Все функции с графиками. Графики и основные свойства элементарных функций
Степенная функция.
Это
функция:
y
=
ax
n
,
где a, n
– постоянные. При
n
= 1 получаем прямую пропорциональность
:
y
=
ax
;
при
n
= 2 - квадратную параболу
;
при
n
=
-
1
- обратную пропорциональность
или гиперболу
.
Таким
образом,
эти
функции
-
частные
случаи
степенной
функции.
Мы
знаем,
что
нулевая
степень
любого
числа,
отличного
от
нуля,
равна
1, cледовательно, приn
= 0 степенная функция
превращается в постоянную величину:
y
=
a
,
т.
e
.
её
график
-
прямая линия,
параллельная оси
Х
,
исключая начало координат (поясните, пожалуйста,
почему
?
).
Все эти
случаи (при
a
=
1
)
показаны на рис.13
(n
0
) и рис.14 (
n
< 0). Отрицательные значения
x
здесь не рассматриваются, так
как тогда некоторые функции:
Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.
При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y . При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой .
На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x 2 , её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла . Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак ± перед квадратным корнем). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.
Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Постоянная функция.
Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , гдеC – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.
Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 ,y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.
Свойства постоянной функции.
Область определения: все множество действительных чисел.
Постоянная функция является четной.
Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .
Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
Асимптот нет.
Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.
Корень n-ой степени.
Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.
Корень n-ой степени, n - четное число.
Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .
Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.
Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.
Свойства функции корень n -ой степени при четных n .
Корень n-ой степени, n - нечетное число.
Функция корень n -ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.
При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства функции корень n -ой степени при нечетных n .
Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
Графиком линейной функции является прямая.
1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y= ⅓
x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3.
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓
x+2:
2.
В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
если k>0, то функция y=kx+b возрастает
если k
Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b
На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½
x+3; y=x+3
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.
Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3
На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0
Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:
3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.
Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание!
Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.
4. Условие параллельности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2
5. Условие перепендикулярности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2
6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):
Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.
Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.
Выделяют следующие виды основных элементарных функций:
Определение 1
- постоянная функция (константа);
- корень n -ой степени;
- степенная функция;
- показательная функция;
- логарифмическая функция;
- тригонометрические функции;
- братные тригонометрические функции.
Постоянная функция определяется формулой: y = C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C .
График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0 , С) . Для наглядности приведем графики постоянных функций y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).
Определение 2
Данная элементарная функция определяется формулой y = x n (n – натуральное число больше единицы).
Рассмотрим две вариации функции.
- Корень n -й степени, n – четное число
Для наглядности укажем чертеж, на котором изображены графики таких функций: y = x , y = x 4 и y = x 8 . Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.
Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.
Определение 3
Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число
- область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [ 0 , + ∞) ;
- когда x = 0 , функция y = x n имеет значение, равное нулю;
- данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
- область значений: [ 0 , + ∞) ;
- данная функция y = x n при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
- функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
- отсутствуют точки перегиба;
- асимптоты отсутствуют;
- график функции при четных n проходит через точки (0 ; 0) и (1 ; 1) .
- Корень n -й степени, n – нечетное число
Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y = x 3 , y = x 5 и x 9 . На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.
Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.
Определение 4
Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число
- область определения – множество всех действительных чисел;
- данная функция – нечетная;
- область значений – множество всех действительных чисел;
- функция y = x n при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
- функция имеет вогнутость на промежутке (- ∞ ; 0 ] и выпуклость на промежутке [ 0 , + ∞) ;
- точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) ;
- асимптоты отсутствуют;
- график функции при нечетных n проходит через точки (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) и (1 ; 1) .
Степенная функция
Определение 5Степенная функция определяется формулой y = x a .
Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.
- когда степенная функция имеет целый показатель a , то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
- показатель степени может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0 < a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
- степенная функция может иметь нулевой показатель, этот случай также ниже разберем подробнее.
Разберем степенную функцию y = x a , когда a – нечетное положительное число, например, a = 1 , 3 , 5 …
Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x (черный цвет графика), y = x 3 (синий цвет графика), y = x 5 (красный цвет графика), y = x 7 (зеленый цвет графика). Когда a = 1 , получаем линейную функцию y = x .
Определение 6
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный
- функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (исключая линейную функцию);
- точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) (исключая линейную функцию);
- асимптоты отсутствуют;
- точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .
Разберем степенную функцию y = x a , когда a – четное положительное число, например, a = 2 , 4 , 6 …
Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x 2 (черный цвет графика), y = x 4 (синий цвет графика), y = x 8 (красный цвет графика). Когда a = 2 , получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола.
Определение 7
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:
- область определения: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- убывающей при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- очки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
- точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .
На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – нечетное отрицательное число: y = x - 9 (черный цвет графика); y = x - 5 (синий цвет графика); y = x - 3 (красный цвет графика); y = x - 1 (зеленый цвет графика). Когда a = - 1 , получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола.
Определение 8
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:
Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1 , - 3 , - 5 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значений: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
- функция является нечетной, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является убывающей при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0) и вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
- точки перегиба отсутствуют;
k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда а = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .
- точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .
На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – четное отрицательное число: y = x - 8 (черный цвет графика); y = x - 4 (синий цвет графика); y = x - 2 (красный цвет графика).
Определение 9
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:
- область определения: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2 , - 4 , - 6 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;
- функция является четной, поскольку y (- x) = y (x) ;
- функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; 0) и убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 , поскольку:
k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .
- точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .
С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда a – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал - ∞ ; + ∞ , оговаривая при этом, что показатель a – несократимая дробь. На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество [ 0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий.
Итак, разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – рациональное или иррациональное число при условии, что 0 < a < 1 .
Проиллюстрируем графиками степенные функции y = x a , когда a = 11 12 (черный цвет графика); a = 5 7 (красный цвет графика); a = 1 3 (синий цвет графика); a = 2 5 (зеленый цвет графика).
Иные значения показателя степени a (при условии 0 < a < 1) дадут аналогичный вид графика.
Определение 10
Свойства степенной функции при 0 < a < 1:
- область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
Разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что a > 1 .
Проиллюстрируем графиками степенную функцию y = x a в заданных условиях на примере таких функций: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно).
Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.
Определение 11
Свойства степенной функции при a > 1:
- область определения: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) (когда 1 < a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
- точки прохождения функции: (0 ; 0) , (1 ; 1) .
Обращаем ваше внимание!Когда a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) с оговоркой, что показатель степени a – несократимая дробь. На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество (0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий.
Продолжаем тему и разбираем степенную функцию y = x a при условии: - 1 < a < 0 .
Приведем чертеж графиков следующий функций: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно).
Определение 12
Свойства степенной функции при - 1 < a < 0:
lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда - 1 < a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значений: y ∈ 0 ; + ∞ ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- точки перегиба отсутствуют;
На чертеже ниже приведены графики степенных функций y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно).
Определение 13
Свойства степенной функции при a < - 1:
- область определения: x ∈ 0 ; + ∞ ;
lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда a < - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- функция является убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 ;
- точка прохождения функции: (1 ; 1) .
Когда a = 0 и х ≠ 0 , получим функцию y = x 0 = 1 , определяющую прямую, из которой исключена точка (0 ; 1) (условились, что выражению 0 0 не будет придаваться никакого значения).
Показательная функция имеет вид y = a x , где а > 0 и а ≠ 1 , и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания a . Рассмотрим частные случаи.
Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы (0 < a < 1) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).
Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии 0 < a < 1 .
Определение 14
Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:
- область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к + ∞ ;
Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица (а > 1) .
Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).
Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.
Определение 15
Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:
- область определения – все множество действительных чисел;
- область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к - ∞ ;
- точка прохождения функции: (0 ; 1) .
Логарифмическая функция имеет вид y = log a (x) , где a > 0 , a ≠ 1 .
Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при x ∈ 0 ; + ∞ .
График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.
Рассмотрим сначала ситуацию, когда 0 < a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).
Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.
Определение 16
Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:
- область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к + ∞ ;
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- логарифмическая
- функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже –графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).
Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.
Определение 17
Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:
- область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к - ∞ ;
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ (все множество действительных чисел);
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- логарифмическая функция является возрастающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
- точка прохождения функции: (1 ; 0) .
Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.
В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f (x + T) = f (x) (T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.
- Функция синус: y = sin (х)
График данной функции называется синусоида.
Определение 18
Свойства функции синус:
- область определения: все множество действительных чисел x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- функция обращается в нуль, когда x = π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- функция является возрастающей при x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
- функция синус имеет локальные максимумы в точках π 2 + 2 π · k ; 1 и локальные минимумы в точках - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
- функция синус вогнутая, когда x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
- асимптоты отсутствуют.
- Функция косинус: y = cos (х)
График данной функции называется косинусоида.
Определение 19
Свойства функции косинус:
- область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- наименьший положительный период: Т = 2 π ;
- область значений: y ∈ - 1 ; 1 ;
- данная функция – четная, поскольку y (- x) = y (x) ;
- функция является возрастающей при x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
- функция косинус имеет локальные максимумы в точках 2 π · k ; 1 , k ∈ Z и локальные минимумы в точках π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
- функция косинус вогнутая, когда x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
- точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
- асимптоты отсутствуют.
- Функция тангенс: y = t g (х)
График данной функции называется тангенсоида.
Определение 20
Свойства функции тангенс:
- область определения: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- Поведение функции тангенс на границе области определения lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким образом, прямые x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;
- функция обращается в нуль, когда x = π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является возрастающей при - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z ;
- функция тангенс является вогнутой при x ∈ [ π · k ; π 2 + π · k) , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
- точки перегиба имеют координаты π · k ; 0 , k ∈ Z ;
- Функция котангенс: y = c t g (х)
График данной функции называется котангенсоида.
Определение 21
Свойства функции котангенс:
- область определения: x ∈ (π · k ; π + π · k) , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
Поведение функции котангенс на границе области определения lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким образом, прямые x = π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;
- наименьший положительный период: Т = π ;
- функция обращается в нуль, когда x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является убывающей при x ∈ π · k ; π + π · k , k ∈ Z ;
- функция котангенс является вогнутой при x ∈ (π · k ; π 2 + π · k ] , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k) , k ∈ Z ;
- точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
- наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.
Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.
- Функция арксинус: y = a r c sin (х)
Определение 22
Свойства функции арксинус:
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция арксинус имеет вогнутость при x ∈ 0 ; 1 и выпуклость при x ∈ - 1 ; 0 ;
- точки перегиба имеют координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
- асимптоты отсутствуют.
- Функция арккосинус: y = a r c cos (х)
Определение 23
Свойства функции арккосинус:
- область определения: x ∈ - 1 ; 1 ;
- область значений: y ∈ 0 ; π ;
- данная функция - общего вида (ни четная, ни нечетная);
- функция является убывающей на всей области определения;
- функция арккосинус имеет вогнутость при x ∈ - 1 ; 0 и выпуклость при x ∈ 0 ; 1 ;
- точки перегиба имеют координаты 0 ; π 2 ;
- асимптоты отсутствуют.
- Функция арктангенс: y = a r c t g (х)
Определение 24
Свойства функции арктангенс:
- область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- область значений: y ∈ - π 2 ; π 2 ;
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является возрастающей на всей области определения;
- функция арктангенс имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
- горизонтальные асимптоты – прямые y = - π 2 при x → - ∞ и y = π 2 при x → + ∞ (на рисунке асимптоты – это линии зеленого цвета).
- Функция арккотангенс: y = a r c c t g (х)
Определение 25
Свойства функции арккотангенс:
- область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- область значений: y ∈ (0 ; π) ;
- данная функция – общего вида;
- функция является убывающей на всей области определения;
- функция арккотангенс имеет вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) и выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
- точка перегиба имеет координаты 0 ; π 2 ;
- горизонтальные асимптоты – прямые y = π при x → - ∞ (на чертеже – линия зеленого цвета) и y = 0 при x → + ∞ .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция
, научимся строить ее график
и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.
Функция вида , где title="a0"> называется квадратичной функцией.
В уравнении квадратичной функции:
a - старший коэффициент
b - второй коэффициент
с - свободный член.
Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола , которая для функции имеет вид:
Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками - это, так называемые "базовые точки". Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:
Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции имеет вид:
Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:
Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.
Итак, мы заметили:
Если старший коэффициент a>0 , то ветви параболы напрaвлены вверх .
Если старший коэффициент a<0 , то ветви параболы напрaвлены вниз .
Второй параметр для построения графика функции - значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции . На графике нули функции - это точки пересечения графика функции с осью ОХ.
Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .
В случае квадратичной функции нужно .
Теперь внимание!
В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.
И здесь возможны три случая:
1 . Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если title="a>0">,то график функции выглядит как-то так:
2 . Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если title="a>0">
3 . Если title="D>0">,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:
Если title="a>0">,то график функции выглядит примерно так:
Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.
Следующий важный параметр графика квадратичной функции - координаты вершины параболы:
Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.
И еще один параметр, полезный при построении графика функции - точка пересечения параболы с осью OY.
Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .
То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).
Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.
1 . Функция задана формулой .
Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции
1 . Направление ветвей параболы.
Так как title="a=2>0">,ветви параболы направлены вверх.
2 . Найдем дискриминант квадратного трехчлена
Title="D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0">
Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.
Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:
,
3 . Координаты вершины параболы:
4 . Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.
Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:
Этот способ можно несколько упростить.
1. Найдем координаты вершины параболы.
2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.
Воспользуемся результатами построения графика функции
Кррдинаты вершины параболы
Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3
Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2
Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:
Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:
2 . Уравнение квадратичной функции имеет вид - в этом уравнении - координаты вершины параболы
или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент - четное число.
Построим для примера график функции .
Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент - четное число.
Выделим в уравнении функции полный квадрат:
Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):
3 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)
Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)
1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции - точки пересечения графика функции с осью ОХ:
(х-2)(х+1)=0, отсюда
2. Координаты вершины параболы:
3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.
Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:
График квадратичной функции.
Перед вами график квадратичной функции вида .
Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
- ширины графика функции
от значения коэффициента
,
- сдвига графика функции
вдоль оси
от значения
,
Сдвига графика функции
вдоль оси
от значения
- направления ветвей параболы от знака коэффициента
- координат вершины параболы