Законы арифметических действий примеры. Законы арифметических действий
18-19.10.2010 г.
Тема : «ЗАКОНЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ»
Цель: познакомить учащихся с законами арифметических действий.
Задачи урока:
раскрыть на конкретных примерах переместительный и сочетательный законы сложения и умножения учить их применять при упрощении выражений;
формировать умения упрощать выражения;
работать над развитием логического мышления и речи детей;
воспитывать самостоятельность, любознательность, интерес к предмету.
УУД: умение действовать со знаково-символическими символами,
умение выбирать основания, критерии для сравнения, сопоставления, оценки и классификации объектов.
Оборудование: учебник, ТПО,презентация
Рис. 30 Рис. 31
Используя рисунок 30, объясните, почему справедливо равенство
а + b = b + а.
Это равенство выражает известное вам свойство сложения. Постарайтесь вспомнить какое.
Проверьте себя:
От перемены мест слагаемых сумма не меняется
Это свойство - переместительный закон сложения.
Какое равенство можно записать по рисунку 31? Какое свойство сложения выражает это равенство?
Проверьте себя.
Из рисунка 31 следует, что (а + b) + с = а + (b + с): если к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, то получится то же число, что и от прибавления к первому слагаемому суммы второго и третьего слагаемых.
Вместо (а + b) + с, так же как и| вместо а + (b + с), можно писать просто а + b + с.
Это свойство - сочетательный закон сложения.
В математике законы арифметических действий записывают как в| словесной форме, так и в виде равенств с использованием букв:
Объясните, как, используя законы сложения, можно упростить следующие вычисления, и выполните их:
212.
а) 48 + 56 + 52; д) 25 + 65 +
75;
б) 34 + 17 + 83; е) 35 + 17 + 65 + 33;
в) 56 + 24 + 38 + 62; ж) 27 + 123 + 16 + 234;
г) 88 + 19 + 21 + 12; з) 156 + 79 + 21 + 44.
213. Используя рисунок 32, объясните, почему справедливо равенство ab = b а.
Вы догадались, какой закон иллюстрирует это равенство? Можно ли утверждать, что для
умножения справедливы те же законы, что и для сложения? Постарайтесь их сформулировать,
а затем проверьте себя:
Используя законы умножения, значения следующих выражений вычислите устно:
214. а) 76 · 5 · 2; в) 69 · 125 · 8; д) 8 · 941 · 125; В С
б) 465 · 25 · 4; г) 4 · 213 · 5 ·
5; е) 2 · 5 · 126 ·4 · 25.
215. Найдите площадь прямоугольника ABCD (рис. 33) двумя способами.
216. Используя рисунок 34, объясните, почему справедливо равенство: а(b + с) = ab + ас.
Рис. 34 Какое свойство арифметических действий оно выражает?
Проверьте себя. Это равенство иллюстрирует следующее свойство: при умножении числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
Можно это свойство сформулировать и по-другому: сумму двух или нескольких произведений, содержащих одинаковый множитель, можно заменить произведением этого множителя на сумму остальных множителей.
Это свойство еще один закон арифметических действий - распределительный . Как видим, словесная формулировка этого закона очень громоздкая, и математический язык - это то средство, которое делает ее краткой и понятной:
Подумайте, как устно выполнить вычисления в заданиях № 217 – 220 и выполните их.
217. а) 15 · 13; б) 26 · 22; в) 34 · 12; г) 27 · 21.
218. а) 44 · 52; б) 16 · 42; в) 35 · 33; г) 36 · 26.
219. а) 43 · 16 + 43 · 84; д) 62 · 16 + 38 · 16;
б) 85 · 47 + 53 · 85; е) 85 · 44 + 44 · 15;
в) 54 · 60 + 460 · 6. ж) 240 · 710 + 7100 · 76;
г) 23 · 320 + 230 · 68; з) 38 · 5800 + 380 · 520.
220. а) 4 · 63 + 4 · 79 + 142 · 6; в) 17 · 27 + 23 · 17 + 50 · 19;
б) 7 · 125 + 3 · 62 + 63 · 3; г) 38 · 46 + 62 · 46 + 100 · 54.
221. Сделайте в тетради рисунок, подтверждающий равенство а ( b - с) = а b - ас
222. Вычислите устно, применив распределительный закон: а) 6 · 28; б) 18 · 21; в) 17 · 63; г) 19 · 98.
223. Вычислите устно: а) 34 · 84 – 24 · 84; в) 51· 78 – 51· 58;
б) 45 · 40 – 40 ·25; г) 63 · 7 – 7· 33
224 Вычислите: а) 560 · 188 – 880 · 56; в) 490 · 730 – 73 · 900;
б) 84 · 670 – 640 · 67; г) 36 · 3400 – 360 · 140.
Вычислите устно, используя известные вам приемы:
225. а) 13 · 5 + 71 · 5; в) 87 · 5 – 23 · 5; д) 43 · 25 + 25 · 17;
б) 58 · 5 – 36 · 5; г) 48 · 5 + 54 · 5; е) 25 · 67 – 39 · 25.
226. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
а) 258 · (764 + 548) и 258 · 764 + 258 · 545; в) 532 · (618 – 436) и 532 · 618 –532 · 436;
б) 751· (339 + 564) и 751· 340 + 751· 564; г) 496 · (862 – 715) и 496 · 860 – 496 · 715.
227.
Заполните таблицу:
Надо ли было производить вычисления, чтобы заполнить вторую строчку?
228. Как изменится данное произведение, если множители изменить следующим образом:
229. Запишите, какие натуральные числа расположены на координатном луче:
а) левее числа 7; в) между числами 2895 и 2901;
б) между числами 128 и 132; г) правее числа 487, но левее числа 493.
230. Вставьте знаки действий, чтобы получилось верное равенство: а) 40 + 15 ? 17 = 72; в) 40 ? 15 ? 17 = 8;
б) 40 ? 15 ? 17 = 42; г) 120 ? 60 ? 60 = 0.
231 . В одной коробке носки голубые, а в другой - белые. Голубых носков на 20 пар больше, чем белых, а всего в двух коробках 84 лары носков. Сколько пар носков каждого цвета?
232 . В магазине имеется крупа трех видов: гречка, перловка и рис, всего 580 кг. Если бы продали 44 кг гречки, 18 кг перловки и 29 риса, то масса круп всех видов стала бы одинаковой. Сколько кил граммов крупы каждого вида имеется в магазине.
В дальнейшем, когда будем изучать действия над числами, изображёнными цифрами или буквами (безразлично), нам придётся во многих выводах опираться на те законы действий, которые изучались в арифметике. В силу важности этих законов они называются основными законами действий.
Напомним их.
1. Переместительный закон сложения.
Сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых.
Этот закон уже был записан в § 1 в виде равенства:
где а и - любые числа.
Из арифметики известно, что переместительный закон верен для суммы любого числа слагаемых.
2. Сочетательный закон сложения.
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.
Для суммы трёх слагаемых имеем:
Например, сумму можно вычислить двумя способами так:
Сочетательный закон справедлив для любого числа слагаемых.
Так, в сумме четырёх слагаемых рядом стоящие слагаемые можно как угодно объединять в группы и заменять эти слагаемые их суммой:
Например, мы получим то же число 16, каким бы способом ни группировали рядом стоящие слагаемые:
Переместительным и сочетательным законами часто пользуются при устных вычислениях, располагая числа так, чтобы легче было их сложить в уме.
Поменяем местами два последних слагаемых, получим:
Сложить числа в этом порядке оказалось гораздо легче.
Обычно слагаемые в новом порядке не переписывают, а производят их перемещение в уме: переставив мысленно 67 и И, сразу складывают 89 и 11 и затем прибавляют 67.
Чтобы легче было сложить эти числа в уме, изменим порядок слагаемых так:
Пользуясь сочетательным законом, заключим два последних слагаемых в скобки:
Сложение чисел в скобках произвести легко, получим:
3. Переместительный закон умножения.
Произведение не изменяется от перемены порядка сомножителей:
где - любые числа.
Из арифметики известно, что переместительный закон верен для произведения любого числа сомножителей.
4. Сочетательный закон умножения.
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.
Для произведения трёх сомножителей имеем:
Например, произведение трёх сомножителей 5-3-4 можно вычислить так:
Для произведения четырёх сомножителей имеем:
Например, то же число 20 получится при любой группировке рядом стоящих сомножителей:
Применение переместительного и сочетательного законов умножения часто значительно облегчает вычисления.
Умножить 25 на 37 не очень легко. Переместим два последних сомножителя:
Теперь умножение легко выполнится в уме.
В ходе исторического развития, конечно, долго складывали и умножали, не отдавая себе отчета в тех законах, которым подчиняются эти операции. Лишь в 20-х и 30-х годах предыдущего столетия главным образом французские и английские математики выяснили основные свойства этих операций. Кто хочет ознакомиться с историей этого вопроса подробнее, тому я могу рекомендовать здесь, как буду это делать неоднократно ниже, большую «Энциклопедию математических наук».
Возвращаясь к нашей теме, я имею в виду теперь действительно перечислить те пять основных законов, к которым приводится сложение:
1) всегда представляет собою число, иначе говоря, действие сложения всегда без всяких исключений выполнимо (в противоположность вычитанию, которое в области положительных чисел выполнимо не всегда);
2) сумма всегда определена однозначно;
3) имеет место сочетательный, или ассоциативный закон: , так что скобки можно и вовсе опустить;
4) имеет место переместительный, или коммутативный закон:
5) имеет место закон монотонности: если , то .
Эти свойства понятны без дальнейших пояснений, если мы имеем перед глазами наглядное представление о числе как о количестве. Но они должны быть выражены строго формально, чтобы на них можно было опираться при дальнейшем строго логическом развитии теории.
Что касается умножения, то здесь действует, прежде всего, пять законов, аналогичных только что перечисленным:
1) всегда есть число;
2) произведение однозначно,
3) закон сочетательности:
4) закон переместительности:
5) закон монотонности: если , то
Наконец, связь сложения с умножением устанавливается шестым законом:
6) закон распределительности, или дистрибутивности:
Легко уяснить, что все вычисления опираются исключительно на эти 11 законов. Я ограничусь простым примером, скажем, умножением числа 7 на 12;
согласно закону распределительности
В этом коротком рассуждении вы, конечно, узнаете отдельные шаги, которые мы производим при вычислениях в десятичной системе. Предоставляю вам самим разобрать примеры посложнее. Мы здесь выскажем только сводный результат: наши цифровые вычисления заключаются в повторном применении перечисленных выше одиннадцати основных положений, а также в применении заученных наизусть результатов действий над однозначными числами (таблица сложения и таблица умножения).
Однако, где же находят себе применение законы монотонности? В обыкновенных, формальных вычислениях мы на Них действительно не опираемся, но они оказываются необходимыми в задачах несколько иного рода. Напомню вам здесь о способе, который в десятичном счете называют оценкой величины произведения и частного. Это прием величайшей практической важности, который, к сожалению, в школе и среди студентов известен далеко еще не достаточно, хотя при случае о нем говорят уже во втором классе; я здесь ограничусь только примером. Допустим, нам нужно умножить 567 на 134, причем в этих числах цифры единиц установлены, - скажем, посредством физических измерений - лишь весьма неточно. В таком случае было бы совершенно бесполезно вычислять произведение с полною точностью, так как такое вычисление все равно не гарантирует нам точного значения интересующего нас числа. Но что нам действительно важно - это знать порядок величины произведения, т. е. определить, в пределах какого числа десятков или сотен число заключается. Но эту, оценку закон монотонности действительно дает вам непосредственно, ибо из него вытекает, что искомое число содержится между 560-130 и 570-140. Дальнейшее развитие этих соображений я опять-таки предоставляю вам самим.
Во всяком случае, вы видите, что при «оценочных вычислениях» приходится постоянно пользоваться законами монотонности.
Что касается действительного применения всех этих вещей в школьном преподавании, то о систематическом изложении всех этих основных законов сложения и умножения не может быть и речи. Учитель может остановиться только на законах сочетательном, переместительном и распределительном, и то только при переходе к буквенным вычислениям, эвристически выводя их из простых и ясных численных примеров.
Цель: проверить сформированность умений выполнять вычисления по формулам; познакомить детей с переместительным, сочетательным и распределительным законами арифметических действий.
- познакомить с буквенной записью законов сложения и умножения; научить применять законы арифметических действий для упрощения вычислений и буквенных выражений;
- развивать логическое мышление, навыки умственного труда, волевые привычки, математическую речь, память, внимание, интерес к математике, практичность;
- воспитывать уважительное отношение друг к другу, чувство товарищества, доверие.
Тип урока: комбинированный.
- проверка ранее усвоенных знаний;
- подготовка учащихся к усвоению нового материала
- изложение нового материала;
- восприятие и осознание учащимися нового материала;
- первичное закрепление изученного материала;
- подведение итогов урока и постановка домашнего задания.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация.
План:
1. Организационный момент.
2. Проверка ранее изученного материала.
3. Изучение нового материала.
4. Первичная проверка усвоения знаний (работа с
учебником).
5. Контроль и самопроверка знаний
(самостоятельная работа).
6. Подведение итогов урока.
7. Рефлексия.
Ход урока
1. Организационный момент
Учитель: Добрый день, дети! Наш урок мы начинаем со стихотворения – напутствия. Обратите внимание на экран. (1 слайд) . Приложение 2 .
Математика, друзья,
Абсолютно всем нужна.
На уроках работай старательно,
И успех тебя ждёт обязательно!
2. Повторение материала
Повторим пройденный материал. Я приглашаю к экрану ученика. Задача: соединить с помощью указки записанную формулу с её названием и ответить на вопрос, что с помощью данной формулы можно ещё найти. (2 слайд).
Откройте тетради, подпишите число, классная работа. Обратите внимание на экран. (3 слайд).
Работаем устно по следующему слайду. (5 слайд).
12 + 5 + 8 25 10 250 – 50 200 – 170 30 + 15 45: 3 15 + 30 45 – 17 28 25 4
Задание: найти значение выражений. (Один ученик работает у экрана.)
– Что интересного заметили, решая примеры? На какие примеры стоит обратить особое внимание? (Ответы детей.)
Проблемная ситуация
– Какие свойства сложения и умножения вы знаете из начальной школы? Умеете ли вы их записывать с помощью буквенных выражений? (Ответы детей).
3. Изучение нового материала
– И так, тема сегодняшнего урока “Законы
арифметических действий” (6 слайд).
– Запишите в тетради тему урока.
– Что нового мы должны узнать на уроке? (Вместе с
детьми формулируются цели урока).
– Смотрим на экран. (7 слайд)
.
Вы видите законы сложения, записанные в буквенном виде и примеры. (Разбор примеров).
– Следующий слайд (8 слайд).
Разбираем законы умножения.
– А теперь познакомимся с очень важным распределительным законом (9 слайд).
– Подведём итог. (10 слайд).
– Для чего необходимо знать законы арифметических действий? Пригодятся ли они в дальнейшей учёбе, при изучении каких предметов? (Ответы детей.)
– Запишите законы в тетрадь.
4. Закрепление материала
– Откройте учебник и найдите № 212 (а, б, д) устно.
№ 212 (в, г, ж, з) письменно на доске и в тетрадях. (Проверка).
– Устно работаем над № 214.
– Выполняем задачу № 215. Какой закон используется при решении данного номера? (Ответы детей).
– Запишите на карточке ответ и сравните ваши результаты с соседом по парте. А теперь внимание на экран. (11 слайд). (Проверка самостоятельной работы).
6. Итог урока
– Внимание на экран. (12 слайд). Закончите предложение.
Оценки за урок.
7. Домашнее задание
§13, № 227, 229.
8. Рефлексия
