При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f " (x) , называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение  x и определяем соответствующее приращение функции  y = f(x+  x) -f(x) ; 2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а  x 0, находим
, который обозначаем черезf " (x) , как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x , при котором мы переходим к пределу. Определение : Производной y " =f " (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,
, или

Заметим, что если при некотором значении x , например при x=a , отношение
при x 0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a ) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a .

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x 0

f(x)

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим
илиtg =f "(x 0), так как
-угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох
, по определению производной. Но tg = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tg = f "(x 0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .

3. Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.

lim Vср (t) = (t 0) - мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (по определению производной).

Итак, (t) =x"(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f (x ) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x"(t) - скорость,

a(f) = "(t) - ускорение, или

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

φ = φ(t) - изменение угла от времени,

ω = φ"(t) - угловая скорость,

ε = φ"(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

x  , l - длина стержня,

р = m"(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω 2 x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция

у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где

А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,

φ 0 - начальная фаза.

Содержание статьи

ПРОИЗВОДНАЯ –производной функции y = f (x ), заданной на некотором интервале (a , b ) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производную принято обозначать так:

Широко употребляются и другие обозначения:

Мгновенная скорость.

Пусть точка M движется по прямой. Расстояние s движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения M 0 , зависит от времени t , т.е. s есть функция времени t : s = f (t ). Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка M находилась на расстоянии s от начального положения M 0, а в некоторый следующий момент t + Dt оказалась в положении M 1 – на расстоянии s + Ds от начального положения (см. рис .).

Таким образом, за промежуток времени Dt расстояние s изменилось на величину Ds . В этом случае говорят, что за промежуток времени Dt величина s получила приращение Ds .

Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки M в момент времени t . Если, например, тело в начале промежутка Dt перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость не сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать представление об истинной скорости ее движения в момент t . Чтобы точнее выразить истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени Dt . Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится средняя скорость при Dt ® 0. Этот предел называют скоростью движения в данный момент:

Таким образом, скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути Ds к приращению времени Dt , когда приращение времени стремится к нулю. Так как

Геометрическое значение производной. Касательная к графику функции.

Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления .

Пусть кривая есть график функции y = f (x ) в прямоугольной системе координат (см . рис.).

При некотором значении x функция имеет значение y = f (x ). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M 0(x , y ). Если аргументу x дать приращение Dx , то новому значению аргумента x + Dx соответствует новое значение функции y+ Dy = f (x + Dx ). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M 1(x + Dx , y + Dy ). Если провести секущую M 0M 1 и обозначить через j угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox , из рисунка непосредственно видно, что .

Если теперь Dx стремится к нулю, то точка M 1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M 0, и угол j изменяется с изменением Dx . При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M 0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

Следовательно, f ´(x ) = tga

т.е. значение производной f ´(x ) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f (x ) в соответствующей точке M 0(x ,y ) с положительным направлением оси Ox .

Дифференцируемость функций.

Определение. Если функция y = f (x ) имеет производную в точке x = x 0, то функция дифференцируема в этой точке.

Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.

Если функция y = f (x ) дифференцируема в некоторой точке x = x 0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x 0 функция y = f (x ) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x | непрерывна для всех x (–Ґ х x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема о корнях производной (теорема Ролля). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a ,b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и x = b обращается в нуль (f (a ) = f (b ) = 0), то внутри отрезка [a ,b ] существует, по крайней мере одна, точка x = с , a c b, в которой производная f ў(x ) обращается в нуль, т.е. f ў(c ) = 0.

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a , b ] найдется по крайней мере одна точка с , a c b, что

f (b ) – f (a ) = f ў(c )(b – a ).

Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Если f (x ) и g (x ) – две функции, непрерывные на отрезке [a , b ] и дифференцируемые во всех внутренних точках этого отрезка, причем g ў(x ) нигде внутри этого отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a , b ] найдется такая точка x = с , a c b, что

Производные различных порядков.

Пусть функция y = f (x ) дифференцируема на некотором отрезке [a , b ]. Значения производной f ў(x ), вообще говоря, зависят от x , т.е. производная f ў(x ) представляет собой тоже функцию от x . При дифференцировании этой функции получается так называемая вторая производная от функции f (x ), которая обозначается f ўў (x ).

Производной n- го порядка от функции f (x ) называется производная (первого порядка) от производной n- 1- го и обозначается символом y (n ) = (y (n – 1))ў.

Дифференциалы различных порядков.

Дифференциал функции y = f (x ), где x – независимая переменная, есть dy = f ў(x )dx , некоторая функция от x , но от x может зависеть только первый сомножитель f ў(x ), второй же сомножитель (dx ) является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит. Так как dy есть функция от x , то можно определить дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d 2y :

d (dx ) = d 2y = f ўў(x )(dx ) 2 .

Дифференциалом n- го порядка называется первый дифференциал от дифференциала n- 1- го порядка:

d n y = d (d n –1 y ) = f (n )(x )dx (n ).

Частная производная.

Если функция зависит не от одного, а от нескольких аргументов x i (i изменяется от 1 до n , i = 1, 2,… n ), f (x 1, x 2,… x n ), то в дифференциальном исчислении вводится понятие частной производной, которая характеризует скорость изменения функции нескольких переменных, когда изменяется только один аргумент, например, x i . Частная производная 1-ого порядка по x i определяется как обычная производная, при этом предполагается, что все аргументы, кроме x i , сохраняют постоянные значения. Для частных производных вводятся обозначения

Определенные таким образом частные производные 1-ого порядка (как функции тех же аргументов) могут, в свою очередь, также иметь частные производные, это частные производные второго порядка и т.д. Взятые по разным аргументам такие производные называются смешанными. Непрерывные смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования и равны между собой.

Анна Чугайнова

План:

1. Производная функции

2. Дифференциал функции

3. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функции

Производная функции одной переменной

Пусть функция определена на некотором интервале . Аргументу дадим приращение : , тогда функция получит приращение . Найдем предел этого отношения при Если этот предел существует, то его называют производной функции . Производная функции имеет несколько обозначений: . Иногда в обозначении производной используется индекс , указывающий, по какой переменной взята производная.

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует):

Определение. Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале.

Определение. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием .

Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: .

Пример. Найти производную функции в произвольной точке .

Решение . Значению даем приращение . Найдем приращение функции в точке : . Составим отношение . Перейдем к пределу: . Таким образом, .

Механический смысл производной . Так как или , т.е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени . В этом заключается механический смысл производной .

Если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной .

Геометрический смысл производной . Рассмотрим график непрерывной кривой , имеющий в точке невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где - угол касательной с осью . Для этого проведем через точку и графика секущую (рисунок 1).

Обозначим через - угол между секущей и осью . На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

При в силу непрерывности функции приращение тоже стремится к нулю; поэтому точка неограниченно приближается по кривой к точке , а секущая , поворачиваясь около точки , переходит в касательную. Угол , т.е. . Следовательно, , поэтому угловой коэффициент касательной равен .

Угловой коэффициент касательной к кривой

Это равенство перепишем в виде: , т.е. производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной .

Если точка касания имеет координаты (рисунок 2), угловой коэффициент касательной равен: .

Уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении имеет вид: .

Тогда уравнение касательной записывается в виде: .

Определение. Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой .

Угловой коэффициент нормали равен: (так как нормаль перпендикулярна касательной).

Уравнение нормали имеет вид: , если .

Подставляя найденные значения и получаем уравнения касательной , т.е. .

Уравнение нормали: или .

Если функция имеет конечную производную в точке, то она дифференцируема в этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то она дифференцируема в этом интервале.

Теорема 6.1 Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Обратная теорема неверна. Непрерывная функция может не иметь производной.

Пример. Функция непрерывна на интервале (рисунок 3).

Решение .

Производная этой функции равна:

В точке - функция не дифференцируема.

Замечание . На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в таблице формул дифференцирования аргумент заменен на промежуточный аргумент .

Таблица производных

Постоянная величина

Степенная функция :

2) , в частности ;

Показательная функция :

3) , в частности ;

Логарифмическая функция :

4) , в частности, ;

Тригонометрические функции :

Обратные тригонометрические функции , , , :

Продифференцировать функцию это значит найти ее производную, то есть вычислить предел: . Однако определение предела в большинстве случаев представляет громоздкую задачу.

Если знать производные основных элементарных функций и знать правила дифференцирования результатов арифметических действий над этими функциями, то можно легко найти производные любых элементарных функций, согласно правил определения производных, хорошо известных из школьного курса.

Пусть функции и - две дифференцируемые в некотором интервале функции.

Теорема 6.2 Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: .

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Пример. Найти производную функции .

Решение .

Теорема 6.3 Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: .

Пример. Найти производную функции .

Решение .

Теорема 6.4 Производная частного двух функций , если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: .

Пример. Найти производную функции .

Решение . .

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если , , , то

Пусть и, тогда - сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом .

Теорема 6.5 Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле . , Найти производную функции , заданную уравнением: .

Решение . Функция задана неявно. Продифференцируем уравнение по , помня, что : . Затем находим: .

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

В нашем случае основанием служит число:

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем.

Чему равен? Конечно же, .

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

Примеры:

Найди производную функции.
Чему равна производная функции?

Ответы: Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, опять?!...

Дифференцирование - это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений:

Всего имеется 5 правил.

Константа выносится за знак производной.

Если - какое-то постоянное число (константа), тогда.

Очевидно, это правило работает и для разности: .

Докажем. Пусть, или проще.

Примеры.

Найдите производные функций:

в точке;
в точке;
в точке;
в точке.

Решения:

(производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);

Производная произведения

Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение:

Производная:

Примеры:

Найдите производные функций и;
Найдите производную функции в точке.

Решения:

Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак, где - это какое-то число.

Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию:

Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда:

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной.

Примеры:
Найди производные функций:

Ответы:

Это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.

Заметим, что здесь частное двух функций, поэтому применим соответствующее правило дифференцирования:

В этом примере произведение двух функций:

Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, :

Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

Только теперь вместо будем писать:

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто:

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

Производная сложной функции.

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция : .

Для нашего примера, .

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Второй пример: (то же самое). .

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией , а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция, а внешняя.
А исходная функция является их композицией: .
Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: .
Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: .
Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: .
Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: .

производим замену переменных и получаем функцию.

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:

Другой пример:

Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Вроде бы всё просто, да?

Проверим на примерах:

Решения:

1) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

2) Внутренняя: ;

(только не вздумай теперь сократить на! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)

3) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

Сразу видно, что здесь трёхуровневая сложная функция: ведь - это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.

То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.

В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен. В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере:

Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий - как и раньше:

Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.

1. Подкоренное выражение. .

2. Корень. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Собираем все в кучу:

ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:

Базовые производные:

Правила дифференцирования:

Константа выносится за знак производной:

Производная суммы:

Производная произведения:

Производная частного:

Производная сложной функции:

Алгоритм нахождения производной от сложной функции:

Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
Умножаем результаты первого и второго пунктов.

Производная функции одной переменной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

§1. Определение производной.

Механический и геометрический смысл

производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента
при
.

Производную принято обозначать так:
.

Таким образом, по определению

Для обозначения производной употребляются также символы
.

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке
равен
.

Пример.

Найдите производную функции
в точке=2:

1) Дадим точке =2 приращение
. Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения при
:

Таким образом,
.

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть
тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

Пример.

Найдите производную функции

Данная функция является частным случаем функции вида

при
.

Используя формулу (1), имеем

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Переходя к пределу при ∆x→0, получим

;
. (2)

§3. Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)"=u"+v".(3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)"=u"+v".

Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)"=u"v+uv". (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если
то
(5)