяется на tg(x/2). Поэтому, прежде чем выписывать ответ, нужно сделать проверку, являются ли числа из множества π + 2πn, n Z конями данного уравнения.

8) введение вспомогательного угла √3sinx + cosx - √2 = 0

9) умножение на некоторую тригонометрическую функцию cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Отбор корней тригонометрических уравнений (20 мин.)

Так как в условиях жесткой конкуренции при поступлении в ВУЗы решение одной первой части экзамена недостаточно, то следует большинству учащихся обращать внимание на задания второй части (С1,С2,С3).

Поэтому цель этого этапа занятия – вспомнить ранее изученный материал, подготовиться к решению задачи С1 из ЕГЭ 2011 года.

Существуют тригонометрические уравнения, в которых нужно производить отбор корней при выписке ответа. Это связано с некоторыми ограничениями, например: знаменатель дроби не равен нулю, выражение под корнем четной степени неотрицательно, выражение под знаком логарифма положительно и т.д.

Такие уравнения считаются уравнениями повышенной сложности и в варианте ЕГЭ находятся во второй части, а именно С1.

Решить уравнение:

Дробь равна нулю, если тогда с помощью единичной окружности произведем отбор корней (см. рисунок 1)

Рисунок 1.

получим x = π + 2πn, n Z

Ответ: π + 2πn, n Z

На экране отбор корней показывается на окружности в цветном изображении.

Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю, а дугой, при этом, не теряет смысла. Тогда

С помощью единичной окружности отберем корни (см. рисунок 2)

Видеоурок «Упрощение тригонометрических выражений» предназначен для формирования навыков у учеников в решении тригонометрических задач с использованием основных тригонометрических тождеств. В ходе видеоурока рассматриваются виды тригонометрических тождеств, примеры решения задач с их использованием. Применяя наглядное пособие, учителю легче достичь целей урока. Яркое представление материала способствует запоминанию важных моментов. Использование анимационных эффектов и озвучивание позволяют полностью заменить учителя на этапе объяснения материала. Таким образом, применяя данное наглядное пособие на уроках математики, учитель может повысить эффективность обучения.

В начале видеоурока объявляется его тема. Затем напоминаются тригонометрические тождества, изученные ранее. На экране отображаются равенства sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, где t≠π/2+πk для kϵZ, ctg t=cos t/sin t, верное для t≠πk, где kϵZ, tg t· ctg t=1, при t≠πk/2, где kϵZ, названные основными тригонометрическими тождествами. Отмечается, что данные тождества часто применяются в решении задач, где необходимо доказать равенство или упростить выражение.

Дальее рассматриваются примеры применения данных тождеств в решении задач. Сначала предлагается рассмотреть решение задач по упрощению выражений. В примере 1 необходимо упростить выражение cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Чтобы решить пример, сначала выносится за скобки общий множитель cos 2 t. В результате такого преобразования в скобках получается выражение 1- cos 2 t, значение которого из основного тождества тригонометрии равно sin 2 t. После преобразования выражения очевидна возможность выведения за скобки еще одного общего множителя sin 2 t, после чего выражение приобретает вид sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Из того же основного тождества выводим значение выражения в скобках, равное 1. В результате упрощения получаем cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

В примере 2 также выражение cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) нужно упростить. Так как в числителях обеих дробей находится выражение cost, его можно вывести за скобки как общий множитель. Затем дроби в скобках приводятся к общему знаменателю перемножением (1- sint)(1+ sint). После приведения подобных слагаемых в числителе остается 2, а в знаменателе 1- sin 2 t. В правой части экрана напоминается основное тригонометрическое тождество sin 2 t+cos 2 t=1. Используя его, находим знаменатель дроби cos 2 t. После сокращения дроби получим упрощенный вид выражения cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost.

Далее рассматриваются примеры доказательства тождеств, в которых применяются полученные знания об основных тождествах тригонометрии. В примере 3 необходимо доказать тождество (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. В правой части экрана отображены три тождества, которые понадобятся для доказательства - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t и tg t=sin t/cos t с ограничениями. Чтобы доказать тождество, сначала раскрываются скобки, после чего образуется произведение, отражающее выражение основного тригонометрического тождества tg t·ctg t=1. Затем, согласно тождеству из определения котангенса, преобразуется ctg 2 t. В результате преобразований получается выражение 1-cos 2 t. Пользуясь основным тождеством, находим значение выражения. Таким образом, доказано, что (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

В примере 4 необходимо найти значение выражения tg 2 t+ctg 2 t, если tg t+ctg t=6. Чтобы вычислить выражение, сначала возводится в квадрат правая и левая части равенства (tg t+ctg t) 2 =6 2 . Формула сокращенного умножения напоминается в правой части экрана. После раскрытия скобок в левой части выражения образуется сумма tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, для преобразования которой можно применить одно из тригонометрических тождеств tg t·ctg t=1, вид которого напоминается в правой части экрана. После преобразования получается равенство tg 2 t+ctg 2 t=34. Левая часть равенства совпадает с условием задачи, поэтому ответ 34. Задача решена.

Видеоурок «Упрощение тригонометрических выражений» рекомендуется применять на традиционном школьном уроке математики. Также материал будет полезен учителю, осуществляющему дистанционное обучение. С целью формирования навыка в решении тригонометрических задач.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

«Упрощение тригонометрических выражений».

Равенства

1)sin 2 t + cos 2 t = 1(синус квадрат тэ плюс косинус квадрат тэ равно одному)

2)tgt =, при t ≠ + πk, kϵZ(тангенс тэ равно отношению синуса тэ к косинусу тэ при тэ не равном пи на два плюс пи ка, ка принадлежит зэт)

3)ctgt = , при t ≠ πk, kϵZ(котангенс тэ равно отношению косинуса тэ к синусу тэ при тэ не равном пи ка, ка принадлежит зэт).

4)tgt ∙ ctgt = 1 при t ≠ , kϵZ (произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно одному при тэ не равном пи ка, деленное на два, ка принадлежит зэт)

называют основными тригонометрическими тождествами.

Часто они используются при упрощении и доказательстве тригонометрических выражений.

Рассмотрим примеры использования этих формул при упрощении тригонометрических выражений.

ПРИМЕР 1.Упростить выражение: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t . (выражение а косинус квадрат тэ минус косинус четвертой степени тэ плюс синус четвертой степени тэ).

Решение. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t·1= sin 2 t

(вынесем за скобку общий множитель косинус квадрат тэ, в скобках получим разность единицы и квадрата косинуса тэ, что равно по первому тождеству квадрату синуса тэ. Получим сумму синус четвертой степени тэ произведения косинус квадрат тэ и синус квадрат тэ. общий множитель синус квадрат тэ вынесем за скобки, в скобках получим сумму квадратов косинуса и синуса, что по основному тригонометрическому тождеству равно единице. В итоге получим квадрат синуса тэ).

ПРИМЕР 2.Упростить выражение: + .

(выражение бэ сумма двух дробей в числителе первой косинус тэ в знаменателе единица минус синус тэ, в числителе второй косинус тэ в знаменателе второй единица плюс синус тэ).

(Вынесем общий множитель косинус тэ за скобки, а в скобках приведем к общему знаменателю, который представляет собой произведение один минус синус тэ на один плюс синус тэ.

В числителе получим: единица плюс синус тэ плюс единица минус синус тэ, приводим подобные, числитель равен двум после приведения подобных.

В знаменателе можно применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов) и получить разность единицы и квадрата синуса тэ, что по основному тригонометрическому тождеству

равно квадрату косинуса тэ. После сокращения на косинус тэ получим конечный ответ: два деленное на косинус тэ).

Рассмотрим примеры использования этих формул при доказательстве тригонометрических выражений.

ПРИМЕР 3. Доказать тождество (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (произведение разности квадратов тангенса тэ и синуса тэ на квадрат котангенса тэ равно квадрату синуса тэ).

Доказательство.

Преобразуем левую часть равенства:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Раскроем скобки, из ранее полученного соотношения известно, что произведение квадратов тангенса тэ на котангенс тэ равно единице. Вспомним, что котангенс тэ равен отношению косинуса тэ на синус тэ, значит, квадрат котангенса это отношение квадрата косинуса тэ на квадрат синуса тэ.

После сокращения на синус квадрат тэ получим разность единицы и косинуса квадрата тэ, что равно синусу квадрату тэ). Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 4.Найти значение выражения tg 2 t + ctg 2 t ,если tgt + ctgt = 6.

(сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ, если сумма тангенса и котангенса равна шести).

Решение. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Возведем обе части исходного равенства в квадрат:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (квадрат суммы тангенса тэ и котангенса тэ равна шести в квадрате). Вспомним формулу сокращённого умножения: Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Получим tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (тангенс квадрат тэ плюс удвоенное произведение тангенса тэ на котангенс тэ плюс котангенс квадрат тэ равно тридцати шести).

Так как произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно единице, то tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ и двух равна тридцати шести),