Найти предельные вероятности состояний системы онлайн. Финальные вероятности состояний

Пусть имеется физическая система S={S 1 ,S 2 ,…S n } , в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Предположим, что l ij =const , т.е. все потоки событий простейшие (стационарные пуассоновские). Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравненияпри заданных начальных условиях, мы получим p 1 (t), p 2 (t),… p n (t), при любом t . Поставим следующий вопрос, что будет происходить с системой S при t®¥. Будут ли функции p i (t ) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными вероятностями состояний. Можно доказать теорему: если число состояний S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. Предположим, что поставленное условие выполнено и предельные вероятности существуют (i=1,2,…n), .

Таким образом, при t®¥ в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим. Смысл этой вероятности: она представляет собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Для вычисления p i в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые части (производные) равными 0. Систему получающихся линейных алгебраических уравнений надо решать совместно с уравнением .

Основные формулы для вычисления финальных вероятностей состояний СМО. Пример использования формул.

Что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут ли стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний .

где - конечное число состояний системы.

Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что:

Финальная вероятность состояния – это по–существу среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Например, система S имеет три состояния S1, S2 и S3. Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S1, 3/10 – в состоянии S2 и 5/10 – в состоянии S3.

Вопрос 8

p S - 1 λ S - 1, S + p S+1 λ S + 1, S - p S (λ S - 1, S + λ S + 1, S) = 0, s = 0, R

s = 0 – p 1 λ 10 – p 0 λ 01 = 0

s = 1 - p 0 λ 01 + p 2 λ 21 - p 1 (λ 10 + λ 12) = 0

s = 3 - p 1 λ 12 + p 3 λ 32 - p 2 (λ 21 + λ 23) = 0

Вопрос 9

Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди.

Система может находиться в одном из состояний S0, S1, S2,…, Sk,…, Sn,…, - нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); S1 - занят один канал, остальные свободны; S2 - заняты два канала, остальные свободны;..., Sk - занято k каналов, остальные свободны;..., Sn - заняты все n каналов (очереди нет); Sn+1 - заняты все n каналов, в очереди одна заявка;..., Sn+r - заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди.

Вопрос 10

λ - интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени).

– интенсивность обслуживания, t об – среднее время обслуживания одного клиента

Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/μ

число каналов обслуживания n

Вероятности свободного состояния СМО:

Многоканальная с отказами

Или как давал препод: i=1,R

Что будет происходить с вероятностями состояний при .Будут лиP 1 (t), P 2 (t), … стремится к каким-то пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний. В теории случайных процессов доказывается, что если число n состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое, то финальные вероятности существуют (это условие достаточно, но не необходимо для существования финальных вероятностей).

Предположим, что это условие выполнено и финальные вероятности существуют:

Будем обозначать их теми же буквами P 1 , P 2 , …, что и сами вероятности состояний, но подразумевая под ними не функции времени, а постоянные числа. Очевидно, они тоже образуют в сумме единицу:

. (4.10)

Как понимать эти финальные вероятности? При
в системеS устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система случайным образом меняет свои состояния, но их вероятности уже не зависят от времени. Финальную вероятность состояния S i можно понимать как среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Например, если система S имеет три состояния S 1 , S 2 , S 3 и их финальные вероятности равны 0,2; 0,3; 0,5, это значит, что в предельном стационарном режиме система в среднем две десятых времени проводит в состоянии S 1 , три десятых – в состоянии S 2 и половину времени – в состоянии S 3 .

Как же вычислить финальные вероятности? Если вероятности P 1 , P 2 , … постоянны, то их производные равны нулю. Значит, чтобы найти финальные вероятности, нужно все левые части в уравнениях Колмогорова положить равными нулю и решить полученную систему уже не дифференциальных, а линейных алгебраических уравнений. Даже можно сразу по графу состояний написать систему алгебраических уравнений. Если перенести отрицательный член каждого уравнения из правой части в левую, то получим сразу систему уравнений, где слева стоит финальная вероятность данного состояния P i , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i – е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пользуясь этим правилом, напишем линейные алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний системы, граф состояний дан на рис. 4.9:

(4.11)

Эту систему 4-х уравнений с 4-мя неизвестными P 0 , P 1 , P 2 , P 3 можно решить воспользовавшись так называемым нормировочным условием:

, (4.12)

при этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).

Зададимся численными значениями интенсивностей λ 1 =1, λ 2 =2, μ 1 =2, μ 2 =3 и решим систему (4.11). Отбросим четвертое уравнение, добавив вместо него нормировочное условие (4.12). Уравнения примут вид:

(4.13)

Решая их, получим т.е. в предельном, стационарном режиме системаS в среднем 40% времени будет проводить в состоянии S 0 (оба узла исправны), 20% - в состоянии S 1 (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии S 2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% - в состоянии S 3 полной негодности (оба узла ремонтируются). Знание этих предельных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов. Предположим, что система S в состоянии S 0 приносит в единицу времени доход 8 (условных единиц), в состоянии S 1 – доход 3, в состоянии S 2 – доход 5, а в состоянии S 3 – вообще не приносит дохода. Тогда, в предельном стационарном режиме средний доход в единицу времени будет . Теперь оценим загрузку ремонтных органов (рабочих), занятых ремонтов узлов 1 и 2. Узел 1 ремонтируется долю времени, равную. Узел 2 ремонтируется долю времени
.

Здесь уже может возникнуть вопрос об оптимизации решения. Допустим, что мы можем уменьшить среднее время ремонта того или другого узла (а может быть и того, и другого), но это нам обойдется в какую-то сумму. И необходимо оценить, а окупит ли увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта, повышенные расходы на ремонт? (для этого надо будет решить систему 4-х уравнений с 4-мя неизвестными).

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере графа, изображенного на рисунке 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния Si в Sj происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями??ij (i, j=0, 1, 2, 3); так, переход системы из состояния S0 в S1 будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S1 в S0 -- под воздействием потока "окончаний ремонтов" первого узла и т.п.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным. Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния: S0, S1, S2, S3.

Вероятностью i-го состояния называется вероятность pi(f) того, что в момент t система будет находиться в состоянии Si. Очевидно, что для любого момента t сумма вероятностей всех состояний равна единице:

Рассмотрим систему в момент t и, задав малый промежуток?t, найдем вероятность p0(t+?t) того, что система в момент t+?t будет находиться в состоянии S0. Это достигается разными способами.

Система в момент t с вероятностью p0(t) находилась в состоянии S0, а за время?t не вышла из него.

Вывести систему из этого состояния можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью (л01+л02), т.е. в соответствии с формулой, с вероятностью, приближенно равной (л01+л02)?t. А вероятность того, что система не выйдет из состояния S0, равна . Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0 по первому способу, равна по теореме умножения вероятностей:

Система в момент t с вероятностями p1(t) (или p2(t)) находилась в состоянии S1 или S2 и за время?t перешла в состояние S0.

Потоком интенсивностью л10 система перейдет в состояние S0 с вероятностью, приближенно равной??10?t (или??20?t). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0 по этому способу, равна p1(t)??10?t. Применяя теорему сложения вероятностей, получим

Переходя к пределу при?t>0 (приближенные равенства, связанные с применением формулы, перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную (обозначим ее для простоты):

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.

Рассуждая аналогично для других состояний системы S, можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части -- сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).

В системе (14) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение.

Нужно задать начальные условия. Так, например, систему уравнений (14) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии S0, т.е. при начальных условиях p0(0)=1, p1(0)=p2(0)=p3(0)=0.

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы рi(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t>?, которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния Si имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния S0, т.е. p0=0.5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S0.

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы S с графом состояний, изображенном на рисунке 1, такая система уравнений имеет вид:

Систему (15) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом, согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния рi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа -- сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-e состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пусть имеется система S c дискретными состояниями, в которой протекает марковский процесс с непрерывным временем.

Что будет с системой S при t ® ¥ ? Будут ли функции p 1 (t), p 2 (t), ..., p n (t) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными (или "финальными") вероятностями состояний.

Можно доказать следующее общее положение :

Если число состояний системы S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы.

Предположим, что поставленное условие выполнено, и предельные вероятности существуют:

Очевидно, предельные вероятности состояний, также, как и допредельные, в сумме должны давать единицу:

Таким образом, при t®¥ в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим : он состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени. Каков смысл вероятности? Она представляет собой среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии .

Как вычислить предельные вероятности? В системе уравнений Колмогорова надо положить все производные равными нулю.

Пример 1 . Вычислить предельные вероятности для системы:

Пример 2 . Написать уравнения для предельных вероятностей.

Пример 3. Найти предельные вероятности для системы.

9. Процесс "гибели и размножения".

Марковский поцесс называется "процессом гибели и размножения", если его граф состояний вытянут в цепочку, т.е. только l n,n+1 и. l n,n-1 не равны нулю, т.е. не равны нулю только плотности вероятностей перехода в соседнее состояние.

Пример 1 . Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавшее устройство немедленно начинает восстанавливаться. Состояние системы нумеруем по числу неисправных узлов.

В дальнейшем для процесса гибели и размножения будем обозначать l n,n+1 =l n , l n,n-1 =m n .

Определим общую схему решения для процессов гибели и размножения. Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний

Для первого состояния S 1 имеем:

l 1 p 1 =m 2 p 2

Для второго состояния имеем:

l 2 p 2 +m 2 p 2 =l 1 p 1 +m 3 p 3

Но в силу (9.1) можно сократить справа и слева равные друг другу члены l 1 p 1 и m 2 p 2 , получим

l 3 p 3 =m 4 p 4

и вообще для всех k

l k p k =m k+1 p k+1 для k=1,2,..., n-1

Решение этой системы есть:

p 1 +p 2 +....+p n = 1

Пример 2 . Найти предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения с графом

Пример 3 . Прибор состоит из трех узлов; поток отказов - простейший, среднее время безотказной работы каждого узла равно Т в. Отказавший узел сразу же начинает ремонтироваться; среднее время ремонта (восстановления) узла равно t p ; закон распределения этого вемени показательный (поток восстановлений - простейший). Найти среднюю производительность прибора, если при трех работающих узлах она равна 100%, при двух - 50%, а при одном и менее - прибор вообще не работает.

7 ГЛАВА

Элементы теории случайных процессов и теории массового обслуживания

В главе рассматриваются:

определение случайного процесса и его характеристики, понятие марковского случайного процесса;

основные понятия теории массового обслуживания;

потоки событий;

уравнение Колмогорова;

СМО с отказами;

метод Монте-Карло.

Типовые задачи

Пример 7.1

Случайный процесс определяется формулой X (t ) = Xcoswt , где X – случайная величина. Найти основные характеристики этого процесса, если М(Х) = а, D (X ) = а 2 .

Решение

На основании свойств математического ожидания и дисперсии имеем:

Корреляционную функцию найдем по формуле (7.1):

Нормированную корреляционную функцию найдем по формуле (7.2):

Пример 7.2

Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Решение

Возможные состояния системы: S 0 – оба узла исправны; S 1 – первый узел ремонтируется, второй исправен; S 2 – второй узел ремонтируется, первый исправен; S 3 - оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на рис. 7.4.

Стрелка, направленная, например, из S 0 в S 1 , означает переход системы в момент отказа первого узла, из S 1 в S 0 – переход в момент окончания ремонта этого узла.

На графе отсутствуют стрелки из S 0 в S 3 и из S 1 в S 2 . Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и, например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход из S 0 в S 3 ) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S 3 в S 0 ) можно пренебречь.

Пример 7.3

На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью альфа = 1,2 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за две минуты:

а) не придет ни одного вызова;

б) придет ровно один вызов;

в) придет хотя бы один вызов.

Решение

а) Случайная величина X – число вызовов за две минуты – распределена по закону Пуассона с параметром λτ = 1,2*2 = 2,4. Вероятность того, что вызовов не будет (m = 0), по формуле (7.5):

б) Вероятность одного вызова (m = 1):

в) Вероятность хотя бы одного вызова:

Пример 7.4

Найти предельные вероятности для системы S из примера 7.2, граф состояний которой приведен на рис. 7.4, при λ 01 = 1, λ 02 = 2, λ 10 = 2, λ 13 = 2, λ 20 = 3, λ 23 = 1, λ 31 = 3, λ 32 = 2.

Решение

Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (7.14) или

(7.15)

(Здесь вместо одного «лишнего»уравнения системы (7.14) записали нормировочное условие(7.12).)

Решив систему (7.15), получим p 0 = 0,40, p 1 = 0,20, p 2 = 0,27, p 3 = 0,13, т.е. в предельном стационарном режиме системе S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии S 0 (оба узла исправны), 20% - в состоянии S 1 (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии S 2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени – в состоянии S 3 (оба узла ремонтируются).

Пример 7.5

Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы S в условиях примеров 7.2 и 7.4, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден. ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден. ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Решение

Из примера 7.4 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную p 0 + р 2 = 0,40 + 0,27 = 0,67, а второй узел – p 0 + р 1 = 0,40 + 0,20 = 0,60. в то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную р 1 + р 3 = 0,20 + 0,13 = 0,33, а второй узел – р 2 +р 3 = =0,27+0,13=0,40. Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен

D = 0,67*10+0,60*6-0,33*4-0,40*2 = 8,18 ден. ед.

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (7.10) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончаний ремонтов» каждого узла, т.е. теперь λ 10 = 4, λ 20 = 6, λ 31 = 6, λ 32 = 4 и система линейных алгебраических уравнений (7.14), описывающая стационарный режим системы S , вместе с нормировочным условием (7.12) примет вид:

Решив систему, получим р 0 = 0,60, р 1 = 0,15, р 2 = 0,20, р 3 = 0,05.

Учитывая, что р 0 + р 2 = 0,60 + 0,20 = 0,80, р 0 + р 1 = 0,60 + 0,15 = 0,75, р 1 + р 3 = 0,15 + 0,05 = 0,20, р 2 + р 3 = 0,20 + 0,05 = 0,25, а затраты на ремонт первого и второго узлов составляют теперь соответственно 8 и 4 ден. ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:

D 1 = 0,80*10+0,75*6-0,20*8-0,25*4 = 9,9 ден. ед.

Так как D 1 больше D (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.

Пример 7.6

Процесс гибели и размножения представлен графом (рис.7.8). Найти предельные вероятности состояний.

Решение

По формуле (7.20) найдем

,

,
,

т.е. в установившемся стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находится в состоянии S 0 , 17,6% - в состоянии S 1 и 11,8% - в состоянии S 2 .

Пример 7.7

Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью Я, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону t o 6 – 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решения

Имеем λ = 90 (1/ч), t об = 2 мин. Интенсивность потока обслуживаний μ = 1/ t об = 1/2 = 0,5 (1/мин) = 30 (1/ч). По (7.24) относительная пропускная способность СМО Q = 30/(90+30) = 0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P ОТК =0,75 (см. (7.25)). Абсолютная пропускная способность СМО по (7.26) A=90*0,25=22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера

СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Пример 7.8

В условиях примера 7.7 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение из каждых 100 заявок на переговоры в среднем не менее 90 заявок.

Решение

Интенсивность нагрузки канала по формуле (7.28) р =90/30=3, т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора tоб = 2 мин поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) п = 2, 3, 4,... и определим по формулам (7.29), (7.32), (7.33) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при п = 2 p o =(1 + 3 + 3 2 /2!) -1 = 0,118 ≈ 0,12;

Q = 1-(3 2 /2!)*0,118 ≈ 0,471; А = 90*0,471 = 42,4.

Значение характеристик СМО сведем в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Характеристика обслуживания	Обозначение	Число каналов (телефонных номеров)
Относительная пропускная способность
Абсолютная пропускная способность

По условию оптимальности Q ≥ 0,9, следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q = 0,90 – см. табл. 7.1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (А = 80,1), а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (7.34) = 80, 1/30 = 2,67.

Пример 7.9

В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 1/ч. Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение

По условию п=3, λ =0,25 (1/ч), t o 6 =3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний μ=1/ t o 6 =1/3=0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (7.28) р =0,25/0,33=0,75. Найдем предельные вероятности состояний:

по формуле (7.29):

p 0 =(1+0,75+0,75 2 /2!+0,75 3 /3!) -1 =0,476;

по формуле (7.30):

p 1 = 0,75*0,476 = 0,357; p 2 = (0,75 2 /2!)*0,476 = 0,134; p 3 = (0,75 3 /3!)*0,476 = 0,033,

т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% – имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% – две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени – три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, Р 0ТК = р 3 = 0,033.

Согласно формуле (7.32) относительная пропускная способность центра Q = 1 – 0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

По формуле (7.33) абсолютная пропускная способность центра А = 0,250,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.

Согласно формуле (7.34) среднее число занятых ЭВМ к = = 0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 = 24,2%.

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, здесь высокая пропускная способность СМО, а с другой – значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

Случайный процесс определяется формулой X(t)= Хе(- t ) (t > 0), где X – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и а 2 . Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную и нормированную корреляционную функции случайного процесса.

Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух автоматов по продаже газированной воды, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.

Построить граф состояний системы S , представляющей собой электрическую лампочку, которая в случайный момент времени может быть либо включена, либо выключена, либо выведена из строя.

Среднее число заказов на такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за две минуты поступит:

а) 4 вызова;

б) хотя бы один;

в) ни одного вызова.

(Поток заявок простейший.)

Найти предельные вероятности для систем S , граф которых изображен на рис. 7.11 и 7.12.

Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 ч. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний – простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.

Решить задачу 7.15 для случая п = 4 канала (групп проведения осмотра). Найти минимальное число каналов, при котором относительная пропускная способность пункта осмотра будет не менее 0,9.

Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию, на вход которой поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 0,4 вызовов/мин. Средняя продолжительность разговора 3 мин.; время разговора имеет показательное распределение. Найти предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания СМО. Сравнить пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если разговор длился в точности 3 мин., а заявки шли одна за другой регулярно, без перерывов.

Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью 4 заявки/ч. Среднее время обслуживания одной заявки 0,8 ч. Каждая обслуженная заявка приносит доход 4 ден. ед. Содержание каждого канала обходится 2 ден. ед./ч. Выяснить, выгодно или невыгодно в экономическом отношении увеличить число каналов до трех.

Задания по вариантам

Варианты	Главы