Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Методическое обоснование урока.

Использование знаний из физики, астрономии, МХК, биологии на уроке геометрии при обобщении систематизации сведений по теме “Симметрия в пространстве. Правильные многогранники. Элементы симметрии правильных многогранников”.

Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков учащихся.

Цели урока:

Образовательные: обобщение и систематизация сведений о правильных многогранниках и их элементов симметрии, применении симметрии в пространстве.

Развивающие:

• Развитие умения логически излагать свои мысли, используя литературный язык;
• Развитие умения аргументировать;
• Развитие умения слушания и распределения внимания во время слушания;
• Развитие умения задавать уточняющие вопросы;
• Развитие умения полученные знания в нестандартных ситуациях;
• Развивать умения выделять главное, сравнивать, обобщать;
• Развитие абстрактного и наглядно-образного мышления.

Воспитательные: Воспитание любви к предмету, воспитание сознательной дисциплины, формирование навыков контроля и самоконтроля, активизация познавательной деятельности в коллективе и формирование навыков сотрудничества, межпредметная связь. Привитие чувств к прекрасному, эстетическое воспитание.

Принципы обучения.

Дидактические :

• Систематичности и последовательности обучения.
• Доступности (опора на знания учащихся).
• Индивидуализации обучения (учёт психологических типов восприятия материала учащимися, дифференциация дидактического материала к заданиям).
• Научности.
• Связь теории с практикой.

Оборудование урока (средства обучения).

• Магнитная доска.
• Модели многогранников, модели правильных многогранников. Таблица.
• Карточки с заданиями.
• На рабочем столе учащихся: учебники, тетради, ручки и карандаши, линейки. Опорные конспекты.

Структура урока:

1. Организационный этап.
2. Этап проверки домашнего задания.
3. Этап всесторонней проверки знаний.
4. Этап обобщения и систематизации знаний.
5. Подведение итогов урока.
6. Этап информации учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Методы контроля учебной деятельности на данном уроке:

1. Устный и письменный.
2. Фронтальный, групповой, индивидуальный.
3. Итоговый контроль.

Ход урока

1. Организационный этап.

Взаимное приветствие учителя и учащихся.

Сообщение темы урока, плана работы на уроке обобщения и систематизации сведений по теме.

Постановка цели.

2. Этап проверки домашнего задания. Заготовки моделей многогранников.

3. Этап всесторонней проверки знаний.

Математический диктант с взаимопроверкой (письменно и карточки сдают учителю). Приложение 1.

Фронтальный опрос:

• Симметрия в планиметрии.
• Виды симметрии.
• Свойство симметрии.
• Фигуры, симметричные сами себе.

4. План урока.

• Знакомство с понятием “симметрия” и её видами, элементами симметрии правильных многогранников;
• Изучение проявлений симметрии в окружающем нас мире;
• Перспективы применения симметрии в различных сферах деятельности человека.
  • Симметрия в пространстве. Рассказ учителя с обсуждением.
  • Симметрия в природе. Выступление ученика. Ответы на вопросы учащихся.
  • Симметрия в искусстве: архитектуре, скульптуре, живописи. Выступление ученика. Ответы на вопросы учащихся.
  • Правильные многогранники. Рассказ ученика по готовым моделям.

Вопросы предлагаются учащимся заранее.

Вопросы и задания.

1. Понятие многогранника.
2. Понятие пирамиды. Изготовить модели.
3. Понятие призмы. Изготовить модели.

Индивидуальные:

1. Из справочной литературы сделать подборку материалов о правильных многогранниках.
2. Подготовить сообщения: “Симметрия в пространстве”, “Симметрия в природе”, “симметрия в искусстве”.
3. Изготовить модели правильных многогранников.

Групповые:

1. Приведите примеры применения симметрии в пространстве, природе, искусстве.
2. Подготовить информацию о древнегреческом учёном Платоне.

Симметрия в пространстве.

“Симметрия....есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство”. Эти слова принадлежат известному математику Герману Вейлю.

В планиметрии мы рассматривали фигуры, относительно точки и прямой. В стереометрии рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости.

Точки А иА 1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О - середина отрезка АА 1 . точка О считается симметричной самой себе. Чертёж.

Точки А и А 1 называются симметричными относительно Прямой а (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Чертёж. Лист, снежинка, бабочка – примеры осевой симметрии. Приложение 2.

Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаём вопросов, не делаем открытий. Немецкий философ Иммануил Кант говорил о зеркальном отражении так: “Что может более похоже на мою руку или моё ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И всё же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место постоянной руки...”.

Это и есть симметрия относительно плоскости.

Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если плоскость проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе. Чертёж.

Введём понятия центра, оси и плоскости симметрии фигуры.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.

Симметрия в природе.

“Раз, стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия приятна для глаз? Что такое симметрия? Это врождённое чувство, отвечал я сам себе. На чём же оно основано? Разве во всём жизни симметрия?” - задавал вопросы Николенька Иртеньев из “Отрочества” Л.Толстого.

Почему же в природе царит симметрия? Почему симметрично всё живое от микроорганизмов до человека?

Господство симметрии в природе объясняется силой тяготения, действующей во всей Вселенной. Действием тяготения или его отсутствие объясняется тем, что и космические тела, плавающие во Вселенной, и микроорганизмы, взвешенные в воде, обладают высшей формой симметрии – сферической (при любом повороте относительно центра фигуры совпадает сама с собой). Все организмы, растущие в прикреплённом состоянии (деревья) или живущие на дне океана (морские звёзды), т.е. организмы, для которых направление силы тяжести является решающим, имеют ось симметрии. Для животных способных передвигаться в воде, воздухе или по земле, кроме направления силы тяжести, важным оказывается и направление движения животного. Такие животные имеют плоскость симметрии. Биологи эту плоскость называют билатеральной, а тип симметрии – зеркальным.

Примеры симметрии в живой природе - насекомые, а именно, красивейшие создания земли – бабочки, которая являет собой пример зеркальной симметрии. Приложение 2.

Почти все кристаллы в природе – симметричны. Приложение 3.

Симметрия в искусстве (архитектуре, скульптуре, живописи, литературе, музыке, танцах).

Наблюдая окружающий его мир, человек, исторически пытался более или менее реалистично отобразить его в различных видах искусства, поэтому очень интересно рассмотреть симметрию в живописи, скульптуре, архитектуре, литературе, музыке и танцах.

Симметрию в живописи мы можем увидеть уже в наскальных рисунках первобытных людей. В древние века значительной частью искусства рисования – были иконы, при создании которых художники использовали свойства зеркальной симметрии. Глядя на них сегодня, поражаешься удивительной симметричностью в обликах святых, хотя иногда происходит интересная вещь – в асимметричных изображениях мы ощущаем симметрию, как норму, от которой художник уклоняется под влиянием внешних факторов.

Элементы симметрии можно увидеть в общих планах зданий. Приложение 4. Скульптура и живопись тоже дают множество ярких примеров использования симметрии для решения эстетических задач. Примерами являются гробница Джулиано Медичи работы великого Микеланжело, мозаика апсиды собора Св. Софии в Киеве, где изображены две фигуры Христа, один причащает хлебом, другой – вином.

Зеркально – симметричное раздвоение фигуры Христа позволило одновременно изображать два важнейших момента евхаристии: причащение вином, обозначавшим кровь Христа. Зеркальное раздвоение Христа было одним из излюбленных приёмов иконографии тайной вечери. Приложение 5 .

Симметрия, вытесняемая из живописи и архитектуры, постепенно занимала новые сферы жизни людей – музыку и танцы. Так в музыке 15-го века было открыто новое направление – имитационная полифония, являющаяся музыкальным аналогом орнамента, позже появились – фуги, звуковые версии сложного узора. В современном песенном жанре, как я считаю, припев – это пример простейшей переносной симметрии вдоль оси (текста песни). В танцах, использующих постоянно повторяющиеся фигуры и па, мы так же находим симметрию, смотрите на рисунок. Приложение 6.

Литература тоже не обошла своим вниманием симметрию. Так примером симметрии в литературе могут служить палиндромы, это такие части текста, обратная и прямая последовательность букв которых совпадают. Например, “А роза упала на лапу Азора” (А.Фет), “Уж редко рукою окурок держу”. Как частный случай палиндромов, мы знаем много слов в русском языке, являющихся перевёртышами: кок, топот, казак и многие другие. На использовании таких слов часто строятся загадки – ребусы.

Правильные многогранники.

В геометрии фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей). Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани-равные правильные многогранники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является куб.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще при 6.

При 6 угол каждого многоугольника больше или равен 120. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов. Но 120

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной 3, 4, 5 правильных треугольников, 3 квадратов или 3 правильных пятиугольников. Значит, есть только 5 правильных многогранников. Приложение 7.

• Тетраэдр – четырёхгранник.
• Гексаэдр – шестигранник (куб).
• Октаэдр – восьмигранник.
• Икосаэдр – двадцатигранник.
• Додекаэдр - двенадцатигранник.

Правильные многогранники с древних времён привлекли к себе внимание учёных, архитекторов, художников.

Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий учёный Платон. Поэтому их называют телами Платона. Правильным многогранникам посвящена 13 книга “Начал” Евклида. Платон считал, что атомы огня имеют форму тетраэдра, земли- гексаэдра, воздуха- октаэдра, воды- икосаэдра, вся вселенная – форму додекаэдра.

Герои картины испанского живописца С.Дали в “Тайной вечере” сидят на фоне огромного додекаэдра. Приложение 5. Художник А. Дюдер в гравюре “Меланхолия” дал перспективное изображение додекаэдра. Приложение 8.

В эпоху возрождения меланхолический темперамент отождествляли с творческим началом. На гравюре Дюрера Меланхолия окружена атрибутами зодчества и геометрии, отчего математики любят считать этот шедевр графического искусства олицетворением творческого духа математика, а саму Меланхолию – представительницей математики в мире прекрасного.

Этап закрепления и обобщения.

Предлагаются модели многогранников:

1) дать характеристику;

2) выбрать из данных моделей многогранников – тела Платона.

6. Этап проверки знаний по изученной теме.

Выполнить практическую работу. Групповая работа. Приложение 9.

7. Вывод урока делают сами ученики.

Итак, что мы сегодня узнали? Что Вам запомнилось из нашей сегодняшней темы?

• Симметрия в пространстве.
• Симметрия в природе.
• Симметрия в искусстве: архитектуре, скульптуре, живописи.
• Правильные многогранники.

Итоги урока.

Выставление оценок за урок учащиеся сдают листочки с практической работой.

9. Информация о домашнем задании.

1) Сделать поделки или нарисовать: геометрические фигуры, предметы, живые существа, которые имеют ось (центр) симметрии.

2)Индивидуальное творческое задание учащимся, которые получили хорошие и отличные оценки за урок. Написать реферат на тему: “Симметрия в быту, технике и физике”.

3) Презентация “Симметрия вокруг нас”

10. Список литературы.

1. Детская энциклопедия, 3-е издание, “Педагогика”, М., 1973.
2. Л. Тарасов, Этот удивительно симметричный мир, “Просвещение”, М., 1980.
3. И.Ф. Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева. Наглядная геометрия, “МИРОС”, 1995.

Интернет-ресурсы.

§ 1 Правильный многогранник

На этом уроке рассмотрим правильные многогранники, а именно симметрию таких фигур. Поговорим о том, кто в своем творчестве обращался к гармонии и красоте правильных многогранников.

Напомним определение правильного многогранника и вспомним, какие именно правильные многогранники существуют и изучаются в геометрии.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Правильных многогранников всего пять: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Напомним так же, о каких видах симметрии мы говорим в пространстве - это симметрия центральная (относительно точки), осевая симметрия (относительно прямой) и симметрия относительно плоскости.

§ 2 Элементы симметрии правильного тетраэдра

Рассмотрим элементы симметрии правильного тетраэдра. Он не имеет центра симметрии. Зато прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии.

Плоскость, проходящая через ребро АВ перпендикулярно к противолежащему ребру СD правильного тетраэдра АВСD, является плоскостью симметрии. Посмотрите, правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии.

§ 3 Элементы симметрии куба

Куб имеет один центр симметрии - точку пересечения его диагоналей. Прямые а и b, проходящие соответственно через центры противоположных граней и середины двух противоположных ребер, не принадлежащих одной грани, являются его осями симметрии. Куб имеет девять осей симметрии. Обратите внимание, все оси симметрии проходят через центр симметрии. Плоскостью симметрии куба является плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. Куб имеет девять плоскостей симметрии. Оставшиеся три правильных многогранника так же имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии. Попробуйте посчитать их число.

§ 4 Многогранники в искусстве

Изучение многогранников увлекало многих творческих людей. Знаменитый художник Альбрехт Дюрер в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр. Перед вами изображение картины художника Сальвадора Дали "Тайная Вечеря". Это огромное полотно, в котором художник решил посоревноваться с Леонардо да Винчи. Обратите внимание, что изображено на переднем плане картины. Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1989 году в Леувардене, создал уникальные и очаровательные работы, в которых использован или показан широкий круг математических идей. Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные. В начале XX века во Франции зародилось модернистское направление в изобразительном искусстве, прежде всего в живописи - кубизм, характеризующийся использованием подчеркнуто геометризованных условных форм, стремлением «раздробить» реальные объекты на стереометрические примитивы. Наиболее известными кубистическими произведениями стали картины Пикассо «Авиньонские девицы», «Гитара».

§ 5 Многогранники в природе

Природа создает не менее восхищающие творения. Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба. Скелет одноклеточного организма феодарии представляет собой икосаэдр. Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба. Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра. Молекулы воды имеют форму тетраэдра.

Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба. Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра. Молекулы воды имеют форму тетраэдра. Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров. Вирусы, построенные только из нуклеиновой кислоты и белка, имеют вид икосаэдра.Всем этим мы можем любоваться и восхищаться повсюду.

И в который раз хочется вернуться к словам Иоганна Кеплера немецкого математика, астронома, механика, оптика и астролога, первооткрывателя законов движения планет, который сказал «Математика есть прообраз красоты мира.

Список использованной литературы:

1. Геометрия. 10 – 11 классы: учебник для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд. – М. : Просвещение, 2013. – 255 с. : ил. – (МГУ - в школе)
2. Учебно – методическое пособие в помощь школьному учителю. Составитель Яровенко В.А. Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л. С. Атанасяна и др. (М. : Просвещение) 10 класс
3. Рабинович Е. М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 классы. Геометрия. – М. : Илекса, 2006 . – 80 с.
4. М. Я Выгодский Справочник по элементарной математике М.: АСТ Астрель, 2006. - 509с.
5. Аванта+. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика 2-е изд., перераб.- М.: Мир энциклопедий Аванта+: Астрель 2007. - 621 с. Ред. коллегия: М. Аксёнова, В. Володин, М.Самсонов.

Использованные изображения:

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель изучения

• Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников - правильными многогранниками.
• Показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез.
• Показать связь геометрии и природы.
• Изучить элементы симметрии правильных многогранников.

Прогнозируемый результат

• Знать определение правильных выпуклых многогранников.
• Уметь доказать, что существует всего пять видов таких тел.
• Уметь охарактеризовать каждый вид правильных многогранников.
• Знать теорему Эйлера (без доказательства).
• Иметь понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная).
• Знать примеры симметрий в окружающем мире.
• Знать элементы симметрии каждого правильного многогранника.
• Уметь решать задачи на нахождение элементов правильных многогранников.

План урока

• Организационный момент.
• Актуализация знаний.
• Введение нового понятия, изучение правильных выпуклых многогранников.
• Правильные многогранники в философской картине мира Платона (сообщение учащегося).
• Формула Эйлера (исследовательская работа класса).
• Правильные многогранники (сообщение учащегося).
• Правильные многогранники на картинах великих художников (сообщения учащегося).
• Правильные многогранники и природа (сообщения учащегося).
• Элементы симметрии правильных многогранников (сообщения учащегося).
• Решение задач.
• Подведение итога урока.
• Домашнее задание.

Оборудование

• Чертёжные инструменты.
• Модели многогранников.
• Репродукция картины С. Дали "Тайная вечеря".
• Компьютер, проектор.
• Иллюстрации к сообщениям учащихся:
  • модель солнечной системы И. Кеплера;
  • икосаэдро-додекаэдровая структура земли;
  • правильные многогранники в природе.

"Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный
по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".
Л. Кэрролл

Ход урока

На данный момент уже вы имеете представление о таких многогранниках как призма и пирамида. На сегодняшнем уроке у вас есть возможность значительно расширить свои знания о многогранниках, вы узнаете о так называемых правильных выпуклых многогранниках. С некоторыми понятиями вы уже знакомы - это многогранники и выпуклые многогранники. Вспомним их.

• Дайте определение многогранника.
• Какой многогранник называется выпуклым?

Нами уже использовались словосочетания "правильные призмы" и "правильные пирамиды". Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Послушайте внимательно определение.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже число ребер.

Может показаться, что вторая часть определения является лишней и достаточно сказать, что выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон. Достаточно ли этого на самом деле?

Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью) . Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет! ). Посмотрим на его грани - правильные треугольники. Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых - четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник, действительно, не является правильным. Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях.

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n - угольники при n 6.

В самом деле, угол правильного n-угольника при n 6 не меньше 120 о (объясните почему). С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани - правильные n-угольники при n 6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120 о * 3 = 360 о . Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 о.

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников, либо квадратов, либо трёх правильных пятиугольников. Других возможностей нет. В соответствии с этим получаем следующие правильные многогранники.

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:

• "эдра" - грань
• "тетра" - 4
• "гекса" - 6
• "окта" - 8
• "икоса" - 20
• "додека" - 12

Вам необходимо запомнить названия этих многогранников, уметь охарактеризовать каждый из них и доказать, что других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет.

Обращаю внимание на слова Л. Кэрролла, которые являются эпиграфом сегодняшнего урока: "Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

О том, как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях учёные, нам расскажут:

Сообщение "Правильные многогранники в философской картине мира Платона"

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 - ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх "стихий" - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих "стихий" имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр - как самый обтекаемый - воду; куб - самая устойчивая из фигур - землю, а октаэдр - воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник - додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Учитель. А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI - XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 - 1630).

Сообщение "Кубок Кеплера"

Рис.6. Модель Солнечной системы И. Кеплера

Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы - столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы - как его собственных, так и великих предшественников - астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который

вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название "Космического кубка" Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге "Тайна мироздания". Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.

Учитель. Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

Сообщение "Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли"

Рис 7. Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис.7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Учитель. А сейчас от научных гипотез перейдём к научным фактам.

Исследовательская работа "Формула Эйлера"

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов Платоновых тел и занесём результаты в таблицу № 1.

Анализируя таблицу № 1, возникает вопрос: "Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?" По-видимому, нет. Например, в столбце "грани" казалось бы, просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается (8 + 2 12, 12 + 2 20). В столбце "вершины" нет даже стабильного возрастания.

Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12) . В столбце "рёбра" закономерности тоже не видно.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах "грани" и "вершины" (Г + В). Составим новую таблицу своих подсчётов (см. табл. № 2). Вот теперь закономерности может не заметить только "слепой". Сформулируем её так: "Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ", т.е.

Г + В = Р + 2

Итак, мы вместе "открыли" формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Запомните эту формулу, она пригодится вам для решения некоторых задач.

"Тайняя вечеря" С. Дали

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 - 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине "Тайная вечеря" изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Учёным достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов таких многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего - нет, он "подсмотрел" их у природы.

Послушаем сообщение: "Правильные многогранники и природа".

Сообщение "Правильные многогранники и природа"

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra ) по форме напоминает икосаэдр (рис. 8).

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись.

Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий - вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник - икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Учитель. Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии. Послушаем сообщение симметрии правильных многогранников.

Тем не менее, снова возвращаемся к вычислениям.

Решим несколько задач.

Задача. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке 9. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Задача: № 28.

Подходит к концу урок, подведём итоги.

• С какими новыми геометрическими телами мы сегодня познакомились?
• Почему Л. Кэрролл так высоко оценил значение этих многогранников?

Дома: параграф 3, п.32, № 274, 279. Рис. 9

Литература.

• Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. М.: Школа-Пресс, 1998. (Библиотека журнала "Математика в школе". Вып.7).
• Винниджер. Модели многогранников. М., 1975.
• Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кардомцев и др.-5-е изд.- М.: Просвещение, 1997.
• Гросман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983.
• Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976.
• Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.
• Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Л., 1988.

1 Минерало́гия -наукаоминералах- природныххимических соединениях.

Минералогия изучает состав, свойства, структуры и условия образования минералов

Минералы- кристаллические элементы или химические соединения,возникающие в ходе геологических процессов.

2 Минеральный вид - это совокупность минералов данного химического состава с данной кристаллической структурой.

К 1-му мин.виду относятся все минеральные индивиды,характеризующиеся:

Одинаковой структурной группой

Химическим составом,непрерывно изменяющимся в определенных пределах

Равновесным существованием в определенных термодинамических условиях земной коры

3 Симметрические преобразование и элементы симметрии кристаллических многогранников.

Симметрия– правильная повторяемость элементов ограничения кристаллов при

выполнении симметрических операций.

Элементами ограничения кристаллов считаются их грани, ребра и вершины.

Симметрические операции– это повороты и отражения кристалла

относительно элементов симметрии.

Элементы симметрии 1 рода.

Ось симметрии Ln - это воображаемая прямая линия, проходящая при вращении кристалла вокруг которой через один и тот же угол наблюдается повторения элементов ограничения. L6-L4L3L2

Элементы симметрии 2 рода:

-плоскость симметрии(Р)- такая плоскость,которая делит фигуры на две равные части,каждая из которой является зеркальным отображением другой

-центр симметрии(инверсии)(С)- представляет собой точку внутри кристалла от которой по обе стороны на равных расстояниях нах-ся тождественные точкиграней и вершин.центр инверсии бывает только один либо его нет.

Инверсионная ось симметрии Ln– это воображаемая линия, при повороте вокруг которой на угол, задаваемый порядком оси, с последующимотражением в точке, лежащей на этой оси, как в центре инверсии, кристаллсовмещается сам с собой.

Таким образом, действие инверсионной оси вклю-чает в себя два момента: во-первых, поворот на угол, задаваемый порядком

оси, во-вторых, отражение в точке, как в центре инверсии.

4. Полярные и неполярные оси симметрии

а) полярные –на концах оси разные эл-ты фигуры;

б)неполярные(биполярные)на концах оси одинаковые эл-ты фигуры.

5.Единичные направления в криталлах.

Единственное, не повторяющееся в кристалле направление называет-ся единичным.

В кубе нет единичных направлений, здесь для любогонаправления можно найти симметрично-равное.

По симметрии и по числу единичных направлений кристаллы делятся на три категории: низшую, среднюю, высшую.

6В учебной символике символике Браве - оси симметрии обозначаются как Ln

Где подстрочный цифровой индекс п указывает на порядок

оси1 Графически оси симметрии обозначаются многоугольниками:

в плоскости –

плоскость симметрии Р

Отражение в точке (инверсия) –

центр симметрии, инверсии С

Поворот с отражением в точке - инверсионная ось L n i - с черточкой наверху. Порядок оси - 1, 2, 3, 4, 6.

Инверсионные оси Зеркальные оси

L 6 = L 3 + перп.P. Л 6 = L 3

L 4 Л 3 = L 6

L 3 = L 3 + C. Л 4 = L 4

L 2 = P. Л 2 =С

L 1 = C .

Формула симметрии состоит из записанных элементов симметрии данного кристалла в определенной последовательности: оси высшего порядка®осиL2 ®плоскости симметрии®центр симметрии. В кубической сингонии на втором месте всегда стоит4L3 . Если какой-либо элемент отсутствует, он опускается.