Л Е К Ц И Я 4

ПАРА СИЛ. СЛОЖЕНИЕ ПАР СИЛ.

1.Пара сил и ее основные свойства.

Парой сил называется система двух параллельных, равных по модулю и противоположно направленных сил.

Плоскость, в которой расположены силы, образующие пару, называется плоскостью действия пары сил.

Кратчайшее расстояние между линиями действия пары сил называется плечом пары.

Свойства пары сил.

1. Пара сил не имеет равнодействующей.

2. Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю..

3. Сумма моментов сил, образующих пару, не зависит от выбора моментной точки.

Основная характеристика пары сил – это для плоской системы сил алгебраический момент и для пространственной системы векторный момент пары.

Алгебраическим моментом пары сил называется скалярная величина, равная взятому со знаком плюс или минус произведению модуля одной из сил пары на ее плечо. Знак плюс берем в том случае, если пара сил стремится повернуть тело против хода часовой стрелки и минус – если по часовой стрелке.

Векторный момент пары сил – это свободный вектор, перпендикулярный плоскости действия пары сил, направленный так, чтобы, глядя ему навстречу, видеть стремление пары сил повернуть тело против хода часовой стрелки и равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на ее плечо.

2. ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПАРАХ СИЛ.

Теорема 1. Две пары сил, расположенные в одной плоскости и имеющие геометрически равные векторные моменты, эквивалентны между собой.

Теорема 2. Две пары сил, расположенные в параллельных плоскостях и имеющие геометрически равные векторные моменты, эквивалентны между собой.

Следствие 1. Действие пары сил на тело не изменится, если пару перенести в плоскости действия, повернуть, сохраняя неизменным ее векторный момент.

Следствие 2. Не изменяя векторного момента пары сил на тело, можно изменять модули сил, образующих пару, ее плечо.

Следствие 3. Действие пары сил на тело не изменится, если пару перенести в параллельную плоскость, сохраняя неизменным ее векторный момент.

В связи с этим пару сил в плоскости изображаем дуговой стрелкой, а в пространстве – векторным моментом

3. СЛОЖЕНИЕ ПАР СИЛ

Теорема 1. Две пары сил, расположенные в одной плоскости, можно заменить одной эквивалентной парой, векторный момент которой равен геометрической сумме векторных моментов слагаемых пар сил.

Теорема 2. Две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой, векторный момент которой равен геометрической сумме векторных моментов слагаемых пар сил.

Теорема 3. Действие системы « n » пар сил на тело можно заменить одной эквивалентной парой, векторный момент которой равен геометрической сумме векторных моментов слагаемых пар сил.

Момент силы. Пара сил.

1. Основные понятия и определения статики.

Материальные объекты в статике:

материальная точка,

система материальных точек,

абсолютно твердое тело.

Системой материальных точек, или механической системой, называется такая совокупность материальных точек, в которой положение и движение каждой точки зависит от положения и движения других точек этой системы.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между двумя точками которого не изменяется.

Твердое тело может находиться в состоянии покоя или движения определенного характера. Каждое их этих состояний будем называть кинематическим состоянием тела .

	Сила - мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия. Сила может быть приложена в точке, тогда эта сила – сосредоточенная . Сила может действовать на все точки данного объема или поверхности тела, тогда эта сила – распределенная .
	Система сил - с овокупность сил, действующих на данное тело.
	Равнодействующей называется сила, эквивалентная некоторой системе сил.
	Уравновешивающей силой называется сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону.
	Системой взаимно уравновешивающихся сил называется система сил, которая будучи приложенной к твердому телу, находящемуся в покое, не выводит его из этого состояния.

Внутренние силы – это силы, которые действуют между точками или телами данной системы.

Внешние силы – это силы, которые действуют со стороны точек или тел, не входящих в данную систему.

Задачи статики:

- преобразование систем сил, действующих на твердое тело в эквивалентные им системы;

- исследование условий равновесия тел под действием приложенных к ним сил.

1. Аксиомы статики.

		3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил . Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно-уравновешивающихся сил. Следствие . Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменным ее модуль и направление. С ила - скользящий вектор.
	4. Аксиома параллелограмма сил . Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.

5. Аксиома равенства действия и противодействия . Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

2. Связи и их реакции

Твердое тело называется свободным , если оно может перемещаться в пространстве в любом направлении.

Тело, ограничивающее свободу движения данного твердого тела, является по отношению к нему связью .

Твердое тело, свобода движения которого ограничено связями, называется несвободным .

Все силы, действующие на несвободное твердое тело, можно разделить на:

• задаваемые (активные)
• реакции связей

Задаваемая сила выражает действие на данное тело других тел, способных вызвать изменение его кинематического состояния.

Реакция связи – это сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям.

Принцип освобождаемости твердых тел от связей - несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, на которое кроме задаваемых сил, действуют реакции связей.

Как определить направление реакции?

Если существует два взаимно перпендикулярных направления на плоскости, в одном из которых связь препятствует перемещению тела, а в другом нет, то направление ее реакции противоположно первому направлению.

В общем случае направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

	Неподвижный шарнир Подвижный

3. Момент силы относительно центра

Моментом силы F относительно некоторого неподвижного центра О называется вектор, расположенный перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор силы и центр О, направленный в ту сторону, чтобы смотря с его конца можно было видеть поворот силы F относительно центра О против часовой стрелки.

Свойства момента силы относительно центра:

	1) Модуль момента силы относительно центра может быть выражен удвоенной площадью треугольника ОАВ (1.1) 2) Момент силы относительно центра равен нулю в том случае, если линия действия силы проходит через эту точку, то есть h = 0 .
	3) Если из точки О в точку приложения силы А провести радиус вектор, то вектор момента силы можно выразить векторным произведением (1.2)
	4) При переносе силы по линии ее действия вектор ее момента относительно данной точки не изменяется.

Если к твердому телу приложено несколько сил, лежащих в одной плоскости, можно вычислить алгебраическую сумму моментов этих сил относительно любой точки этой плоскости

Момент М О , равный алгебраической сумме моментов данной системы относительно какой-либо точки в той же плоскости, называют главным моментом системы сил относительно этой точки.

3. Момент силы относительно оси

Чтобы определить момент силы относительно оси необходимо:

1) провести плоскость, перпендикулярную к оси Z;

2) определить точку О пересечения оси с плоскостью;

3) спроецировать ортогонально силу F на эту плоскость;

4) найти момент проекции силы F относительно точки О пересечения оси с плоскостью.

Правило знаков:

Момент силы относительно оси считается положительным , если, смотря навстречу оси Z, можно видеть проекцию , стремящейся вращать плоскость I вокруг оси Z в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

Свойства момента силы относительно оси 1) Момент силы относительно оси изображается отрезком, отложенным по оси Zот точки О в положительном направлении, если > 0 и в отрицательном направлении, если < 0. 2) Значение момента силы относительно оси может быть выражено удвоенной площадью Δ (1.5) 3) Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях: если F 1 = 0 , то есть линия действия силы параллельна оси; eсли h 1 = 0 , то есть линия действия силы пересекают ось.

4. Пара сил. Векторный и алгебраический момент пары сил

Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил и , называется парой сил.

Плоскость, в которой находятся линии действия сил и , называется плоскостью действия пары сил.

Кратчайшее расстояние h между линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары сил .

Момент пары сил определяется произведением модуля одной из сил пары на плечо.

Правило знаков

Вектор момента М пары и направляют перпендикулярно к плоскости действия пары сил в такую сторону, что бы смотря навстречу этому вектору, видеть пару сил стремящейся вращать плоскость ее действия в сторону, обратную вращению часовой стрелки.

1. 4. Свойства пар сил на плоскости

Свойство 1 . Вектор-момент M пары по модулю и направлению равен векторному произведению радиуса вектора АВ на ту из сил этой пары, к началу которой направлен радиус-вектор АВ , то есть

(1.7)

Свойство 2 . Главный момент сил, составляющих пару относительно произвольной точки на плоскости действия пары, не зависит от положения этой точки и равняется моменту этой пары сил.

5. Условия эквивалентности пар сил

Теорема об условии эквивалентности пар сил,

лежащих в одной плоскости.

Пара сил - совокупность двух параллельных друг другу сил равных по величине и направленных в противоположные стороны. Пара сил не может быть более упрощена (заменена одной силой) и представляет собой новую силовую характеристику механического взаимодействия.

Теорема о моменте пары сил. Момент пары сил не зависит от выбора центра привидения и равен произведению любой из сил пары на плечо пары, взятый со знаком «+» при вращении пары против часовой стрелки или со знаком «-» при вращении по часовой.

Плечо пары сил - длина перпендикуляра опущенного из любой точки линии действия одной силы к линии действия другой силы этой пары.

Теорема об эквивалентности пар сил в плоскости. Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их моменты численно равны и одинаковы по знаку.

Следствие. Пару сил, не изменяя ее действие на твердое тело, можно переносить в любое место в плоскости ее действия, поворачивать ее плечо на любой угол, а также изменять это плече и модули сил, не изменяя величины ее момента и направления вращения. Следовательно, основной характеристикой пары сил является ее момент.

Теорема об эквивалентности пар сил в пространстве. Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.

Следствие. Не изменяя действия пары сил на твердое тело, пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия, а также изменять ее силы и плечо, сохраняя неизменным модуль и направление ее момента. Вектор момента пары сил можно переносить в любую точку, т.е. момент пары сил является свободным вектором. Вектор момента пары сил определяет все три ее элемента: положение плоскости действия пары, направление вращения и числовое значение момента.

Теорема о сложении пар сил на плоскости. Систему пар сил можно заменить парой сил, момент которой равен алгебраической сумме моментов исходных пар. Кинематическое состояние тела не изменяется.

Условие равновесия системы пар сил:

Статические инварианты и динамические винты

Инварианты системы сил - величины, не зависящие от выбора центра приведения. Первый векторный инвариант - главный вектор системы сил .

Главный момент не является инвариантом т.к. зависит от центра привидения. Однако существует величина, связанная с главным вектором и не зависящая от центра приведения. Однако существует величина, связанная с главным вектором и не зависящая от центра привидения:

1)

3) .

Второй скалярный инвариант - скалярное произведение главного вектора на вектор главного момента.

.

Главный минимальный момент также инвариантная величина:

.

Динамический винт - совокупность действующих на тело силы F и пары сил с моментом М , лежащей в плоскости перпендикулярной силе F. К динамическому винту приводится в наиболее общем случае произвольная система сил, действующих на тело. Дальнейшее упрощение динамического винта не возможно, т.е. его нельзя заменить одной силой и одной парой сил. Можно лишь сложив F с одной из сил пары привести его к двум скрещивающимся силам.

Справедливость выводов, сделанных в конце § 9, можно доказать непосредственно.

Рассмотрим действующую на твердое тело пару сил F, F. Проведем в ллоскости действия этой пары через произвольные точки D и Е две параллельные прямые до пересечения их с линиями действия сил F, F в точках А и В (рис. 34) и приложим силы F, F в этих точках (первоначально F и F могли быть приложены в любых других точках на их линиях действия). Разложим теперь силу F по направлениям АВ и ЕВ на силы - по направлениям В А и AD на силы Q и Р. Очевидно при этом, что Силы Q и Q, как уравновешенные, можно отбрисить. В результате пара сил F, F будет заменена парой Р, Р с другим плечом и другими силами, которые можно, очевидно, приложить в точках D, Е на их линиях действия. При этом в силу произвольности в выборе точек D, Е и направлений прямых AD и BE пара Р, Р может оказаться расположенной в плоскости ее действия где угодно f? положение, при котором силы Р и Р параллельны F, пару можно привести, проделав указанное преобразование дважды).

Покажем в заключение, что пары имеют одинаковые моменты. Обозначим эти моменты соответственно через где согласно формуле Так как то но (см. подстрочное примечание на с. 32) и, следовательно,

Из доказанного вытекают следующие свойства пары сил:

1) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары;

2) у данной пары, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно произвольно менять модули сил или длину плеча, сохраняя неизменным ее момент.

Можно доказать, что пара сил обладает еще одним достаточно очевидным свойством (доказательство опускаем):

3) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно перенести из данной плоскости в любую другую плоскость, параллельную данной.

Отсюда следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны друг другу (теорема об эквивалентности пар). Это следует из того, что указанными операциями, т. е. путем изменения плеча и перемещения пары в плоскости действия или переноса в параллельную плоскость, пары с одинаковыми моментами могут быть преобразованы одна в другую.

Теперь докажем теорему о сложении пар: система пар, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

Рассмотрим сначала две пары с моментами лежащие в плоскостях (рис. 35). Возьмем на линии пересечения плоскостей отрезок и изобразим пару с моментом силами а пару с моментом - силами (при этом, конечно, ).

Сложив силы, приложенные в точках А и В, убеждаемся, что пары действительно эквивалентны одной паре найдем момент М этой пары. Так как то или согласно формуле

Для двух пар теорема доказана; при этом очевидно, что доказательство сохранится и в случае, когда плоскости и II сливаются (слагаемые пары лежат в одной плоскости).

Если на тело действует система пар с моментами то последовательно применяя результат, полученный для двух пар, найдем, что данная система пар будет действительно эквивалентна одной паре с моментом