«Мир тригонометрии. Из истории тригонометрии Историческая справка о развитии тригонометрии

Введение . 3

Индия (IV-XV в.в.) 9

Европа (XII-XV в.в.) 15

Новое время (XVI-XVII в.в.) 17

Заключение . 27

Литература. 28

Введение

Слово «Тригонометрия» (от греческих слов «тригонон»- треугольник и «метрио»- измеряю) означает «измерение треугольников» .

Тригонометрия как наука о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур возникла более двух тысячелетий назад. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобилось ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц.

Полагают, что у истоков создания тригонометрии стоят древние астрономы. Немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, и в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности . Особенно полезными тригонометрические функции оказались при изучении колебательных процессов; на них основан также гармонический анализ функций и другие инструменты анализа. Томас Пейн в своей книге «Век Разума» (1794) назвал тригонометрию «душой науки» .

Истории тригонометрии посвящен ряд трудов отечественных и зарубежных ученых.

В XVIII-XIX веках труды по истории математики и астрономии значительное внимание уделяли и истории тригонометрии (Ж. Э. Монтукла, Ж. Б. Ж. Деламбр, Г. Ганкель, П. Таннери и другие). В 1900 году немецкий историк математики Антон фон Браунмюль опубликовал первую монографию в двух томах, специально посвящённую истории тригонометрии. В XX веке крупные работы по этой теме опубликовали И. Г. Цейтен, М. Б. Кантор, О. Нейгебауэр, Б. А. Розенфельд, Г. П. Матвиевская и другие.

Рассмотрим развитие тригонометрии разные исторические периоды: в древнем Египте и Вавилоне (от 2000 до 200 г. до н.э.), в античной Греции (VI- III вв до н.э.), в Индии (IV- XV в.в.), в Средней Азии и на Ближнем Востоке (VIII–XV в.в.), в Европе (XII-XV в.в.), а также в новое время (XVI-XVIII в.в.) и в современный период (XIX-XXI в.в.).

Древний Египет и Вавилон (от 2000 до 200 г. до н.э.)

Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего Египта, Вавилона и древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания - 360 локтей .

От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. э.). За единицу принят угол, равный части угла, соответствующего полному обороту одной стороны угла около его вершины.

Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая: вписанный угол, опирающийся на диаметр круга - прямой . Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э. Вполне возможно, что китайцы открыли его независимо (см. «Математика в девяти книгах»); неясно, знали ли общую формулировку теоремы древние египтяне, но прямоугольный «египетский треугольник» со сторонами 3, 4 и 5 был там хорошо известен и широко использовался.

Античная Греция (VI- III в.в. до н.э.)

Общее и логически связное изложение тригонометрических соотношений появилось в древнегреческой геометрии . Греческие математики ещё не выделяли тригонометрию как отдельную науку - для них она была частью астрономии .

Древнегреческие астрономы употребляли таблицы, в которых давались величины хорд, соответствующих данным углам. Хорды (как и дуги) измерялись градусами, минутами и секундами, при этом один градус составлял обычно шестидесятую часть радиуса.

Несколько теорем тригонометрического характера содержат «Начала» Евклида (IV век до н. э.). В первой книге «Начал» теоремы 18 и 19 устанавливают, что большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол - и обратно, большему углу соответствует бо́льшая сторона. Теоремы 20 и 22 формулируют «неравенство треугольника»: из трёх отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда длина каждого меньше суммы длин двух других. Теорема 32 доказывает, что сумма углов треугольника равна 180°.

Во второй книге «Начал» теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов

Следующая за ней теорема 13 - вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее .

Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры. Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения.

Основным достижением античной тригонометрической теории стало решение в общем виде задачи «решения треугольников», то есть нахождения неизвестных элементов треугольника, исходя из трёх заданных его элементов (из которых хотя бы один является стороной). Впоследствии эта задача и её обобщения стали основной задачей тригонометрии: заданы несколько (обычно три) известных элементов треугольника, требуется найти остальные связанные с ним величины. Первоначально в число элементов треугольника (известных или неизвестных) включали стороны и углы при вершинах, позже к ним добавились медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанной или описанной окружности, положение центра тяжести и т. д. Прикладные тригонометрические задачи отличаются большим разнообразием - например, могут быть заданы измеримые на практике результаты действий над перечисленными величинами (к примеру, сумма углов или отношение длин сторон).

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей - системы небесных координат, теории картографических проекций, технологии астрономических приборов (в частности, была изобретена астролябия ).

Историки не пришли к консенсусу насчёт степени развития у античных греков геометрии небесной сферы. Некоторые исследователи приводят доводы, что эклиптическая или экваториальная система координат использовалась для записи результатов астрономических наблюдений по меньшей мере уже во времена Гиппарха. Возможно, тогда были известны и некоторые теоремы сферической тригонометрии, которые могли использоваться для составления звёздных каталогов и в геодезии.

Первые известные нам труды по «Сферике» (то есть сферической геометрии, с ясным астрономическим уклоном) написали : (IV век до н. э.) Автолик из Питаны и Евклид («Феномены»); (II век до н. э.) Феодосий и Гипсикл.

Некоторые разобранные в этих сочинениях задачи носят тригонометрический характер, однако из-за слабой разработанности теории авторы ещё применяют обходные пути. Например, задачу «найти время полного восхода (захода) зодиакального созвездия» Гипсикл решает приближённо с помощью многоугольных чисел .

Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). Историки считают, что подход Менелая во многом опирается на труды Феодосия, которые у Менелая существенно расширены и приведены в систему. По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов . Менелай доказал теорему, для которой у Евклида нет плоского аналога: два сферических треугольника конгруэнтны (совместимы), если соответствующие углы равны. Другая его теорема утверждает, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°.

Вторая книга «Сферики» излагает применение сферической геометрии к астрономии. Третья книга содержит важную для практической астрономии теорему Менелая, известную как «правило шести величин». Две другие открытые Менелаем фундаментальные теоремы впоследствии получили названия «правило четырёх величин» и «правило тангенсов» .

Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.

Сферической геометрии Птолемей посвятил также XIII главу в первой книге «Альмагеста»; в отличие от Менелая, Птолемей не привёл доказательств многих утверждений, но зато уделил много внимания алгоритмам, пригодным для практических вычислений в астрономии.

Индия (IV-XV в.в.)

В IV веке, после гибели античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.

В первую очередь индийцы изменили некоторые концепции тригонометрии, приблизив их к современным. Индийцы заимствовали через греков вавилонское градусное измерение дуг, но вместо хорд они измеряли линии синусов и косинусов в прямоугольном треугольнике. Тем самым в Индии было положено начало тригонометрии как общему учению о соотношениях в треугольнике, хотя, в отличие от греческих хорд, индийский подход ограничивался только функциями острого угла .

Индийцы вначале называли синус «ардхаджива», т.е. половина хорды («джива» – хорда, тетива лука), а позже – просто «джива». Это слово было, как полагают, искажено арабами в «джайб», обозначающее по-арабски пазуха, выпуклость. Слово «джайб» было переведено в XII в. на латынь соответствующим словом sinus. Косинус индийцы называли «котиджива», т.е. синус остатка (до четверти окружности).

Синус индийцы определяли несколько иначе, чем в современной математике: под синусом понималась длина отрезка AD, опирающегося на дугу AC окружности радиуса R= 3438 единиц (как у Гиппарха). Таким образом, «индийский синус» угла в 3438 раз больше современного синуса и имел размерность длины . Из этого правила были исключения, например, Брахмагупта по неясным причинам принял радиус равным 3270 единиц.

Как и у греков, тригонометрия индийцев развивалась главным образом в связи с её астрономическими приложениями, в основном для использования в теории движения планет и для изучения небесной сферы. Это свидетельствует о хорошем знании сферической тригонометрии «Альмагеста» и «Аналеммы», однако ни одной их собственной работы, развивающей теорию этого раздела тригонометрии, не обнаружено. Тем не менее, в разработке прикладных алгоритмов решения астрономических задач индийцы достигли больших успехов. Например, в «Панча-сиддхантике» Варахамихиры (VII в.) даётся оригинальное решение астрономической задачи, описанной у Птолемея: найти высоту Солнца над горизонтом, если известны широта местности, склонение Солнца и его часовой угол. Автор для решения применяет аналог теоремы косинусов, он же впервые привёл формулу для синуса половинного угла .

Для астрономических расчётов был составлен ряд тригонометрических таблиц. Первые (четырёхзначные) таблицы синусов приведены в древней «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты («Ариабхатия», V век). Таблицы Ариабхаты содержат 24 значения синусов и синус-верзусов с интервалом 3°45′ (половина шага таблиц у Гиппарха).

Важный вклад в развитие тригонометрии внес Брахмагупта (VII в.), открывший несколько тригонометрических соотношений, в том числе и те, которые в современной записи приняли вид:

Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов, для. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась. Историки нашли в индийских трудах неявное использование тангенсов, но важность этого понятия была осознана только позже, математиками исламских стран.

В трудах другого выдающегося ученого, Бхаскары II (XII век), приводятся формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов:

а также формула для малого приращения синуса:

(при), соответствующая современному выражению для дифференциала синуса. Опираясь на формулу синуса суммы, Бхаскара опубликовал более точные и подробные, чем у Ариабхаты, тригонометрические таблицы с шагом 1°.

В XI веке мусульмане (Махмуд Газневи) захватили и разорили Северную Индию. Культурные центры переместились в Южную Индию, где образуется так называемая «школа Керала» (англ.)русск. (по названию современного штата Керала на юге Индии). В XV-XVI веках математики Кералы в ходе астрономических исследований добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов, в том числе для тригонометрических функций. В анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды, восходящие, вероятно, к основателю этой школы астроному Мадхаве из Сангамаграмы (1-я половина XV века). Мадхава и его последователь Нилаканта приводят также правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд.

В Европе к подобным результатам подошли лишь в XVII-XVIII веках. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 года, а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 году и Г. В. Лейбницем в 1673 году.

Средняя Азия и Ближний Восток (VIII–XV в.в.)

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Переводом их на арабский язык занимались такие крупные учёные VIII века, как Ибрахим Ал-Фазари и Якуб ибн Тарик. Далее они и их последователи стали активно комментировать и развивать эти теории. Опорной конструкцией у исламских учёных, как и у индийцев, был синус в треугольнике, или, что то же самое, полухорда в круге.

Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории. Сравнение зиджей периода VIII-XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Предметом особого внимания ученых стран ислама была сферическая тригонометрия, методы которой использовались для решения задач астрономии и геодезии . Среди основных решаемых проблем были следующие.

Точное определение времени суток, вычисление будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны, нахождение географических координат текущего места, вычисление расстояния между городами с известными географическими координатами, определение направления на Мекку из заданного места.

Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Изначально эти функции определялись иначе, чем в современной математике. Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномона высотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта солнечных часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников. Лишь в X веке философ и математик ал-Фараби в своих комментариях к «Альмагесту» ввёл независимые от гномоники определения этих четырёх функций, определив их через синус и косинус в тригонометрическом круге птолемеевского радиуса (60 единиц). Основные соотношения между всеми шестью функциями привёл ал-Баттани в том же столетии. Окончательной унификации добился Абу-л-Вафа во второй половине X века, который впервые использовал для определения тригонометрических функций круг единичного радиуса, как это делается в современной математике.

Происхождение названий тангенса и секанса связано с геометрическим их представлением в виде отрезков прямых. Латинское слово tangens означает «касающийся» (отрезок касательной), secans – секущий (отрезок секущей). Термины «котангенс» и «косеканс» были образованы по аналогии с термином «косинус». Все эти три термина вырабатывались на протяжении веков и вошли во всеобщее употребление в первой половине XVII в.

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника.

Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения. Вероятно, поэтому Региомонтан, впервые давший общую формулировку этой важного соотношения (XV век), назвал его «теоремой Альбатегния» (так тогда в Европе называли ал-Баттани) .

Ибн Юнис (X век) открыл преобразование произведения тригонометрических функций в сумму, например:

Формулы преобразования позволяли заменить трудоёмкое умножение на более простое сложение или вычитание. Впоследствии в Европе эти же формулы использовали для противоположной цели - замены сложения и вычитания на умножение, чтобы затем для вычисления результата применить логарифмические таблицы.

Одной из важнейших задач науки того времени являлось составление тригонометрических таблиц с как можно меньшим шагом. В IX веке ал-Хорезми составил таблицы синусов с шагом 1°, его современник Хаббаш аль-Хасиб (ал-Марвази) добавил к ним первые таблицы тангенсов, котангенсов и косекансов (с тем же шагом). В начале X века ал-Баттани опубликовал таблицы с шагом 30′, в конце того же столетия Ибн Юнис составил таблицы с шагом 1′. При составлении таблиц ключевым было вычисление значения. Искусные методы для вычисления этой величины изобрели Ибн Юнис, Абу-л-Вафа, ал-Бируни. Наибольшего успеха добился в XV веке ал-Каши; в одной из своих работ он подсчитал, что (все знаки верны). В составленных при его участии «Астрономических таблицах» Самаркандской обсерватории Улугбека таблицы синусов вычислены с шестью шестидесятеричными знаками, с шагом 1′. Султан Улугбек лично участвовал в этой работе: он написал специальный трактат о вычислении синуса угла в 1°.

Первым специализированным трактатом по тригонометрии было сочинение среднеазиатского учёного ал-Бируни (X-XI век) «Книга ключей науки астрономии» (995-996 годы). Целый курс тригонометрии содержал главный труд ал-Бируни - «Канон Мас‘уда» (книга III). В дополнение к таблицам синусов (с шагом 15′) Ал-Бируни дал таблицы тангенсов (с шагом 1°). Идеологически труды Бируни близки к птолемеевским - на языке хорд он формулирует теоремы о синусе удвоенного и половинного угла, синусе суммы и разности углов . Среди приложений книга Ал-Бируни показывает построение правильного вписанного девятиугольника и приближённое вычисление длины его стороны; этот алгоритм он использует для нахождения. В другом труде, «Геодезия», Бируни сообщил результаты собственных измерений длины земного меридиана, из которых следует оценка радиуса Земли, близкая к истинной (в пересчёте к метрической системе, Бируни получил 6340 км).

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси - например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам. Приведена теорема тангенсов для сферических треугольников, описано важное понятие полярного треугольника (впервые использованное в XI веке Ибн Ираком и ал-Джайяни). Сочинение ат-Туси стало широко известно в Европе и существенно повлияло на развитие тригонометрии.

Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, составляющие содержание тригонометрии: выражение любой тригонометрической функции через любую другую; формулы для синусов и косинусов кратных и половинных углов, а также для суммы и разности углов; теоремы синусов и косинусов; решение плоских и сферических треугольников.

Из-за отсутствия алгебраической символики все перечисленные теоремы выражались в громоздкой словесной форме, но по существу были полностью эквивалентны современному их пониманию.

Европа (XII-XV в.в.)

После того как арабские трактаты были в XII-XIII веках переведены на латынь, многие идеи индийских и персидских математиков стали достоянием европейской науки. По всей видимости, первое знакомство европейцев с тригонометрией состоялось благодаря зиджу ал-Хорезми, два перевода которого были выполнены в XII веке. Первоначально сведения о тригонометрии (правила её использования, таблицы некоторых тригонометрических функций) приводились в сочинениях по астрономии, однако в сочинении Фибоначчи «Практика геометрии», написанном около 1220 года, тригонометрия излагается как часть геометрии. Первым европейским сочинением, целиком посвященным тригонометрии, часто называют «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома Ричарда Уоллингфордского (около 1320 г.). Книга содержит доказательство ряда тригонометрических тождеств и оригинальный метод вычисления синусов. Примерно в те же годы был написан трактат еврейского математика Леви бен Гершома (Герсонида) «О синусах, хордах и дугах», переведённый на латинский язык в 1342 году. Книга содержит доказательство теоремы синусов и пятизначные таблицы синусов. Тригонометрия затрагивается в «Теоретической геометрии» английского математика Томаса Брадвардина (написана в первой половине XIV в., опубликована в 1495 году). Тригонометрические таблицы, чаще переводные с арабского, но иногда и оригинальные, содержатся в сочинениях ряда других авторов XIV-XV веков. Тогда же тригонометрия заняла место среди университетских курсов.

Крупным достижением стала монография Региомонтана «Пять книг о треугольниках всех видов» (опубл. 1462-1464), в которой были сведены все известные к этому моменту знания по плоской и сферической тригонометрии и приложены семизначные таблицы синусов (с шагом 1′) и тангенсов (с шагом 1°). Немаловажно и то, что в таблицах Региомонтана, в нарушение астрономической традиции, впервые использовалась десятичная система (а не архаичная шестидесятеричная). Радиус тригонометрического круга Региомонтан принял равным, чтобы табличные значения были представлены целыми числами (десятичные дроби вошли в обиход несколько позднее, причём мощным стимулом к их применению стали именно тригонометрические вычисления).

По сравнению с трактатом ат-Туси сочинение Региомонтана существенно полнее, оно содержит ряд новых задач, решённых оригинальными методами. Например, показывается, как построить треугольник, если известны одна его сторона, длина опущенной на неё высоты и противолежащий угол .

Новое время (XVI-XVII в.в.)

Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не только для астрономии и астрологии, но и для других приложений, в первую очередь артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. Поэтому после XVI века этой темой занимались многие выдающиеся учёные, в том числе Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Франсуа Виет. Коперник посвятил тригонометрии две главы в своём трактате «О вращении небесных сфер» (1543). Вскоре (1551) появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10". Кеплер опубликовал труд «Оптическая часть астрономии» (1604).

Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера - эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера».

Термин «тригонометрия» как название математической дисциплины ввёл в употребление немецкий математик Б. Питискус, опубликовавший в 1595 году книгу «Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о решении треугольников» (лат. Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus). К концу XVII века появились современные названия тригонометрических функций. Термин «синус» впервые употребил около 1145 года английский математик и арабист Роберт Честерский. Региомонтан в своей книге назвал косинус «синусом дополнения» (лат. sinus complementi), поскольку; его последователи в XVII веке сократили это обозначение до co-sinus (Эдмунд Гунтер), а позднее - до cos (Уильям Отред). Названия тангенса и секанса предложил в 1583 году датский математик Томас Финке, а упомянутый выше Эдмунд Гунтер ввёл названия котангенса и косеканса. Термин «тригонометрические функции» впервые употребил в своей «Аналитической тригонометрии» (1770) Георг Симон Клюгель .

Томас Финке предложил оригинальное решение геодезической задачи: найти углы треугольника, если известна их сумма и отношение противолежащих сторон. Для решения Финке использовал формулу Региомонтана:

Виет в первой части своего «Математического канона» (1579) поместил разнообразные таблицы, в том числе тригонометрические, а во второй части дал обстоятельное и систематическое, хотя и без доказательств, изложение плоской и сферической тригонометрии. В 1593 году Виет подготовил расширенное издание этого капитального труда. «Несомненно, что самый интерес его к алгебре первоначально был вызван возможностью приложений к тригонометрии и астрономии». Другой важной заслугой Виета стало применение в тригонометрии разработанной им общей алгебраической символики; если ранее решение задачи понималось как геометрическое построение, то начиная с работ Виета приоритет начинает переходить к алгебраическим вычислениям. Появление символики позволило записать в компактном и общем виде тригонометрические тождества - например, формулы для кратных углов:

Надо оговориться, что сам Виет ещё дал эти формулы частично в словесном описании, но при этом ясно указал на связь коэффициентов формул с биномиальными коэффициентами и привёл таблицу их значений для небольших значений.

Из других достижений Виета: в работе «Дополнение к геометрии» Виет указал тригонометрический способ решения кубического уравнения для самого трудного в тот период - неприводимого - случая (стандартная формула требует умения работать с корнями из комплексных чисел). Виет дал первое в истории бесконечное произведение:

Кроме артиллерии и навигации, тригонометрия быстро развивалась и в таких классических областях её применения, как геодезия. Широкое применение тангенсов объяснялось, в частности, простотой измерения с их помощью высоты горы или здания (см. рисунок):

В 1615 году Снеллиус нашёл решение «задачи Снеллиуса-Потенота»: найти точку, из которой стороны данного (плоского) треугольника видны под заданными углами. Он открыл закон преломления света: для заданных исходной и преломляющей среды отношение синусов угла падения и угла преломления постоянно. Тем самым Снеллиус открыл дорогу новым применениям тригонометрических функций в оптике, а изобретение в эти же годы первых телескопов придало этому открытию особую важность.

Первый график синусоиды появился в книге Альбрехта Дюрера «Руководство к измерению циркулем и линейкой» (нем. Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, 1525 год). В 1630-х годах Жиль Роберваль, в ходе своих исследований циклоиды, независимо вычертил синусоиду, он же опубликовал формулу тангенса двойного угла. Джон Валлис в своей «Механике» (1670), опередив своё время, правильно указал знаки синуса во всех квадрантах и указал, что у синусоиды бесконечно много «оборотов». График тангенса для первого квадранта впервые начертил Джеймс Грегори (1668).

Во второй половине XVII века началось стремительное развитие общей теории квадратур (то есть вычисления площади), завершившееся появлением в конце века математического анализа. Для тригонометрических функций важные результаты в начале этого периода получил Блез Паскаль (опубликованы в его книге «Письма А. Деттонвилля о некоторых его геометрических открытиях», 1659 год). В современной терминологии, Паскаль вычислил интегралы от натуральных степеней синуса и косинуса и некоторые связанные с ними, а также отметил, что. Работы в области тригонометрии проводили такие крупные математики XVII века, как Отред, Гюйгенс, Озанам, Валлис. Заметным процессом во второй половине XVII века стала постепенная алгебраизация тригонометрии, совершенствование и упрощение её символики (хотя до Эйлера символика была всё же гораздо более громоздка, чем современная).

После открытия математического анализа сначала Джеймс Грегори, а затем Исаак Ньютон получили разложение тригонометрических функций (а также обратных к ним) в бесконечные ряды. Ньютон посвятил проблемам геометрии и тригонометрии 10 задач в своей книге «Универсальная арифметика». Например, в задаче X требуется «решить треугольник», если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон. Предложенный Ньютоном метод решения представляет собой одну из формул Мольвейде .

Лейбниц строго доказал, что не может быть, вообще говоря, алгебраически выражен через, то есть, в современной терминологии, тригонометрические функции трансцендентны.

Важными открытиями в начале XVIII века стали:

Открытие и широкое распространение радианной меры углов (Роджер Котс, 1714). Сам термин «радиан» появился позднее, его в 1873 году предложил английский инженер Джеймс Томсон.

Тригонометрическое представление комплексного числа и формула Муавра.

Начало использования (Ньютон и Грегори) полярной системы координат, связанной с декартовой тригонометрическими соотношениями; в общее употребление эти координаты ввёл Эйлер (1748).

В 1706 году швейцарский математик Якоб Герман опубликовал формулы для тангенса суммы и тангенса кратных углов, а Иоганн Ламберт в 1765 году нашёл чрезвычайно полезные формулы, выражающие разные тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Исследуя гиперболические функции (1761), Ламберт показал, что их свойства аналогичны свойствам тригонометрических; причину этого ещё в 1707 году обнаружил Муавр: при замене вещественного аргумента на мнимый круг переходит в гиперболу, а тригонометрические функции - в соответствующие гиперболические.

Немецкий математик Фридрих Вильгельм фон Оппель в книге «Анализ треугольников» (1746) опубликовал в современной записи обе формулы Мольвейде.

В книге «Полигонометрия» (1789) Симон Люилье обобщил тригонометрические соотношения для треугольников, дав их аналоги для произвольных многоугольников, включая пространственные. В работах на эту тему Люилье привёл основную теорему полигонометрии: площадь каждой грани многогранника равна сумме произведений площадей остальных граней на косинусы углов, образуемых ими с первой гранью. Он рассмотрел способы «решения многоугольников» с сторонами при различных постановках задачи: заданы сторона и угла, или все углы и стороны, или все стороны и угла.

В 1798 году Лежандр доказал, что если размеры сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы, то при решении тригонометрических задач можно применять формулы плоской тригонометрии, вычтя при этом из каждого угла треть сферического избытка .

Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью приставки arc (от лат. arcus - дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера (Karl Scherffer, 1716-1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: , но они не прижились.

Современный вид тригонометрии придал Леонард Эйлер. В трактате «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал определение тригонометрических функций, эквивалентное современному, и соответственно определил обратные функции. Если его предшественники понимали синус и прочие понятия геометрически, то есть как линии в круге или треугольнике, то после работ Эйлера и т. д. стали рассматриваться как безразмерные аналитические функции действительного и комплексного переменного. Для комплексного случая он установил связь тригонометрических функций с показательной функцией (формула Эйлера). Подход Эйлера с этих пор стал общепризнанным и вошёл в учебники.

Эйлер рассматривал как допустимые отрицательные углы и углы, большие 360°, что позволило определить тригонометрические функции на всей вещественной числовой прямой, а затем продолжить их на комплексную плоскость. Когда встал вопрос о распространении тригонометрических функций на тупые углы, знаки этих функций до Эйлера нередко выбирались ошибочно; многие математики считали, например, косинус и тангенс тупого угла положительными. Эйлер определил эти знаки для углов в разных координатных квадрантах, исходя из формул приведения.

Эйлер впервые представил разложение тригонометрических функций в бесконечные произведения (1734), откуда вывел ряды для их логарифмов.

В других трудах, в первую очередь «Основания сферической тригонометрии, выведенные из метода максимумов и минимумов» (1753) и «Всеобщая сферическая тригонометрия, кратко и ясно выведенная из первых оснований» (1779), Эйлер впервые дал полное систематическое изложение сферической тригонометрии на аналитическом основании, причём многие крупные результаты принадлежат самому Эйлеру.

В середине XVIII века разгорелся важнейший по своим последствиям «спор о струне». Эйлер в полемике с Даламбером предложил более общее определение функции, чем принималось ранее; в частности, функция может быть задана тригонометрическим рядом. В своих трудах Эйлер использовал несколько представлений алгебраических функций в виде ряда из кратных аргументов тригонометрических функций, например:

Общей теорией тригонометрических рядов Эйлер не занимался и сходимость полученных рядов не исследовал, но получил несколько важных результатов. В частности, он вывел разложения целых степеней синуса и косинуса.

Тригонометрия в России

В России первые сведения о тригонометрии были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л. Ф. Магницкого в 1703 году. В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии. Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика М. Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).

В конце XVIII века в Петербурге возникла авторитетная тригонометрическая школа (А. И. Лексель, Н. И. Фусс, Ф. И. Шуберт), которая внесла большой вклад в плоскую и сферическую тригонометрию.

Современный период (XIX-XXI в.в.)

В начале XIX века Н. И. Лобачевский добавил к плоской и сферической тригонометрии третий раздел - гиперболическую (для геометрии Лобачевского, первую работу в этой области опубликовал Ф. А. Тауринус в 1826 году). Лобачевский показал, что формулы сферической тригонометрии переходят в формулы гиперболической тригонометрии при замене длин сторон треугольника a, b, c на мнимые величины: ai, bi, ci - или, что эквивалентно, при замене тригонометрических функций на соответствующие гиперболические.

В XIX-XX веках бурное развитие получили теория тригонометрических рядов и связанные с ней области математики: гармонический анализ, теория случайных процессов, кодирование аудио и видеоинформации и другие. Ещё Даниил Бернулли высказал убеждение, что любую (непрерывную) функцию на заданном промежутке можно представить тригонометрическим рядом. Дискуссии продолжались до 1807 года, когда Фурье опубликовал теорию представления произвольных кусочно-аналитических функций тригонометрическими рядами (окончательный вариант содержится в его «Аналитической теории тепла», 1822). Для разложения функции в ряд:

Фурье привёл интегральные формулы расчёта коэффициентов:

Изложение Фурье не было строгим в современном понимании, но уже содержало исследование сходимости большинства полученных им рядов. Для функций, заданных на всей числовой прямой и не являющихся периодическими, Фурье предложил разложение в интеграл Фурье.

Универсальность и эффективность методов анализа Фурье произвели большое впечатление на научный мир. Если ранее тригонометрические ряды использовались в математической физике преимущественно для изучения периодических процессов (колебания струны, небесная механика, движение маятника и т. п.), то в труде Фурье исследовались процессы совсем иного рода (теплопередача), и тригонометрические ряды помогли получить ценные практические результаты. С этого момента тригонометрические ряды и интегралы стали мощным инструментом анализа разнообразных функций. Результаты Фурье продолжили и углубили Пуассон и Коши, вопрос сходимости рядов детально исследовали Дирихле и другие математики. Риман в своей диссертации исследовал произвольные тригонометрические ряды, не обязательно связанные с разложением какой-либо функции (1853), сформулировал для них «принцип локализации». Вопрос о представимости произвольной измеримой и конечной почти всюду функции тригонометрическим рядом (который не обязательно совпадает с её рядом Фурье) был решён в 1941 году теоремой Меньшова.

Исследуя множества особых точек для тригонометрических рядов, Георг Кантор разработал фундаментальную для всей математики теорию множеств. Огромное влияние теория тригонометрических рядов оказала на развитие комплексного анализа, математической физики, электроники и многих других разделов науки. Теория функций вещественного переменного, теория меры и интеграл Лебега появились и далее развивались в тесной связи с теорией тригонометрических рядов. Важные практические применения имеет приближение функций конечными тригонометрическими полиномами (используемое также для интерполирования).

Заключение

В настоящем реферате рассмотрено развитие тригонометрии в различные исторические периоды: в древнем Египте и Вавилоне (от 2000 до 200 г. до н.э.), в античной Греции (VI- III в.в. до н.э.), в Индии (IV- XV в.в.), в Средней Азии и на Ближнем Востоке (VIII–XV в.в.), в Европе (XII-XV в.в.), а также развитие тригонометрии в новое время (XVI-XVIII в.в.) и в современный период (XIX-XXI в.в.).

Образование и развитие тригонометрии как науки во многом обязано познанию человечеством окружающего мира, а также религиозными потребностями, развитием математики и другими факторами.

Современное развитие тригонометрии обусловлено потребностями для развития техники и средств обработки информации.

Литература

1 Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука, 1978. - С. 266-268.

2 Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. - СПб.: ЛКИ, 2008. - 248 с. - ISBN 978-5-382-00839-4.

3 Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. - М.: ГИФМЛ, 1959.

4 Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1982. - С. 76-95. - 240 с.

5 Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. - Изд. 2-е. - М.: Либроком, 2012. - 160 с.

6 Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. - М.: Просвещение, 1976. - 318 с.

7 Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1978. - 95 с.

8 Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. - М.-Л.: ГТТИ, 1932. - 230 с.

9 Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. - М.: ГИФМЛ, 1960. - 468 с.

10 Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. - М.-Л.: ГТТИ, 1932. - 230 с.

11 Рыбников К. А. История математики в двух томах. - М.: Изд. МГУ, 1960. - Т. I.

12 История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

13 История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. - М.: Наука, 1970. - Т. I. - 351 с.

14 Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. - М.: Наука, 1970. - Т. II. - 300 с.

15 Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. - М.: Наука, 1972. - Т. III. - 495 с.

16 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. - Изд. 2-е. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - С. 139-143. - 154 с.

17 Даубен, Джозеф У. Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств // Scientific American, издание на русском языке. - 1983. - Вып. 8 (август). - С. 76–86.

18 Тригонометрический ряд // Математическая энциклопедия (в 5 томах). - М.: Советская Энциклопедия, 1982. - Т. 5.

Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников». Как и все другие разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.

В том, что тригонометрия относится к древним наукам, нас убеждает хотя бы такой факт. Для предсказания момента наступления солнечного или лунного затмения необходимо произвести расчеты, требующие привлечения тригонометрии. Весьма точно предсказывали затмения еще древне-вавилонские ученые. По-видимому, они уже владели элементарными тригонометрическими понятиями.

Первые достоверно засвидетельствованные тригонометрические таблицы были составлены во втором веке до н. э. Их автором был греческий астроном Г и п п а р х. Таблицы эти до нас не дошли, но в усовершенствованном виде они были включены в «Альмагест» («Великое построение») александрийского астронома Птолемея. Таблицы Птолемея подобны таблицам синусов от 0° до 90°, составленным через каждые четверть градуса. В «Альмагесте», в частности, есть формулы для синуса и косинуса суммы двух углов, содержатся также элементы сферической тригонометрии.(Сферическая тригонометрия рассматривает углы и другие фигуры не на плоскости, а на сфере.)

В средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты учеными Средней Азии и Закавказья. В это время к тригонометрии начинают относиться как к самостоятельной науке, не связывая ее, как прежде, с астрономией. Большое внимание уделяется задаче решения треугольников. Одним из самых примечательных сочинений по тригонометрии этого периода является «Трактат о четырехугольнике» Насир Эддина (XIII век). В этом трактате введен ряд новых тригонометрических понятий, по-новому доказаны некоторые уже известные результаты. Основные работы по тригонометрии в Европе были выполнены почти на два столетия позднее. Здесь следует прежде всего отметить немецкого ученого Региомонтана (XV век). Его главное произведение «Пять книг о различного рода треугольниках» содержит достаточно полное изложение основ тригонометрии. От наших нынешних учебников по тригонометрии это сочинение отличается в основном лишь отсутствием удобных современных обозначений. Все теоремы сформулированы словесно. После появления «Пяти книг» Региомонтана тригонометрия окончательно выделилась в самостоятельную науку, не зависящую от астрономии. Региомонтаном составлены также довольно подробные тригонометрические таблицы.

Развитие алгебраической символики и введение в математику отрицательных чисел позволило рассматривать отрицательные углы; появилась возможность рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Развитие математики позволило вычислять значения тригонометрических функций любого числа с любой наперед заданной точностью.

Существенный вклад в развитие тригонометрии внес Эйлер. Им дано современное определение тригонометрических функций и указано на тесную связь этих функций с показательными функциями.

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и пр.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №10

с углубленным изучением отдельных предметов

Проект выполнил:

Павлов Роман

ученик 10б класса

Руководитель:

учитель математики

А

г. Елец, 2012

1.Введение.

3. Мир тригонометрии.

· Тригонометрия в физике.

· Тригонометрия в планиметрии.

· Тригонометрия в искусстве и архитектуре.

· Тригонометрия в медицине и биологии.

3.2 Графические представления о превращении «мало интересных» тригонометрических функций в оригинальные кривые (с помощью компьютерной программы «Функции и графики»).

· Кривые в полярных координатах (Розетки).

· Кривые в декартовых координатах (Кривые Лиссажу).

· Математические орнаменты.

4. Заключение.

5. Список литературы.

Цель проекта - развитие интереса к изучению темы «Тригонометрия» в курсе алгебры и начала анализа через призму прикладного значения изучаемого материала; расширение графических представлений, содержащих тригонометрические функции; применение тригонометрии в таких науках, как физика, биология. Не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.

Объект исследования - тригонометрия

Предмет исследования - прикладная направленность тригонометрии; графики некоторых функций, с использованием тригонометрических формул.

Задачи исследования:

1.Рассмотреть историю возникновения и развития тригонометрии.

2.Показать на конкретных примерах практические приложения тригонометрии в различных науках..

3.Раскрыть на конкретных примерах возможности использования тригонометрических функций, позволяющие «мало интересные» функции превращать в функции, графики которых имеют весьма оригинальный вид.

Гипотеза - предположения : Связь тригонометрии с окружающим миром, значение тригонометрии в решении многих практических задач, графические возможности тригонометрических функций позволяют «материализовать» знания школьников. Это позволяет лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых при изучении тригонометрии, повышает интерес к изучению данной темы.

Методы исследования - анализ математической литературы по данной теме; отбор конкретных задач прикладного характера по данной теме; компьютерное моделирование на основе компьютерной программы. Открытая математика «Функции и графики» (Физикон).

1. Введение

« Одно осталось ясно, что мир устроен

грозно и прекрасно».

Н. Рубцов

Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. Значительную роль в развитии навыков применения на практике теоретических знаний, полученных при изучении математики, играют задачи с практическим содержанием. Каждого изучающего математику, интересует как и где применяются полученные знания. Ответ на этот вопрос и дает данная работа.

2.История развития тригонометрии.

Слово тригонометрия составилось из двух греческих слов: τρίγονον (тригонон-треугольник) и и μετρειν (метрейн - измерять) в буквальном переводе означает измерение треугольников .

Именно эта задача - измерение треугольников или, как принято теперь говорить, решение треугольников, т. е. определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам (стороне и двум углам, двум сторонам и углу или трем сторонам)- с древнейших времен составляла основу практических приложений тригонометрии.

Как и всякая другая наука, тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач. Первые этапы развития тригонометрии тесно связаны с развитием астрономии . Большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрии оказали потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил. Значительную роль в развитии тригонометрии сыграла потребность в составлении географических карт и тесно связанная с этим необходимость правильного определения больших расстояний на земной поверхности.

Основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения имели работы древнегреческого астронома Гиппарха (середина II века до н. э.). Тригонометрия как наука, в современном смысле этого слова не было не только у Гиппарха, но и у других ученых древности, так как они еще не имели понятия о функциях углов и даже не ставили в общем виде вопроса о зависимости между углами и сторонами треугольника. Но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. При этом основным средством получения нужных результатов было умение вычислять длины круговых хорд на основании известных соотношений между сторонами правильных трех-, четырех-, пяти - и десятиугольника и радиусом описанного круга.

Гиппарх составил первые таблицы хорд, т. е. таблицы, выражающие длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса. Это были, по существу, таблицы двойных синусов половины центрального угла. Впрочем, оригинальные таблицы Гиппарха(как и почти все им написанное) до нас не дошли, и мы можем составить себе о них представление главным образом по сочинению « Великое построение» или (в арабском переводе) « Альмагест» знаменитого астронома Клавдия Птолемея , жившего в середине II века н. э.

Птолемей делил окружность на 360 градусов, а диаметр - на 120 частей. Он считал радиус равным 60 частям(60¢¢). Каждую из частей он делил на 60¢, каждую минуту на 60¢¢,секунду на 60 терций (60¢¢¢) и т. д., применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиугольника или хорду, стягивающую дугу в 60° в виде 60 частей радиуса(60ч), а сторону вписанного квадрата или хорду в 90° приравнивал числу 84ч51¢10².Хорду в 120°- сторону вписанного равностороннего треугольника - он выражал числом 103ч55¢23² и т. д. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, он записывал на основании теоремы Пифагора: (хорда a)2+(хорда|180-a|)2=(диаметру)2, что соответствует современной формуле sin2a+cos2a=1.

«Альмагест» содержит таблицу хорд через полградуса от 0° до 180°, которая с нашей современной точки зрения представляет таблицу синусов для углов от 0° до 90° через каждые четверть градуса.

В основе всех тригонометрических вычислений у греков лежала известная еще Гиппарху теорема Птолемея: «прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противолежащих сторонах» (т. е. произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон). Пользуясь этой теоремой, греки умели (с помощью теоремы Пифагора) по хордам двух углов вычислить хорду суммы (или хорду разности) этих углов или хорду половины данного угла, т. е. умели получать результаты, которые мы получаем теперь по формулам синуса суммы(или разности) двух углов или половины угла.

Новые шаги в развитии тригонометрии связаны с развитием математической культуры народов Индии, Средней Азии и Европы (V- XII) .

Важный шаг вперед в период с V по XII век был сделан индусами, которые в отличие от греков стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ¢(см. чертеж) соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. то, что мы теперь называем линией синуса a- половины центрального угла.

Наряду с синусом индусы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. (Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в. из так называемого « синуса дополнения», т. е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90°. «Синус дополнения» или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus).

Им были известны также соотношения cosa=sin(90°-a) и sin2a+cos2a=r2 , а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.

Следующий этап в развитии тригонометрии связан со странами

Средней Азии, Ближнего Востока, Закавказья(VII- XV в.)

Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный « вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии, причем тригонометрия сформировалась в особую математическую дисциплину в значительной мере именно в трудах среднеазиатских ученых. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индусам.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> =a×ctgj шеста определенной длины (а=12) для j=1°,2°,3°……

Абу-ль-Вафа из Хоросана, живший в Х веке (940-998) , составил аналогичную «таблицу тангенсов», т. е. вычислил длину тени b=a×=a×tgj, отбрасываемой горизонтальным шестом определенной длины (а=60) на вертикальную стену (см. чертеж).

Следует отметить, что сами термины « тангенс» (в буквальном переводе - «касающийся») и «котангенс» произошли из латинского языка и появились в Европе значительно позднее (XVI-XVIIвв.). Среднеазиатские же ученые называли соответствующие линии «тенями»: котангенс-«первой тенью», тангенс - «второй тенью».

Абу-ль-Вафа дал совершенно точное геометрическое определение линии тангенса в тригонометрическом круге и присоединил к линиям тангенса и котангенса линии секанса и косеканса. Он же выразил (словесно) алгебраические зависимости между всеми тригонометрическими функциями и, в частности, для случая, когда радиус круга равен единице. Этот чрезвычайно важный случай был рассмотрен европейскими учеными на 300 лет позднее. Наконец, Абу-ль-Вафа составил таблицу синусов через каждые 10¢.

В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес.

Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси ().

Впервые в европейской науке стройное изложение тригонометрии дано в книге « О треугольниках разных родов» ,написанной Иоганном Мюллером , более известным в математике под именем Региомонтана(). Он обобщает в ней методы решения прямоугольных треугольников и дает таблицы синусов с точностью до 0,0000001. При этом замечательно то, что он полагал радиус круга равнымили, т. е. выразил значения тригонометрических функций в десятичных дробях, перейдя фактически от шестидесятиричной системы счисления к десятичной.

Английский ученый XIV века Брадвардин () первый в Европе ввел в тригонометрические вычисления котангенс под названием «прямой тени» и тангенс под названием «обратной тени».

На пороге XVIIв. В развитии тригонометрии намечается новое направление- аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математического анализа. О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет , первые математические исследования которого относились к тригонометрии.

Швейцарский математик Иоганн Бернулли () уже применял символы тригонометрических функций.

В первой половине XIXв. французский ученый Ж. Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено в виде суммы простых гармонических колебаний.

Огромное значение в истории тригонометрии имело творчество знаменитого петербургского академика Леонарда Эйлера(), он придал всей тригонометрии современный вид.

В своем труде «Введение в анализ»(1748 г.) Эйлер разработал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях, дал ей аналитическое изложение, выведя всю совокупность тригонометрических формул из немногих основных формул.

Эйлеру принадлежит окончательное решение вопроса о знаках тригонометрических функций во всех четвертях круга, вывод формул приведения для общих случаев.

Введя в математику новые функции - тригонометрические, стало целесообразным поставить вопрос о разложении этих функций в бесконечный ряд. Оказывается, такие разложения возможны:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Эти ряды позволяют значительно облегчить составление таблиц тригонометрических величин и для нахождения их с любой степени точности.

Аналитическое построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, было завершено в работах , Гаусса, Коши, Фурье и других.

« Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций…Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях - является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть - решение треугольников - рассматривается как глава геометрии.

3.Мир тригонометрии.

3.1 Применение тригонометрии в различных науках.

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.

Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Следует отметить применение тригонометрии в следующих областях: техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ), компьютерная томография, фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография, геодезия, архитектура, фонетика , экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Тригонометрия в физике.

Гармонические колебания.

Когда какая-либо точка движется по прямой линии попеременно то в одну, то в другую сторону, то говорят, что точка совершает колебания.

Одним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции точки М, которая равномерно вращается по окружности. Закон этих колебаний имеет вид x= Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .

Обычно вместо этой частоты рассматривают циклическую частоту w=, показывающую угловую скорость вращения, выраженную в радианах в секунду. В этих обозначениях имеем: x= R cos(w t+ a). (2)

Число a называют начальной фазой колебания .

Изучение колебаний всякого рода важно уже по одному тому, что с колебательными движениями или волнами мы сталкиваемся весьма часто в окружающем нас мире и с большим успехом используем их (звуковые волны, электромагнитные волны).

Механические колебания.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или маятник. Возьмем, например, гирю, подвешенную на пружине (см. рис.) и толкнем ее вниз. Гиря начнет колебаться вниз и вверх..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg" align="left" width="202 height=146" height="146">График колебания (2) получается из графика колебания(1) сдвигом влево

на . Число a называют начальной фазой.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), где l -длина маятника, а j0-начальный угол отклонения. Чем длиннее маятник, тем медленнее он качается.(Это хорошо видно на рис.1-7 прилож. VIII). На рис.8-16 ,приложения VIII хорошо видно, как изменение начального отклонения влияет на амплитуду колебаний маятника, период при этом не меняется. Измеряя период колебания маятника известной длины, можно вычислять ускорение земного тяготения g в различных точках земной поверхности.

Разряд конденсатора.

Не только многие механические колебания происходят по синусоидальному закону. И в электрических цепях возникают синусоидальные колебания. Так в цепи, изображенной в правом верхнем углу модели, заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону q = CU + (q0 – CU) cos ωt, где С- емкость конденсатора, U –напряжение на источнике тока, L –индуктивность катушки, https://pandia.ru/text/78/114/images/image022_30.jpg" align="left" width="348" height="253 src=">Благодаря модели конденсатора, имеющейся в программе « Функции и графики» можно устанавливать параметры колебательного контура и строить, соответствующие графики g(t)и I(t). На графиках 1-4 хорошо видно как влияет напряжение на изменение силы тока и заряда конденсатора, при этом видно, что при положительном напряжении заряд также принимает положительные значения. На рис.5-8 приложения IX показано, что при изменении емкости конденсатора(при изменении индуктивности катушки на рис. 9-14 приложения IX) и сохранении неизменными остальных параметров меняется период колебаний, т. е. меняется частота колебаний силы тока в цепи и меняется частота заряда конденсатора..(см. приложение IX).

Как соединить две трубы.

Приведенные примеры могут создать впечатление, что синусоиды встречаются только в связи с колебаниями. Однако это не так. Например, синусоиды используются при соединении двух цилиндрических труб под углом друг к другу. Чтобы соединить две трубы таким образом, надо срезать их наискосок.

Если развернуть срезанную наискосок трубу, то она окажется ограниченной сверху синусоидой. В этом можно убедиться, обернув свечку бумагой, срезав ее наискосок и развернув бумагу. Поэтому, чтобы получить ровный срез трубы, можно сначала обрезать металлический лист сверху по синусоиде и свернуть его в трубу.

Теория радуги.

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом . Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

где n1=1, n2≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.

Северное сияние

Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется, силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы

Задачи по тригонометрии с практическим содержанием.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.

Определение коэффициента трения.

Тело веса Р положено на наклонную плоскость с углом наклона a. Тело под действием своего собственного веса прошло ускоренно путь S в t секунд. Определить коэффициент трения k.

Сила давления тела на наклонную плоскость =kPcosa.

Сила, которая тянет тело вниз равна F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa).(1)

Если тело движется по наклонной плоскости, то ускорение а=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF ;следовательно, .(2)

Из равенств (1) и (2) следует, что g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48">=gtga-.

Тригонометрия в планиметрии.

Основные формулы при решении задач по геометрии с применением тригонометрии :

sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);

sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике:

1) Катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на тангенс противолежащего угла.

2) Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус прилежащего угла.

3) Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла.

4) Катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на котангенс прилежащего угла.

Задача1: На боковых сторонах АВ и С D равнобокой трапеции ABCD взяты точки М и N таким образом, что прямая MN параллельна основаниям трапеции. Известно, что в каждую из образовавшихся малых трапеций MBCN и AMND можно вписать окружность, причем радиусы этих окружностей равны r и R соответственно. Найти основания AD и BC.

Дано: ABCD-трапеция, AB=CD, MєAB, NєCD, MN||AD, в трапеции MBCN и AMND можно вписать окружность с радиусом r и R соответственно.

Найти: AD и BC.

Решение:

Пусть O1 и O2 – центры вписанных в малые трапеции окружностей. Прямая О1К||CD.

В ∆ O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

Т. к. ∆O2FD прямоугольный, то O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Т. к. AD=2DF=2R*ctg(α/2),

аналогично BC = 2r* tg(α/2).

cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α/2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√(r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), тогда AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), находим ответ.

Ответ : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Задача2 : В треугольнике ABC известны стороны b, c и угол между медианой и высотой, исходящими из вершины A. Вычислить площадь треугольника ABC.

Дано: ∆ ABC, AD-высота, AE-медиана, DAE=α, AB=c, AC=b.

Найти: S∆ABC.

Решение:

Пусть CE=EB=x, AE=y, AED=γ. По теореме косинусов в ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); а в ∆ACE по теореме косинусов c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Вычитая из 1 равенства 2 получим c²-b²=4xy*cosγ(3).

Т. К. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), тогда разделив 3 равенство на 4 получим: (c²-b²)/S=4*ctgγ, но ctgγ=tgαб, следовательно S∆ABC= (с²-b²)/4*tgα.

Ответ: (с²- b² )/4*tg α .

Тригонометрия в искусстве и архитектуре.

Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения (рис.1)

Ситуация меняется (рис2), так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2 a+ sin 2 a = 1.

Сравнив измерения АН в первом и во втором случаи можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Тригонометрия в медицине и биологии.

Модель биоритмов

Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Формула сердца

В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.
Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии , состоявшейся в Нидерландах. Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории

вновь позабыли.

Результаты нового исследования, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.

3.2 Графические представления о превращении «мало интересных» тригонометрических функций в оригинальные кривые.

Кривые в полярных координатах.

с. 16ис. 19Розетки.

В полярных координатах выбираются единичный отрезок e, полюс О и полярная ось Ох. Положение любой точки М определяется полярным радиусом ОМ и полярным углом j, образованным лучом ОМ и лучом Ох. Число r, выражающее длину ОМ через е (ОМ=rе) и численное значение угла j, выраженного в градусах или в радианах, называются полярными координатами точки М.

Для любой точки, отличной от точки О, можно считать 0≤j<2p и r>0. однако при построении кривых, соответствующих уравнениям вида r=f(j), переменному j естественно придавать любые значения (в том числе и отрицательные, и превышающие 2p), а r может оказаться как положительным, так и отрицательным.

Для того чтобы найти точку (j, r), проведем из точки О луч, образующий с осью Ох угол j , и отложим на нем (при r>0) или на его продолжении в противоположную сторону (при r>0) отрезок ½ r ½е.

Все значительно упростится, если предварительно построить координатную сетку, состоящую из концентрических окружностей с радиусами е,2е,3е и т. д.(с центром в полюсе О) и лучей, для которых j=0°,10°,20°,…,340°,350°; эти лучи будут пригодны и при j<0°, и при j>360°; например, при j=740° и при j=-340° мы попадем на луч, для которого j=20°.

Исследованию данных графиков помогает компьютерная программа « Функции и графики» . Пользуясь, возможностями этой программы исследуем некоторые интересные графики тригонометрических функций.

1 .Рассмотрим кривые, заданные уравнениями: r= a+ sin3 j

I. r=sin3j (трилистник ) (рис.1)

II. r=1/2+sin3j (рис.2), III. r=1+ sin3j (рис.3), r=3/2+ sin3j (рис.4) .

У кривой IV наименьшее значение r=0,5 и лепестки имеют незаконченный вид. Таким образом при а >1 лепестки трилистника имеют незаконченный вид.

2.Рассмотрим кривые при а=0; 1/2; 1;3/2

При а=0 (рис.1),при а=1/2 (рис.2), при а=1 (рис.3) лепестки имеют законченный вид, при а=3/2 будет пять незаконченных лепестков., (рис.4).

3.В общем случае у кривой r=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), т. к. в этом секторе 0°≤≤180°..gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> для одного лепестка потребуется «сектор», превышающий 360°.

На рис1-4 показан вид лепестков при =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width="16" height="41 src=">.

4.Уравнения, найденные немецким математиком-натуралистом Хабенихтом для геометрических форм, встречающихся в мире растений. Например, уравнениям r=4(1+cos3j) и r=4(1+cos3j)+4sin23j соответствуют кривые, изображенные на рис.1.2 .

Кривые в декартовых координатах.

Кривые Лиссажу.

Много интересных кривых можно построить и в декартовых координатах. Особенно интересно выглядят кривые, уравнения которых даны в параметрическом виде:

Где t-вспомогательное переменное(параметр). Например, рассмотрим кривые Лиссажу, характеризуемые в общем случае уравнениями:

Если за параметр t взять время, то фигуры Лиссажу будут представлять собой результат сложения двух гармонических колебательных движений, совершаемых во взаимно перпендикулярных направлениях. В общем случае кривая располагается внутри прямоугольника со сторонами 2а и2в.

Рассмотрим это на следующих примерах

I. x=sin3t; y=sin 5t (рис.1)

II. x=sin 3t; y=cos 5t (рис.2)

III. x=sin 3t; y=sin 4t.(рис.3)

Кривые могут быть замкнутыми и незамкнутыми.

Например, замена уравнений I уравнениями: x=sin 3t; y=sin5(t+3) превращает незамкнутую кривую в кривую замкнутую.(рис.4)

Интересны и своеобразны линии, соответствующие уравнениям вида

у =arcsin(sin k(x- a )).

Из уравнения y=arcsin(sinx) следует:

1) и 2)siny=sinx.

При этим двум условиям удовлетворяет функция у=х. Графиком ее в интервале (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41"> будем иметь у=p-х, так как sin(p-x)=sinx и в этом интервале

. Здесь график изобразится отрезком ВС.

Так как sinx –периодическая функция с периодом 2p, то ломаная АВС, построенная в интервале(,) повторится на других участках.

Уравнению y=arcsin(sinkx) будет соответствовать ломаная линия с периодом https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48">

удовлетворяют координаты точек, которые лежат одновременно выше синусоиды (для них у>sinx) и ниже кривой y=-sinx, т. е. « область решений» системы будет состоять из закрашенных на рис.1 областей.

2.Рассмотрим неравенства

1) (y-sinx)(y+sinx)<0.

Для решения данного неравенства сначала строим графики функций: y=sinx; y=-sinx.

Затем закрашиваем области, где y>sinx и одновременно y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.

Этому неравенству будут удовлетворять области, закрашенные на рис.2

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+ )))<0

Перейдем к следующему неравенству:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx)){ y-arcsin(sin(x+ ))}{y+arcsin(sin(x+ ))}<0

Для решения данного неравенства сначала строим графики функций: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+)) .

Составим таблицу возможных вариантов решений.

1 множитель имеет знак	2 множитель имеет знак	3 множитель имеет знак	4 множитель имеет знак

Затем рассматриваем и закрашиваем решения следующих систем.

)| и |y|>|sin(x-)|.

2) Второй множитель меньше нуля, т..gif" width="17" height="41">)|.

3) Третий множитель меньше нуля, т.е. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| и |y|>|sin(x+Учебные дисциплины" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">учебных дисциплинах , технике, в быту.

Использование моделирующей программы « Функции и графики» значительно расширило возможности проведения исследований, позволило материализовать знания при рассмотрении приложений тригонометрии в физике. Благодаря этой программе проведены лабораторные компьютерные исследования механических колебаний на примере колебаний маятника, рассмотрены колебания в электрической цепи. Использование компьютерной программы позволило исследовать интересные математические кривые, задаваемые с помощью тригонометрических уравнений и построением графиков в полярных и декартовых координатах. Графическое решение тригонометрических неравенств привело к рассмотрению интересных математических орнаментов.

5.Список использованной литературы.

1. ., Атанасов математических задач с практическим содержанием: Кн. для учителя.-М.:Просвещение,с.

2. .Виленкин в природе и технике: Кн. для внеклассного чтения IX-X кл.-М.:Просвещение,5с(Мир знаний).

3. Доморяд игры и развлечения. Гос. изд. физ-мат. лит. М,9стр.

4. .Кожуров тригонометрии для техникумов. Гос. изд. технико-теоретической лит. М.,1956

5. Кн. для внеклассного чтения по математике в старших классах. Гос. учебно-пед. изд. Мин. Просв. РФ, М.,с.

6. ,Тараканова тригонометрии. 10 кл..-М.:Дрофа,с.

7. О тригонометрии и не только о ней: пособие для учащихся 9-11 кл.. –М.:Просвещение,1996-80с.

8. Шапиро задач с практическим содержанием в преподавании математики. Кн. для учителя.-М.:Просвещение,1990-96с.

Синус, косинус, тангенс - при произнесении этих слов в присутствии учеников старших классов можно быть уверенным, что две трети из них потеряют интерес к дальнейшему разговору. Причина кроется в том, что основы тригонометрии в школе преподаются в полном отрыве от реальности, а потому учащиеся не видят смысла в изучении формул и теорем.

В действительности данная область знаний при ближайшем рассмотрении оказывается весьма интересной, а также прикладной - тригонометрия находит применение в астрономии, строительстве, физике, музыке и многих других областях.

Ознакомимся с основными понятиями и назовем несколько причин изучить этот раздел математической науки.

История

Неизвестно, в какой момент времени человечество начало создавать будущую тригонометрию с нуля. Однако документально зафиксировано, что уже во втором тысячелетии до нашей эры египтяне были знакомы с азами этой науки: археологами найден папирус с задачей, в которой требуется найти угол наклона пирамиды по двум известным сторонам.

Более серьезных успехов достигли ученые Древнего Вавилона. На протяжении веков занимаясь астрономией, они освоили ряд теорем, ввели особые способы измерения углов, которыми, кстати, мы пользуемся сегодня: градусы, минуты и секунды были заимствованы европейской наукой в греко-римской культуре, в которую данные единицы попали от вавилонян.

Предполагается, что знаменитая теорема Пифагора, относящаяся к основам тригонометрии, была известна вавилонянам почти четыре тысячи лет назад.

Название

Дословно термин «тригонометрия» можно перевести как «измерение треугольников». Основным объектом изучения в рамках данного раздела науки на протяжении многих веков был прямоугольный треугольник, а точнее - взаимосвязь между величинами углов и длинами его сторон (сегодня с этого раздела начинается изучение тригонометрии с нуля). В жизни нередки ситуации, когда практически измерить все требуемые параметры объекта (или расстояние до объекта) невозможно, и тогда возникает необходимость недостающие данные получить посредством расчётов.

Например, в прошлом человек не мог измерить расстояние до космических объектов, а вот попытки эти расстояния рассчитать встречаются задолго до наступления нашей эры. Важнейшую роль играла тригонометрия и в навигации: обладая некоторыми знаниями, капитан всегда мог сориентироваться ночью по звездам и скорректировать курс.

Основные понятия

Для освоения тригонометрии с нуля требуется понять и запомнить несколько основных терминов.

Синус некоторого угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Уточним, что противолежащий катет - это сторона, лежащая напротив рассматриваемого нами угла. Таким образом, если угол составляет 30 градусов, синус этого угла всегда, при любом размере треугольника, будет равен ½. Косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему (либо, что то же самое, отношение синуса к косинусу). Котангенс - это единица, деленная на тангенс.

Стоит упомянуть и знаменитое число Пи (3,14…), которое представляет собой половину длины окружности с радиусом в одну единицу.

Популярные ошибки

Люди, изучающие тригонометрию с нуля, совершают ряд ошибок - в основном по невнимательности.

Во-первых, при решении задач по геометрии необходимо помнить, что использование синусов и косинусов возможно только в прямоугольном треугольнике. Случается, что учащийся «на автомате» принимает за гипотенузу самую длинную сторону треугольника и получает неверные результаты вычислений.

Во-вторых, поначалу легко перепутать значения синуса и косинуса для выбранного угла: напомним, что синус 30 градусов численно равен косинусу 60, и наоборот. При подстановке неверного числа все дальнейшие расчёты окажутся неверными.

В-третьих, пока задача полностью не решена, не стоит округлять какие бы то ни было значения, извлекать корни, записывать обыкновенную дробь в виде десятичной. Часто ученики стремятся получить в задаче по тригонометрии «красивое» число и сразу же извлекают корень из трёх, хотя ровно через одно действие этот корень можно будет сократить.

Этимология слова «синус»

История слова «синус» поистине необычна. Дело в том, что буквальный перевод этого слова с латыни означает «впадина». Всё потому, что верное понимание слова затерялось при переводе с одного языка на другой.

Названия базовых тригонометрических функций произошли из Индии, где понятие синуса обозначалось словом «тетива» на санскрите - дело в том, что отрезок вместе с дугой окружности, на которую он опирался, походил на лук. Во времена расцвета арабской цивилизации индийские достижения в области тригонометрии были заимствованы, и термин перешел в арабский язык в виде транскрипции. Случилось так, что в этом языке уже было похожее слово, обозначающее впадину, и если арабы понимали фонетическую разницу между родным и заимствованным словом, то европейцы, переводящие научные трактаты на латынь, по ошибке буквально перевели арабское слово, никакого отношения к понятию синуса не имеющее. Им мы и пользуемся по сей день.

Таблицы значений

Существуют таблицы, в которые занесены числовые значения для синусов, косинусов и тангенсов всех возможных углов. Ниже представим данные для углов в 0, 30, 45, 60 и 90 градусов, которые необходимо выучить как обязательный раздел тригонометрии для «чайников», благо запомнить их довольно легко.

Если случилось так, что числовое значение синуса или косинуса угла «вылетело из головы», есть способ вывести его самостоятельно.

Геометрическое представление

Начертим круг, через его центр проведем оси абсцисс и ординат. Ось абсцисс располагается горизонтально, ось ординат - вертикально. Обычно они подписываются как «X» и «Y» соответственно. Теперь из центра окружности проведем прямую таким образом, чтобы между ней и осью X получился нужный нам угол. Наконец, из той точки, где прямая пересекает окружность, опустим перпендикуляр на ось X. Длина получившегося отрезка будет равна численному значению синуса нашего угла.

Данный способ весьма актуален, если вы забыли нужное значение, например, на экзамене, и учебника по тригонометрии под рукой нет. Точной цифры вы таким образом не получите, но разницу между ½ и 1,73/2 (синус и косинус угла в 30 градусов) вы точно увидите.

Применение

Одними из первых специалистов, использующих тригонометрию, были моряки, не имеющие никакого другого ориентира в открытом море, кроме неба над головой. Сегодня капитаны кораблей (самолётов и других видов транспорта) не ищут кратчайший путь по звёздам, зато активно прибегают к помощи GPS-навигации, которая без использования тригонометрии была бы невозможна.

Практически в каждом разделе физики вас ждут расчёты с использованием синусов и косинусов: будь то приложение силы в механике, расчёты пути объектов в кинематике, колебания, распространение волн, преломление света - без базовой тригонометрии в формулах просто не обойтись.

Ещё одна профессия, которая немыслима без тригонометрии - это геодезист. Используя теодолит и нивелир либо более сложный прибор - тахиометр, эти люди измеряют разницу в высоте между различными точками на земной поверхности.

Повторяемость

Тригонометрия имеет дело не только с углами и сторонами треугольника, хотя именно с этого она начинала своё существование. Во всех областях, где присутствует цикличность (биологии, медицине, физике, музыке и т. д.) вы встретитесь с графиком, название которого наверняка вам знакомо - это синусоида.

Такой график представляет собой развёрнутую вдоль оси времени окружность и внешне похож на волну. Если вы когда-нибудь работали с осциллографом на занятиях по физике, вы понимаете, о чем идет речь. Как музыкальный эквалайзер, так и прибор, отображающий сердечные ритмы, используют формулы тригонометрии в своей работе.

В заключение

Задумываясь о том, как выучить тригонометрию, большинство учащихся средней и старшей школы начинают считать её сложной и непрактичной наукой, поскольку знакомятся лишь со скучной информацией из учебника.

Что касается непрактичности - мы уже увидели, что в той или иной степени умение обращаться с синусами и тангенсами требуется практически в любой сфере деятельности. А что касается сложности… Подумайте: если люди пользовались этими знаниями больше двух тысяч лет назад, когда взрослый человек имел меньше знаний, чем сегодняшний старшеклассник, реально ли изучить данную область науки на базовом уровне лично вам? Несколько часов вдумчивых занятий с решением задач - и вы достигнете своей цели, изучив базовый курс, так называемую тригонометрию для «чайников».

История тригонометрии неразрывно связана с астрономией, ведь именно для решения задач этой науки древние ученые стали исследовать соотношения различных величин в треугольнике.

На сегодняшний день тригонометрия является микроразделом математики, изучающим зависимость между значениями величин углов и длин сторон треугольников, а также занимающимся анализом алгебраических тождеств тригонометрических функций.

Термин «тригонометрия»

Сам термин, давший название этому разделу математики, впервые был обнаружен в заголовке книги под авторством немецкого ученого-математика Питискуса в 1505 году. Слово «тригонометрия» имеет греческое происхождение и означает «измеряю треугольник». Если быть точнее, то речь идет не о буквальном измерении этой фигуры, а об её решении, то есть определении значений её неизвестных элементов с помощью известных.

Общие сведения о тригонометрии

История тригонометрии началась более двух тысячелетий назад. Первоначально ее возникновение было связано с необходимостью выяснения соотношений углов и сторон треугольника. В процессе исследований выяснилось, что математическое выражение данных соотношений требует введения особых тригонометрических функций, которые первоначально оформлялись как числовые таблицы.

Для многих смежных с математикой наук толчком к развитию стала именно история тригонометрии. Происхождение единиц измерения углов (градусов), связанное с исследованиями ученых Древнего Вавилона, опирается на шестидесятиричную систему исчисления, которая дала начала современной десятиричной, применяемой во многих прикладных науках.

Предполагается, что изначально тригонометрия существовала как часть астрономии. Затем она стала использоваться в архитектуре. А со временем возникла целесообразность применения данной науки в различных областях человеческой деятельности. Это, в частности, астрономия, морская и воздушная навигация, акустика, оптика, электроника, архитектура и прочие.

Тригонометрия в ранние века

Руководствуясь данными о сохранившихся научных реликвиях, исследователи сделали вывод, что история возникновения тригонометрии связана с работами греческого астронома Гиппарха, который впервые задумался над поиском способов решения треугольников (сферических). Его труды относятся ко 2 веку до нашей эры.

Также одним из важнейших достижений тех времен является определение соотношения катетов и гипотенузы в прямоугольных треугольниках, которое позже получило название теоремы Пифагора.

История развития тригонометрии в Древней Греции связана с именем астронома Птоломея - автора геоцентрической господствовавшей до Коперника.

Греческим астрономам не были известны синусы, косинусы и тангенсы. Они пользовались таблицами, позволяющими найти значение хорды окружности с помощью стягиваемой дуги. Единицами для измерения хорды были градусы, минуты и секунды. Один градус приравнивался к шестидесятой части радиуса.

Также исследования древних греков продвинули развитие сферической тригонометрии. В частности, Евклид в своих «Началах» приводит теорему о закономерностях соотношений объемов шаров различного диаметра. Его труды в этой области стали своеобразным толчком в развитии еще и смежных областей знаний. Это, в частности, технология астрономических приборов, теория картографических проекций, система небесных координат и т. д.

Средневековье: исследования индийских ученых

Значительных успехов достигли индийские средневековые астрономы. Гибель античной науки в IV веке обусловила перемещение центра развития математики в Индию.

История возникновения тригонометрии как обособленного раздела математического учения началась в Средневековье. Именно тогда ученые заменили хорды синусами. Это открытие позволило ввести функции, касающиеся исследования сторон и углов То есть именно тогда тригонометрия начала обосабливаться от астрономии, превращаясь в раздел математики.

Первые таблицы синусов были у Ариабхаты, они была проведены через 3 о, 4 о, 5 о. Позже появились подробные варианты таблиц: в частности, Бхаскара привел таблицу синусов через 1 о.

Первый специализированный трактат по тригонометрии появился в X—XI веке. Автором его был среднеазиатский учёный Аль-Бируни. А в своем главном труде «Канон Мас‘уда» (книга III) средневековый автор еще более углубляется в тригонометрию, приводя таблицу синусов (с шагом 15") и таблицу тангенсов (с шагом 1°).

История развития тригонометрии в Европе

После перевода арабских трактатов на латынь (XII-XIII в) большинство идей индийских и персидских ученых были заимствованы европейской наукой. Первые упоминания о тригонометрии в Европе относятся к XII веку.

По мнению исследователей, история тригонометрии в Европе связана с именем англичанина Ричарда Уоллингфордского, который стал автором сочинения «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах». Именно его труд стал первой работой, которая целиком посвящена тригонометрии. К XV веку многие авторы в своих трудах упоминают о тригонометрических функциях.

История тригонометрии: Новое время

В Новое время большинство ученых стало осознавать чрезвычайную важность тригонометрии не только в астрономии и астрологии, но и в других областях жизни. Это, в первую очередь, артиллерия, оптика и навигация в дальних морских походах. Поэтому во второй половине XVI века эта тема заинтересовала многих выдающихся людей того времени, в том числе Николая Коперника, Франсуа Виета. Коперник отвел тригонометрии несколько глав своего трактата «О вращении небесных сфер» (1543). Чуть позже, в 60-х годах XVI века, Ретик - ученик Коперника - приводит в своем труде «Оптическая часть астрономии» пятнадцатизначные тригонометрические таблицы.

В «Математическом каноне» (1579) дает обстоятельную и систематическую, хотя и бездоказательную, характеристику плоской и сферической тригонометрии. А Альбрехт Дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида.

Заслуги Леонарда Эйлера

Придание тригонометрии современного содержания и вида стало заслугой Леонарда Эйлера. Его трактат «Введение в анализ бесконечных» (1748) содержит определение термина «тригонометрические функции», которое эквивалентно современному. Таким образом, этот ученый смог определить Но и это еще не все.

Определение тригонометрических функций на всей числовой прямой стало возможным благодаря исследованиям Эйлера не только допустимых отрицательных углов, но и углов боле 360°. Именно он в своих работах впервые доказал, что косинус и тангенс прямого угла отрицательные. Разложение целых степеней косинуса и синуса тоже стало заслугой этого ученого. Общая теория тригонометрических рядов и изучение сходимости полученных рядов не были объектами исследований Эйлера. Однако, работая над решением смежных задач, он сделал много открытий в этой области. Именно благодаря его работам продолжилась история тригонометрии. Кратко в своих трудах он касался и вопросов сферической тригонометрии.

Области применения тригонометрии

Тригонометрия не относится к прикладным наукам, в реальной повседневной жизни ее задачи редко применяются. Однако этот факт не снижает ее значимости. Очень важна, например, техника триангуляции, которая позволяет астрономам достаточно точно измерить расстояние до недалеких звезд и осуществлять контроль за системами навигации спутников.

Также тригонометрию применяют в навигации, теории музыки, акустике, оптике, анализе финансовых рынков, электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (например, в расшифровке ультразвуковых исследований УЗИ и компьютерной томографии), фармацевтике, химии, теории чисел, сейсмологиии, метеорологии, океанологии, картографии, многих разделах физики, топографии и геодезии, архитектуре, фонетике, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике, кристаллографиии и т. д. История тригонометрии и ее роль в изучении естественно-математических наук изучаются и по сей день. Возможно, в будущем областей ее применения станет еще больше.

История происхождения основных понятий

История возникновения и развития тригонометрии насчитывает не один век. Введение понятий, которые составляют основу этого раздела математической науки, также не было одномоментным.

Так, понятие «синус» имеет очень долгую историю. Упоминания о различных отношениях отрезков треугольников и окружностей обнаруживаются еще в научных трудах, датируемых III веком до нашей эры. Работы таких великих древних ученых, как Евклид, Архимед, Апполоний Пергский, уже содержат первые исследования этих соотношений. Новые открытия требовали определенных терминологических уточнений. Так, индийский учёный Ариабхата дает хорде название «джива», означающее «тетива лука». Когда арабские математические тексты переводились на латынь, термин заменили близким по значению синусом (т. е. «изгиб»).

Слово «косинус» появилось намного позже. Этот термин является сокращенным вариантом латинской фразы «дополнительный синус».

Возникновение тангенсов связано с расшифровкой задачи определения длины тени. Термин «тангенс» ввел в X веке арабский математик Абу-ль-Вафа, составивший первые таблицы для определения тангенсов и котангенсов. Но европейские ученые не знали об этих достижениях. Немецкий математик и астроном Регимонтан заново открывает эти понятия в 1467 г. Доказательство теоремы тангенсов - его заслуга. А переводится этот термин как «касающийся».