Что называется углом трения. Коэффициент трения

Реакция реальной (шерохо­ватой) связи будет слагаться из двух составляющих: из нормальной реакции и перпендикулярной к ней силы трения . Следовательно, полная реакция будет отклонена от нормали к поверхности на не­который угол. При изменении силы трения от нуля до F пр сила R будет меняться от N до R пр, а ее угол с нормалью будет расти от нуля до некото­рого предельного значения (рис. 26).

Рис.26

Наиболь­ший угол , который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения . Из чертежа видно, что

Так как , отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения:

При равновесии полная реакцияR, в зависимости от сдвигающих сил, может проходить где угодно внутри угла трения. Когда равно­весие становится предельным, реакция будет отклонена от нормали на угол .

Конусом трения называют конус, описанный предельной силой реакции шероховатой связи вокруг направления нормальной реакции.

Если к телу, лежащему на шероховатой поверх­ности, приложить силуР, образующую угол с нор­малью (рис. 27), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие Psin будет больше (мы считаем N=Pcos, пренеб­регая весом тела). Но неравенство , в котором , выполняется только при , т.е. при . Следовательно, ни­какой силой, образующей с нормалью угол , меньший угла трения , тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя. Этим объясняются известные явления заклинивания или само­торможения тел.

Рис.27

Для равновесия твёрдого тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на твёрдое тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину.

Тело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если её линия действия проходит внутри конуса трения.

23, Трение качения

происхождение трения качения можно наглядно представить себе так. Когда шар или цилиндр катится по поверхности другого тела, он немного вдавливается в поверхность этого тела, а сам немного сжимается. Таким образом, катящееся тело всё время как бы вкатывается на горку.

Рис.33

Вместе с тем происходит отрыв участков одной поверхности от другой, а силы сцепления, действующие между этими поверхностями, препятствуют этому. Оба эти явления и вызывают силы трения качения. Чем твёрже поверхности, тем меньше вдавливание и тем меньше трение качения.

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рис.34

Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса R и веса , лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости. Приложим к оси катка силу (рис. 34, а), меньшую F пр. Тогда в точке А возникает сила трения , численно равная Q, которая будет препятствовать скольжению цилиндра по плоскости. Если считать нормальную реакцию тоже приложенной в точке А, то она уравновесит силу , а силы и образуют пару, вызывающую качение цилиндра. При такой схеме ка­чение должно начаться, как видим, под действием любой, сколь угодно малой силы .

Истинная же картина, как пока­зывает опыт, выглядит иначе. Объяс­няется это тем, что фактически, вслед­ствие деформаций тел, касание их происходит вдоль некоторой площадки АВ (рис. 34, б). При действии силы интенсивность давлений у края А убывает, а у края В воз­растает. В результате реакция оказывается смещенной в сторону действия силы . С увеличением это смещение растет до некото­рой предельной величины k. Таким образом, в предельном положении на каток будут действовать пара (, ) с моментом и уравно­вешивающая ее пара () с моментом Nk. Из равенства моментов находим или

Пока , каток находится в покое; при начинается качение.

Входящая в формулу линейная величина k называется коэф­фициентом трения качения. Измеряют величину k обычно в санти­метрах. Значение коэффициента k зависит от материала тел и опре­деляется опытным путем.

Коэффициент трения качения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости.

Для вагонного колеса по рельсу k=0,5 мм.

Рассмотрим движение ведомого колеса.

Качение колеса начнется, когда выполнится условие QR>M или Q>M max /R=kN/R

Скольжение колеса начнется, когда выполнится условие Q>F max =fN.

Обычно отношение и качение начинается раньше скольжения.

Если , то колесо будет скользить по поверхности, без качения.

Отношение для большинства материалов значительно меньше статического коэффициента трения . Этим объясняетсято, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением (колеса, катки, шариковые подшипники и т. п.).

24.Понятие о фермах и их классификация

При больших пролетах и значительных нагрузках балки сплошного сечения становятся экономически невыгодными. В таких случаях их заменяют сквозной конструкцией – стержневой системой (фермой), элементы, которых при узловых нагрузках работают на центральное сжатие и растяжение. Фермой называется геометрически неизменимая система, составленная из стержней, шарнирно соединенных между собой. При расчетах ферм принимают, что узлы являются идеально гладкими, лишенными трения, а оси всех стержней проходят через геометрические центры шарниров. Такой расчетной схемой будем пользоваться на протяжении дальнейшего расчета. На практике обычно ферме придают такое устройство, чтобы нагрузка передавалась на нее исключительно в узлах. При таком устройстве любая нагрузка будет вызывать в любом стержне только продольные усилия. Кроме плоских ферм, у которых оси всех стержней расположены в одной плоскости, применяются пространственные фермы, оси элементов которых не лежат в одной плоскости. Расчет пространственных ферм часто удается свести к расчету нескольких плоских ферм. Расстояние между осями опор фермы называется пролетом . Стержни, расположенные по внешнему контуру фермы, называется поясными, и образуют пояса . Стержни, соединяющие пояса, образуют решетку фермы и называются: вертикальные – стойками, наклонные – раскосами. Расстояние между соседними узлами любого пояса фермы называется панелью. Стержни, ограничивающие контур фермы сверху, образуют ее верхний пояс, а снизу – нижний. Внутренние стержни образуют решетку, вертикальные стержни которой называется стойками, наклонные – раскосами. Расстояние по горизонтами м/у соседними узлами любого пояса называется длиной панели. Классификация : 1) по очертаний поясов; 2) по типу решетки: раскосные, полураскосные, многораскосные с треугольными решетками, с составной (шпренгельной) решеткой; 3) по назначению – мостовые, стропильные, башенные и т.д; 4) по условию опирания – балочные, арочные, консольные, балочно-консольный.

Между движущимися телами в плоскости их соприкосновения возникает сила трения скольжения . Обусловлено это прежде всего шероховатостью соприкасающихся поверхностей и наличием сцепления у прижатых тел.

В инженерных расчетах обычно пользуются установленными опытным путем закономерностями, которые с некоторой степенью точности отражают действие силы трения. Эти закономерности называют законами трения скольжения (Кулона) . Их можно сформулировать следующим образом.

1. При стремлении сдвинуть одно тело относительно другого в плоскости их соприкосновения возникает сила трения F , модуль которой может принимать любые значения от нуля до Fmax, т. е. . Сила трения приложена к телу и направлена в сторону, противоположную возможному направлению скорости точки приложения силы.

2. Максимальная сила трения равна произведению коэффициента трения f на силу нормального давления N: .

Коэффициент трения f - безразмерная величина, зависящая от материалов и состояния поверхностей соприкасающихся тел (шероховатость, температура, влажность и т. п.). Определяют его опытным путем.

Различают коэффициенты трения покоя и трения скольжения, причем последний, как правило, зависит и от скорости скольжения. Коэффициент трения покоя соответствует такой
максимальной силе трения Fmax, при которой имеется предельное состояние равновесия. Малейшее увеличение внешних сил может вызвать движение. Коэффициент трения покоя, как правило, немного больше коэффициента трения скольжения. С увеличением скорости скольжения значение коэффициента трения скольжения сначала незначительно уменьшается, а затем остается практически неизменным. Значения коэффициентов трения для некоторых пар трения следующие: дерево по дереву 0,4-0,7; металл по металлу 0,15-0,25; сталь по льду 0,027.

3. Максимальная сила трения в довольно широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.

Силу трения скольжения иногда называют силой сухого трения .

Реакция шероховатой поверхности. Угол трения .

Реакция идеально гладкой поверхности, как уже говорилось выше, направлена по нормали к поверхности. На шероховатой поверхности могут возникать силы трения скольжения. Поэтому реакцию шероховатой поверхности представим в виде двух составляющих: нормальной реакции N (равна по модулю силе нормального давления) и перпендикулярной ей силы трения F.

Полная реакция R=N + F всегда отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол "альфа". На рисунке видно, что . Если тело лежит на горизонтальной шероховатой поверхности и на него не действуют никакие внешние силы, кроме силы тяжести, то F = 0, а полная реакция R = N и перпендикулярна опорной поверхности. Приложив к телу силу F1, мы стремимся вызвать его движение, но оно не происходит, так как возникает сила трения F = -F1, причем . С увеличением силы F1 будет возрастать и сила F . Наконец, при F1 = Fmax наступит предельное состояние равновесия, при котором полная реакция R отклонится от вертикали на угол "альфа"max, называемыйуглом трения . Обозначив его через "фи", получим .

Тангенс угла трения равняется коэффициенту трения. Полная реакция неидеальной связи при равновесии имеет направление в пределах угла трения.

Конус трения .

Рассмотрим равновесие невесомого тела на горизонтальной шероховатой плоскости под действием наклонной силы F1, стремящейся его сдвинуть.

Тело будет сдвинуто только тогда, когда > Fmax = . Предельному случаю равновесия соответствует такой угол
наклона a, при котором выполняется равенство = , или tgα = f . Если tgα<=f , то как бы не возрастала сила F1, тело сдвинуть с места невозможно. Возрастающей сдвигающей силе будет противостоять пропорционально ей увеличивающаяся сила трения .

Пусть тело веса Р движется под действием силы Т по шероховатой поверхности С одной стороны, поверхность не позволяет телу падать вниз под действием силы тяжести Р. С другой стороны, поверхность мешает свободному перемещению тела под действием силы Т. Таким образом, сила трения F так же, как и нормальная реакция, вызвана к жизни поверхностью, т. е. сила трения - это тоже реакция. Нормальная реакция и сила трения складываются в полную реакцию R, которая отклонена от нормали на угол ц. Этот угол называется углом трения. С помощью рис. легко вычислить, чему равен тангенс угла трения tgц=F/N=µN/N=µ, т. е. тангенс угла трения численно равен коэффициенту трения.

Теперь представьте себе, что вы вращаете полную реакцию вокруг нормали к поверхности. В этом случае сила R описывает конус, который называется конусом трения. Он интересен тем, что область, ограниченная конусом трения, определяет область равновесия для тела: если сила действует на тело внутри конуса трения, она не сдвинет тело, как бы велика ни была; если сила действует на тело вне конуса трения, она сдвигает тело, как бы мала ни была (рис. 19).

Рис. 19.

Давайте посмотрим, почему так происходит (Рис. 20).

Рис. 20.

Если сила Q действует внутри конуса трения, то сдвигающая сила Q 1 =Qsinб. Вычислим силу трения:

F=µN=µQcosб=Qcosбtgц.

Запас прочности F-Q 1 =Q(cosб tgц-sin б) = Qsin(ц-б)/cosц. Таким образом, запас прочности пропорционален Q, так как sin(ц-б)/cosц - постоянная величина. Чем больше сила Q, тем больше удерживающая сила F-Q 1 .

Уметь строить конус трения нужно вот почему.

Однажды в Мюнхене рухнул мост, и виноват в этом был не ураганный ветер, не полк идущих в ногу солдат, а... конус трения.

Этот мост одним своим концом был закреплен при помощи шарнира, а другим - положен на катки (рис. 21). Мост всегда крепят таким образом, чтобы он не покривился при колебаниях температуры. Шарнир был заполнен пастой, предохранявшей его от коррозии. В жаркий летний день паста растопилась, и вязкость ее стала меньше. Характер трения изменился - оно также уменьшилось. Конус трения сузился, и сила давления на опору вышла за пределы конуса.

Рис. 21.

Равновесие нарушилось, и мост рухнул. Инженерам часто приходится строить конус трения, чтобы определить, будет ли находиться в равновесии данная конструкция или нет. Но с конусом трения имеют дело не одни только инженеры. Каждый из нас ежедневно сталкивается с этим физическим явлением.

Чтобы пробраться к выходу в переполненном автобусе или троллейбусе, приходится извиваться ужом. Делаем мы это бессознательно, не задумываясь, что таким образом мы выходим из конусов трения в местах касания с другими пассажирами.

Катаемся ли мы на коньках, идем ли на работу, переворачиваем ли страницу в книге - всюду мы сталкиваемся с трением и, в частности, с конусом трения.

Явления трения скольжения впервые экспериментально изучались в конце XVII в. французским физиком Амонтоном (1663-1705), законы трения были сформулированы почти сто лет спустя Кулоном (1736--1806).

1. Сила трения лежит в плоскости касательной к соприкасающимся поверхностям трущихся тел.

2. Сила трения не зависит от площади соприкосновения тел.

3. Максимальное значение силы трения пропорционально нормальному давлению N тела на плоскость (в рассматриваемом случае N=P ):

F max= fN

К телу веса P , лежащему на горизонтальном столе (рис.13), будем прикладывать горизонтальное усилие S . Размерами тела пренебрегаем, рассматривая его как материальную точку (случай тела конечных размеров рассмотрен ниже). Если S =0 , тело будет в равновесии (в данном случае в покое по отношению к столу); если силу S начнем увеличивать, то тело все же будет оставаться в покое; следовательно, горизонтальная состав­ляющая реакции стола, называемая силой трения Fтр уравновешивает приложенную силу S и воз­растает вместе с нею до тех пор, пока равно­весие не нарушится. Это произойдет в тот момент, когда сила трения достигнет своего максимального значения.

F max= fN (1.17)

причем коэффициент пропорциональности f , называемый коэффици­ентом трения скольжения, определяется экспериментально и ока­зывается зависящим от материала и состояния (шерохова­тости) поверхностей трущихся тел. Численное зна­чение коэффициента трения скольже­ния для различных материалов можно найти в справочниках. Наряду с коэффициентом трения f введем в рассмотрение угол трения φ, определяя его соотношением . Происхождение этого равенства и наименование «угол трения» будут объяснены ниже. Когда Р достигнет значения Fmах , наступит критический (пуско­вой) момент равновесия; если S останется равным Fmax , то равновесие не нарушится, но достаточно самого ничтожного приращения усилия S , чтобы тело сдвинулось с места. Можно заметить, что как только тело сдвинется с места, сила трения сразу несколько умень­шится; опыты показали, что трение при взаимном движении тел не­сколько меньше трения при взаимном покое их. Важно отметить, что до наступления критического момента, т. е. пока тело находится в покое, сила трения равна приложенному усилию и можно лишь утверждать, что F≤ N. Знак равенства относится к критическому моменту равновесия. Направление силы трения при покое противоположно направле­нию силы S и меняется с изменением направления этой силы.

Коэффициент трения f зависит от скорости тела, уменьшаясь для большинства материалов при увели­чении скорости. (Как на исключение, можно указать на случай трения кожи о металл; здесь f увеличивается при увеличении относительной скорости.). Соотношение (17) достаточно хорошо отвечает наблюдениям при трении сухих или слабо смазанных тел; теория трения при наличии слоя смазки, созданная Н. П. Петровым и О. Рейнольдсом, представляет специальный раздел гидродинамики вязкой жидкости.

Угол трения, конус трения.

Рассматривая трение покоя, предположим, что к телу, покоящемуся на горизонтальной шерохо­ватой плоскости, приложена сила Q , составляющая угол α с нор­малью к плоскости (рис. 14). Составим уравнения равновесия. Для сходящейся системы сил достаточно написать два уравнения

.

Написанные уравнения определяют силу трения и нормальную реакцию. Для того чтобы тело под действием приложенного усилия не могло быть сдвинуто с места, необходимо, чтобы или . Разделив полученное неравенство на , имеем , или вводя угол трения, получаем α ≤φ . Следовательно, в зависимости от материала и характера поверх­ности трущихся тел можно по заданному коэффициенту трения определить такой угол φ , что если приложенная к телу сила будет наклонена к нормали на угол, меньший угла φ, то как бы ни была велика эта сила, тело останется в равновесии. Это и объясняет наименование угла φ углом трения. Область внутри отрезков с углом 2φ («область трения») представляет область, обладающую замечатель­ным свойством: как бы ни была велика по интенсивности сила, линия действия которой расположена внутри этой области, эта сила не приведет в движение тело, опирающееся на плоскость.

Если мы рассматриваем тело, имеющее возможность передвигаться в любом направлении вдоль плоскости, то область трения будет ограничена поверхностью конуса с углом растворения, рав­ным 2φ (так называемым конусом трения). Наличием области трения объясняется явление заклинивания или, как говорят, «заедания» частей машин, когда никакой силой, приложенной внутри конуса, не удаётся сдвинуть соответствующую часть машины. Коэффициент трения может иметь различные значения для различных направлений на плоскости (например, при трении по дереву вдоль и поперек волокон, при трении по прокатному железу по направлению и перпендику­лярно к направлению прокатки). Поэтому конус трения не всегда представ­ляет прямой круглый конус.

При стремлении двигать одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила сопротивления их относительному скольжению, называемая СИЛОЙ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ. При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения (или сила сцепления), которая может принимать любые значения от нуля до значения F ПР, называемого ПРЕДЕЛЬНОЙ СИЛОЙ ТРЕНИЯ.

(F ПР = f 0 N). Равновесие, имеющее место, когда сила трения равна называется ПРЕДЕЛЬНЫМ РАВНОВЕСИЕМ.

УГОЛ ТРЕНИЯ – наибольший угол ϕ 0 , который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности. Из чертежа видно, что

Так как F ПР = f 0 N, то отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения:

При равновесии полная реакция в зависимости от сдвигающих сил может проходить где угодно внутри угла трения. Когда равновесие становится предельным, реакция будет отклонена от нормали на угол . Если к телу, лежащему на шероховатой поверхности, приложить силу , образующую угол α с нормалью (рис.76), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие Psinα будет больше = f 0 Pcosα. Но неравенство Psinα > f 0 Pcosα, в котором f 0 = , выполняется только при tgα > tg , т.е. при α>ϕ 0 . Следовательно, никакой силой, образующей с нормалью угол α, меньший угла трения , тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя.

БИЛЕТ – 20

«ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ»

ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ – сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса R и веса Р, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости. Приложим к оси катка силу (рис.83 а), меньшую . Тогда в точке А возникает сила трения , численно равная Q, которая будет препятствовать скольжению цилиндра по плоскости. Если считать нормальную реакцию тоже приложенной в точке А, то она уравновесит силу , а силы и образуют пару, вызывающую качение цилиндра. Фактически следствие деформаций тел касание двух этих цилиндров происходит вдоль некоторой площадки АВ

(рис. 83 б). При действии силы интенсивность давления у края А убывает, а у края В возрастает. В результате реакция оказывается смещенной в сторону действия силы . С увеличением это смещение растет до некоторой предельной величины k. Таким образом, в предельном положении на каток будут действовать пара , с моментом Q ПР R и уравновешивающая её пара , с моментом Nk. Из равенства моментов находим Q ПР R = Nk или

Пока QQ ПР начинается качение.

КОЭФФИЦИЕНТ ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ – входящая в формулу (1) линейная величина k. Измеряют величину k обычно в сантиметрах. Значение коэффициента k зависит от материала тел и определяется опытным путем.

БИЛЕТ – 23

«СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ»

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ – неизменно связанная с данным телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы данного тела, при любом положении тела в пространстве.

1) СИММЕТРИЯ – Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии. Допустим, например, что однородное тело имеет плоскость симметрии. Тогда этой плоскостью оно разбивается на две такие части, веса которых р 1 и р 2 , равны друг другу, а центры тяжести находятся на одинаковых расстояниях от плоскости симметрии. Следовательно, центр тяжести тела как точка, через которую проходит равнодействующая двух равных и параллельных сил и , будет действительно лежать в плоскости симметрии. Из свойств симметрии следует, что центр тяжести, однородного круглого кольца, круглой или прямоугольной пластины, прямоугольного параллелипипида, шара и других однородных тел, имеющих центр симметрии, лежит в геометрическом центре (центре симметрии) этих тел.

2) РАЗБИЕНИЕ – Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам:

(1)

(2)

При этом, число слагаемых в каждой из сумм будет равно числу частей, на которые разбито тело.

3) ДОПОЛНЕНИЕ – Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

4) ИНТЕГРИРОВАНИЕ – Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положения центров тяжести которых известны, то тело разбивают сначала на произвольные малые объёмы , для которых формулы:

принимают вид:

И Т.Д. , (6)

Где – координаты некоторой точки, лежащей внутри объёма . Затем в равенствах и т.д. переходят к пределу, устремляя все к нулю, т.е. стягивая эти объёмы в точки. Тогда стоящие в равенствах суммы обращаются в интегралы, распространённые на весь объём тела, и формулы (6) дают в пределе:

(7)

Аналогично для координат центров тяжести площадей и линий получаем в пределе из формул (3) и (4):

(8)

(9)

5) ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ СПОСОБ – Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации (самолётов, паровозов и т.д.) можно определять экспериментально. Один из возможных экспериментальных методов (метод подвешивания) состоит в том, что тело подвешивают на нити или тросе за различные его точки. Направление нити, на которой подвешено тело, будет каждый раз давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.