Выбор единичного состояния при взаимных перемещениях. Начало возможных перемещений

Теорему о взаимности перемещений вывел самостоятельно Джеймс Клерк Максвелл в 1864 году (не как следствие теоремы Бетти). Рассмотрим два единичных состояния балки (рис. 15.8). Перемещение, вызванное единичной силой, обозначим буквой 5 с двумя нижними индексами, первый из которых означает направление...
(Сопротивление материалов)

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ (ФОРМУЛА МАКСВЕЛЛА - МОРА)

По формуле Максвелла - Мора можно определять перемещение только в каком-нибудь одном заданном сечении и по одному направлению. При этом заранее задают вид перемещения (угловое, линейное и т.п.), направление и сечение, в котором необходимо его вычислить. Дается интеграл Мора без вывода для полу- Л г MxFMxidz ...
(Техническая механика)

^

Теоремы Бетти и Максвелла

Величина работы внешних сил, так же как и потенциальная энергия деформации, не зависит от последовательности нагружения упругой системы и определяется ее конечным состоянием. Используем это свойство для определения работы двух сосредоточенных сил, приложенных к шарнирно опертой балке (рис. 10.5, а). ...
(Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности)

ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ УПРУГИХ РЕАКЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ (ВТОРАЯ ТЕОРЕМА РЭЛЕЯ)

Рассмотрим нагружение тела заданной внешней обобщенной силой ф“х второго состояния и обобщенным перемещением ^ первого состояния. В первом процессе нагружения будем прикладывать к системе сначала обобщенную силу, а затем обобщенное перемещение, а во втором процессе - наоборот. Первый процесс загружения...
(Строительная механика плоских стержневых систем)

ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ ПО ДЕФОРМИРОВАНИЮ ЛИНЕЙНО УПРУГОГО ТЕЛА. ТЕОРЕМА КЛАПЕЙРОНА

Ранее нами были рассмотрены различные зависимости для законов равновесных состояний деформируемых тел. В сопротивлении материалов и строительной механике наиболее часто используется закон Гука, для которого получим выражение действительной работы внешних сил. Закон Гука в обобщенном виде можно записать...
(Строительная механика плоских стержневых систем)

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ РАБОТ. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ ВОЗМОЖНЫХ РАБОТ (ТЕОРЕМА БЕТТИ). ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ

Выше мы рассмотрели определения работы в случае действия одной обобщенной силы. Согласно принципу независимости действия сил (суперпозиции) конечные значения обобщенных внешних сил и обобщенных перемещений не зависят от порядка их приложения (возникновения). Для случая двух различных обобщенных сил и...
(Строительная механика плоских стержневых систем)

Пусть балка имеет два состояния:

Где ∆ 12 – перемещение в точке 1 от действия силы, приложенной в точке 2.

∆ 21 – перемещение в точке 2 от силы, приложенной в точке 1.

Для вывода теоремы сначала балку загружаем силой F 1 , а затем силой F 2

Совершенная работа равна: W=W 11 +W 22 +W 12 = + + F 1 ∙∆ 12

W=W 22 +W 11 +W 21 = + + F 2 ∙∆ 21

Т.к. силы одинаковы, то и работа одинакова, из этого следует: F 1 ∙∆ 12 = F 2 ∙∆ 21 – теорема о взаимности работ (теорема Бетти): Работа сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещение первого состояния.

Если принять F 1 =F 2 =1 (безразмерная величина), то получим теорему о взаимности перемещений (теорема Максвелла): δ 12 =δ 21 - перемещение от единичной силы. Th: перемещение в точке приложения первой единичной силы по её направлению, вызванной второй единичной силой равно перемещению в точке приложения второй единичной силы по её направлению, вызванной первой единичной силой.

10.Графоаналитеческий способ решения интеграла Мора (способ Верещагина)

Если загружен. сис-мы имеют ряд участков с различными изгиб. моментами, то вычисления интеграла несколько затруднительно. Поэтому применяют способ Верещагина.

Пусть груз. эпюра моментов имеет криволинейное очертание, а единич. эпюра изгиб. моментов имеет линейное(рисунок).В этом случае интеграл Мора .(ВЫВОД)

; dw =S y - статический момент площади груз. Эпюры моментов относительно оси У.

Статический момент любой фигуры равен произведению площади на расстояние от оси до центра тяжести фигуры где w- площадь грузовой эпюры М F ; Z c - растояние до центра тяжести.

; Однако имея значение момента от единичной нагрузки под центром тяжести груз. Эпюры .Поскольку к балке может быть приложена несколько нагрузок, то перемещение определяют для каждого участка балки – формула Верещагина, т.е перемещение равно площади криволинейной эпюры на ординату прямолинейной расположенной под центром тяжести криволинейной эпюры. В практических расчётах площадь груз. эпюры разбивают на простейшие эпюры (рисунки).

Статически неопределимые системы.Метод расчета. Основная и эквивалентная система.

Статически неопределимыми балками(рамами) наз. балки(рамы) у которых все неизвестные реакции опор невозможно определить используя только уравнения статики, тк они имеют линии связи(реакции). Степень статич неопред-ти опред-ся разностью между числами неизвестных реакций и уравнений статики.

Балки имеют 4 опорные связи,т.е 4 опорные р-ции. А ур-й статики для плоской сист. Можно составить 3, следовательно балка явл. 1 раз статич. Неопределимой. Для раскрытия статической неопред-ти необход. к ур-ю статики составить доп. Ур-е исходя из перемещения сист. Их кол-во опред. степень статич неопределимости. Если линейных неизвестных несколько то доп. ур-я сост-ся исходя из деформационных условий(прогибов) на опору балки используя метод начальных параметров.

Сост. Ур-я статики и доп. Ур-я для заданной балки: Z=0; Y=0; M(B)=0.

Доп. Ур-е запишем из условия, что прогиб на опоре B=0 . EIY(B)=0. У некоторых сист. степень статич. неопред. высокая(неразрезные балки). Доп. ур-е составляеться исходя из деформационных условий(углов поворота сечения) на промежуточных опорах балкииспользуя метод сил. Из совместного решения ур-й статики и доп-х ур-й находим все неизвестные реакции

Установив степень статической неопределимости составляеться основная система. Под основной системой понимаеться такая статически определимая система, которая получается из статически неопределимой путем отбрасывания линейных связей.

Связей 6, уравнений статики 3. 6-3=3 - 3 раза статич неопред сист

Основных систем можно выбрать множество. При выборе основной системы необходимо что бы она была геометрически и мгновенно неизменяемой.

«геометрич измененная», «мгновенно измененная»

К мгновенно измененным сист относиться системы у которых реакции опор пересекаются в одной точке. Если к основной сист. приложить отброшенные связи и нагрузку, то получим эквивалентную систему.

рассмотрим 1-ю осн ситему. Рисунок

рассмотрим 2-ю основную систему. Рисунок

Основы метода сил.

расчет по методу сил осуществляеться в след. порядке:

1) Устанавливаем степень статической неопределимости

2) Выбираем основную и эквивалентную системы. отбрасывая линии связи и заменяя их неизвестными силами Х1,Х2,Х3.

3) Записывают условия эквивалентности заданой и эквиваленнтной систем по перемещению

заданая система эквив.сист

Если у заданной сист перемещение по направлению неизвестных сил Х1,х2,Х3 отсутствует.то условия эквивалентности будут иметь вид: =0, , =0.

Выразим эти перемещения от каждой неизвестной силы и от внешней нагрузки

Перемещения:

Что касается неизвестных Х1,Х2,Х3, то их влияние на перемещение можно представить ввиде:

Х1; = Х2; = Х3 т.е определение перемещений от единич. сил приложенных в направл. связей умножают их на соответствующие неизвестные силы X. после этого ур-е перемещений по направлению 3-х неизвестных связей примут вид.

Доказательство теоремы о взаимности работ

Наметим на балке две точки 1 и 2 (рис. 15.4, а).

Приложим статически в точке 1 силу . Она вызовет в этой точке прогиб , а в точке 2 – .

Для обозначения перемещений мы используем два индекса. Первый индекс означает место перемещения, а второй – причину, вызывающую это перемещение. То есть, почти как на конверте письма, где мы указываем: куда и от кого.

Так, например, означает прогиб балки в точке 2 от нагрузки .

После того, как закончен рост силы . приложим в точке 2 к деформированному состоянию балки статическую силу (15.4, б). Балка получит дополнительные прогибы: в точке 1 и в точке 2.

Составим выражение для работы, которую совершают эти силы на соответствующих им перемещениях: .

Здесь первое и третье слагаемые представляют собой упругие работы сил и . Согласно теореме Клапейрона, они имеют коэффициент . У второго слагаемого этого коэффициента нет, поскольку сила своего значения не изменяет и совершает возможную работу на перемещении , вызванном другой силой .

Начало возможных перемещений, являясь общим принципом механики, имеет важнейшее значение для теории упругих систем. Применительно к ним этот принцип можно сформулировать следующим образом: если система находится в равновесии под действием приложенной нагрузки, то сумма работ внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях системы равна нулю.

где - внешние силы;
- возможные перемещения этих сил;
- работа внутренних сил.

Заметим, что в процессе совершения системой возможного перемещения величина и направление внешних и внутренних сил остаются неизменными. Поэтому при вычислении работ следует брать на половину, а полную величину произведения соответствующих сил и перемещений.

Рассмотрим два состояния какой-либо системы, находящейся в равновесии (рис. 2.2.9). В состоянии система деформируется обобщенной силой(рис. 2.2.9, а), в состоянии- силой(рис. 2.2.9, б).

Работа сил состояния на перемещениях состояния, как и работа сил состоянияна перемещениях состояния, будет возможной.

(2.2.14)

Вычислим теперь возможную работу внутренних сил состояния на перемещениях, вызванных нагрузкой состояния. Для этого рассмотрим произвольный элемент стержня длиной
в обоих случаях. Для плоского изгиба действие удаленных частей на элемент выражается системой усилий,,
(рис. 2.2.10, а). Внутренние усилия имеют направления, противоположные внешним (показаны штриховыми линиями). На рис. 2.2.10, б показаны внешние усилия,,
, действующие на элемент
в состоянии. Определим деформации, вызванные этими усилиями.

Очевидно удлинение элемента
, вызванное силами

.

Работа внутренних осевых сил на этом возможном перемещении

. (2.2.15)

Взаимный угол поворота граней элемента, вызванный парами
,

.

Работа внутренних изгибающих моментов
на этом перемещении

. (2.2.16)

Аналогично определяем работу поперечных сил на перемещениях, вызванных силами

. (2.2.17)

Суммируя полученные работы, получаем возможную работу внутренних сил, приложенных к элементу
стержня, на перемещениях, вызванной другой, вполне произвольной нагрузкой, отмеченной индексом

Просуммировав элементарные работы в пределах стержня, получим полное значение возможной работы внутренних сил:

(2.2.19)

Применим начало возможных перемещений, суммируя работу внутренних и внешних сил на возможных перемещениях системы, и получим общее выражение начала возможных перемещений для плоской упругой стержневой системы:

(2.2.20)

Т. е., если упругая система находится в равновесии, то работа внешних и внутренних сил в состоянии на возможных перемещениях, вызванных другой, вполне произвольной нагрузкой, отмеченной индексом, равна нулю.

Теоремы о взаимности работ и перемещений

Запишем выражения начала возможных перемещений для балки, показанной на рис. 2.2.9, приняв для состояния в качестве возможных перемещения, вызванные состоянием, а для состояния- перемещения, вызванные состоянием.

(2.2.21)

(2.2.22)

Так как выражения работ внутренних сил одинаковы, то очевидно, что

(2.2.23)

Полученное выражение носит название теоремы о взаимности работ (теоремы Бетти). Она формулируется следующим образом: возможная работа внешних (или внутренних) сил состояния на перемещениях состоянияравна возможной работе внешних (или внутренних) сил состоянияна перемещениях состояния.

Применим теорему о взаимности работ к частному случаю нагружения, когда в обоих состояниях системы приложено по одной единичной обобщенной силе
и
.

Рис. 2.2.11

На основании теоремы о взаимности работ получаем равенство

, (2.2.24)

которое носит название теоремы о взаимности перемещений (теоремы Максвелла). Формулируется она так: перемещение точки приложения первой силы по ее направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению точки приложения второй силы по ее направлению, вызванному действием первой единичной силы.

Теоремы о взаимности работ и перемещений существенно упрощают решение многих задач при определении перемещений.

Пользуясь теоремой о взаимности работ, определим прогиб
балки посредине пролета при действии на опоре момента
(рис. 2.2.12, а).

Используем второе состояние балки – действие в точке 2 сосредоточенной силы . Угол поворота опорного сечения
определим из условия закрепления балки в точке В:

Рис. 2.2.12

Согласно теореме о взаимности работ

,

Рассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в равновесии. В каждом из этих состояний на систему действует некоторая статическая нагрузка (рис.4,а). Обозначим перемещения по направлениям сил F1 и F2 через, где индекс «i» показывает направление перемещения, а индекс «j» - вызвавшую его причину.

Обозначим работу нагрузки первого состояния (сила F1) на перемещениях первого состояния через А11, а работу силы F2 на вызванных ею перемещениях - А22:

Используя (1.9), работы А11 и А22 можно выразить через внутренние силовые факторы:

Рассмотрим случай статического нагружения той же системы (рис.5,а) в такой последовательности. Сначала к системе прикладывается статически возрастающая сила F1 (рис.23,б); когда процесс ее статического нарастания закончен, деформация системы и действующие в ней внутренние усилия становятся такими же, как и первом состоянии (рис.23,а). Работа силы F1 составит:

Затем на систему начинает действовать статически нарастающая сила F2 (рис.5,б). В результате этого система получает дополнительные деформации и в ней возникают дополнительные внутренние усилия, такие же, как и во втором состоянии (рис.5,а). В процессе нарастания силы F2 от нуля до ее конечного значения сила F1 , оставаясь неизменной, перемещается вниз на величину дополнительного прогиба и, следовательно, совершает дополнительную работу:

Сила F2 при этом совершает работу:

Полная работа А при последовательном нагружении системы силами F1, F2 равна:

С другой стороны, в соответствии с (1.4) полную работу можно определить в виде:

Приравнивая друг к другу выражения (1.11) и (1.12), получим:

А12=А21 (1.14)

Равенство (1.14) носит название теоремы о взаимности работ, или теоремы Бетти: работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния. Опуская промежуточные выкладки, выразим работу А12 через изгибающие моменты, продольные и поперечные силы, возникающие в первом и втором состояниях:

Каждое подинтегральное выражение в правой части этого равенства можно рассматривать как произведение внутреннего усилия, возникающего в сечении стержня от сил первого состояния, на деформацию элемента dz, вызванную силами второго состояния.