Дать определение параллельных плоскостей в пространстве. Геометрия в пространстве

Параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство. Пусть a и b - данные плоскости, а 1 и а 2 – прямые в плоскости a , пересекающиеся в точке А , b 1 и b 2 соответственно параллельные им прямые в плоскости b . Допустим, что плоскости a и b не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой с . Прямая а 1 параллельна прямой b 1 , значит она параллельна и самой плоскости b (признак параллельности прямой и плоскости). Прямая а 2 параллельна прямой b 2 , значит она параллельна и самой плоскости b (признак параллельности прямой и плоскости). Прямая с принадлежит плоскости a , значит хотя бы одна из прямых а 1 или а 2 пересекает прямую с, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая с также принадлежит и плоскости b , значит, пересекая прямую с, прямая а 1 или а 2 пересекает плоскость b , чего быть не может, так как прямые а 1 и а 2 параллельны плоскости b . Из этого следует, что плоскости a и b не пересекаются, то есть они параллельны.

Теорема 1 . Если две параллельные плоскости пересекаются третей, то прямые пересечения параллельны.
Доказательство. Пусть a и b - параллельные плоскости, а g - плоскость, пересекающая их. Плоскость a пересеклась с плоскостью g по прямой а. Плоскость b пересеклась с плоскостью g по прямой b . Линии пересечения а и b лежатв одной плоскости g и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.
Доказательство. Пусть a и b - параллельные плоскости, а а и b – параллельные прямые, пересекающие их. Через прямые а и b проведем плоскость g (эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причем только одну). Плоскость a пересеклась с плоскостью g по прямой АВ. Плоскость b пересеклась с плоскостью g по прямой СД.По предыдущей теореме прямая с параллельна прямой d . Прямые а, b , АВ и СД принадлежат плоскости g .Четырехугольник, ограниченный этими прямыми,есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть АД = ВС

На этом уроке мы рассмотрим три свойства параллельных плоскостей: о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью; о параллельных отрезках, заключенных между параллельными плоскостями; и о рассечении сторон угла параллельными плоскостями. Далее решим несколько задач с использованием этих свойств.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и плоскость , которая пересекает плоскости и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и параллельные прямые АВ и С D , которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и С D равны.

Две параллельные прямые АВ и С D образуют единственную плоскость γ, γ = АВ D С . Плоскость γ пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и В D параллельны.

Прямые АВ и С D также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВ D С - параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и С D равны, что и требовалось доказать.

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости и, которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что .

Параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла А . Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости - ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости - В 1 С 1 . По первому свойству, линии пересечения ВС и В 1 С 1 параллельны.

Значит, треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны. Получаем:

3. Математический сайт Цегельного Виталия Станиславовича ()

4. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ()

1. Точка О - общая середина каждого из отрезков АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , которые не лежат в одной плоскости. Докажите, что плоскости АВС и А 1 В 1 С 1 параллельны.

2. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

3. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и вторую.

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 6, 8, 9 стр. 29

На этом уроке мы дадим определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей. Далее мы докажем теорему - признак параллельности плоскостей и, опираясь на нее, решим несколько задач на параллельность плоскостей.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Параллельные плоскости

На этом уроке мы дадим определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Обозначение : .

Иллюстрация параллельных плоскостей (Рис. 1.)

1. Какие плоскости называются параллельными?

2. Могут ли быть параллельными плоскости, проходящие через непараллельные прямые?

3. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, каждая из которых лежит в одной из двух различных параллельных плоскостей?

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5 стр. 29

Ðассматривается отношение параллельности плоскостей, его свойства и применения.

Наглядное представление о расположении двух

плоскостей дает моделирование с помощью плоскостей поверхностей смежных стен, потолка и пола комнаты, двухъярусных кроватей, двух скрепленных листов бу-

маги и т. п. (рис. 242–244).

Хотя существует бесконечное множество вариантов взаимного расположения различных плоскостей, для установления и характеристики которых в последующем будут применены измерения углов и расстояний, мы сначала остановимся на таких, где в основу классификации (как и прямых с плоскостями) положено количество их общих точек.

1. Две плоскости имеют не менее трёх общих точек, не лежащих на одной прямой. Такие плоскости совпадают (аксиомаС 2 , §7).

2. Общие точки двух плоскостей расположены на одной прямой, являющейся линией пересеченияэтихплоскостей(аксиомаС 3 ,§7). Такие плоскостипересекаются.

3. Две плоскости не имеют общих точек.

В этом случае их называют параллельны-

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность плоскостей обозначается знаком ||: α || β.

Как всегда, при введении геометрических понятий возника-

ет проблема их существования. Существование пересекающих-

ся плоскостей является характерным признаком пространства,

и этим мы уже многократно пользовались. Менее очевидным яв-

ляется существование параллельных плоскостей. Нет никакого

сомнения в том, что, например, плоскости противоположных гра-

ней куба параллельны, то есть не пересекаются. Но непосредс-

твенно, по определению, это установить невозможно. Для реше-

ния поставленного вопроса, а также других вопросов, связанных с

параллельностью плоскостей, необходимо иметь признак параллельности.

Для поиска признака целесообразно рассматривать плоскость,

«сотканную» из прямых. Очевидно, что каждая прямая одной из

параллельных плоскостей должна быть параллельна другой.

В противном случае плоскости будут иметь общую точку. Доста-

точно ли параллельности плоскости β одной прямой плоскости α

для того, чтобы плоскости α и β были параллельными? Безуслов-

но, нет (обоснуйте это!). Практический опыт свидетельствует, что

двух таких пересекающихся прямых достаточно. Чтобы закрепить

на мачте параллельную земле площадку, достаточно положить ее

на две прикрепленные к мачте балки, параллель-
ные земле (рис. 245). Можно привести еще много
примеров применения этого приема обеспечения
параллельности плоских поверхностей реальных
объектов (попробуйте это сделать!).
Приведенные рассуждения позволяют сформу-
лировать следующее утверждение.
		(признак параллельности плоскостей).
		пересекающиеся прямые одной плоско-

сти параллельны второй плоскости, то эти плоскости параллельны.

 Пусть пересекающиеся прямыеа иb плоскости α параллельны плоскости β. Докажем, что плоскости α и β параллельны методом от противного. Для этого допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой

т (рис. 246). Прямыеа иb пересекать прямуют не могут по условию. Однако тогда в плоскости α через одну точку проведены две прямые, не пересекающиеся с прямойт, то есть параллельные ей. Это противоречие

и завершает доказательство теоремы.

Признаком параллельности плоскостей пользуются при горизонтальном размещении плоских конструкций (бетонных плит, пола, диска угломерных приборов и т. п.) с помощью двух уровней, размещенных в плоскости конструкции на пересекающихся прямых. На основании этого признака можно выполнить построение плоскости, параллельной данной.

Задача 1. Через точку, лежащую вне данной плоскости, провести плоскость, параллельную данной.

 Пусть даны плоскость β и точкаМ вне плоскости (рис. 247, а). Проведем через точкуМ две пересекающиеся прямыеа иb , параллельные плоскости β. Для этого нужно взять в плоскости β две пересекающиеся прямыес иd (рис. 247, б). Потом через точкуМ провести прямыеа иb , параллельные прямымс иd соответствен-

но (рис. 247, в).

Пересекающиеся прямые а иb параллельны плоскости β, по признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11). Они определяют однозначно плоскость α. Согласно доказанному признаку, α || β.

Пример 1. Дан кубABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , точкиМ ,N ,Р – середины реберВС ,В 1 С 1 ,А 1 D 1 соответственно. Установить взаимное расположение плоскостей: 1)АВВ 1 иPNM ; 2)NMA иA 1 C 1 C ; 3)A 1 NM

и РC 1 C ; 4)МAD 1 иDB 1 C.

 1) ПлоскостиABB 1 иРNM (рис. 248) параллельны, по признаку параллельности плоскостей (теорема 1). Действительно, прямыеРN иNM пересекаются и параллельны плоскостиABB 1 , по признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11), ведь отрезкиРN иNM соединяют середины противоположных сторон квадратов, поэтому они параллельны сторонам квадратов:

РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.

2) Плоскости NMA иA 1 C 1 C пересекаются по прямойAA 1 (рис. 249). Действительно, прямыеAA 1 иСC 1 параллельны, по признаку параллельности прямых (AA 1 ||ВB 1 ,ВB 1 ||СC 1 ). Поэтому прямаяAA 1 лежит в плоскостиA 1 C 1 C . Аналогично обосновывается принадлежность прямойAA 1 плоскостиNMA .

3) Плоскости A 1 NM иРC 1 C (рис. 250) параллельны, по признаку параллельности плоскостей. Действительно,NM ||С 1 C . Поэтому прямаяNM параллельна плоскостиРC 1 C. ОтрезкиРC 1 иA 1 N также параллельны, поскольку четырехугольникРC 1 NA 1 – параллелограмм(А 1 P ||NC 1 ,A 1 P =NC 1 ). Таким образом, прямаяA 1 N параллельна плоскостиРC 1 C. ПрямыеA 1 N иNM пересекаются.

4) Плоскости MAD 1 иDB 1 C пересекаются (рис. 251). Хотя линию их пересечения построить непросто, но указать одну точку этой линии нетрудно. Действительно, прямыеA 1 D иВ 1 C - параллельны, поскольку четырехугольникA 1 B 1 CD – параллелограмм (A 1 B 1 =AВ = СD ,A 1 B 1 ||AВ ,AВ ||СD ). Поэтому прямаяA 1 D принадлежит плоскостиDB 1 C. ПрямыеA 1 D иAD 1 пересекаются в точке, общей для плоскостейMAD 1 , иDB 1 C.

		Приведенный признак параллельности плоскостей
		иногда удобнее использовать в несколько другой
	1′ (признак параллельности плоскостей).

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Пользуясь признаком параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11), нетрудно установить, что из условия теоремы 1′ вытекает условие теоремы 1. Применение теоремы, обратной признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 2 §11) завершает обоснование эквивалентности условий теорем 1 и 1′.

Естественно возникает вопрос об однозначности приведенного в задаче 1 построения. Поскольку нам придется не раз воспользоваться этим свойством, то выделим его как отдельную теорему. Однако сначала рассмотрим другое утверждение.

Теорема 2 (о пересечении двух параллельных плоскостей третьей).

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.

 Пусть даны параллельные плоскости α, β и плоскость γ, их пересекающая (рис. 252). Обозначим линии пересечения

через а иb. Эти прямые лежат в плоскости γ и не пересекаются, поскольку плоскости α и β не имеют общих точек. Поэтому пря-

мые а иb - параллельны.

Теорема 3 (о существовании и единственности плоскости, параллельной данной).

Через точку, расположенную вне данной плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную данной.

 Построение такой плоскости выполнено в задаче 1. Однозначность построения докажем методом от противного. Допустим, что через точкуМ проведены две различные плоскости α и γ, па-

раллельные плоскости β (рис. 253), и прямая т - линия их пересечения. Проведем через точкуМ плоскость δ, пересекающуюся с прямой

т и плоскостью β (как это можно сделать?). Обозначим череза иb

линии пересечения плоскости δ с плоскостями α и γ, а черезс - линию пересечения плоскостей δ и β(рис. 253). Согласно теореме 2,а ||с

и b ||с. То есть в плоскости δ через

точку М проходят две прямые, параллельные прямойс. Противоречие свидетельствует о неверности предположения.

Отношение параллельности плоскостей обладает рядом свойств, имеющих аналоги в планиметрии.

Теорема 4 (об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями).

Отрезки параллельных прямых, отсекаемые параллельными плоскостями, равны между собой.

 Пусть даны две параллельные плоскости α и β и отрезки АВ

и СD параллельных прямыхa иd , отсекаемые этими плоскостями (рис. 254, а). Проведем через прямыеa иd плоскость γ (рис. 254, б). Она пересекает плоскости α и β по прямымАС иBD, которые, согласно теореме 2, параллельны. Поэтому четырехугольникАBСD - параллелограмм, его противоположные стороныАС иBD равны.

Из приведенного свойства вытекает, что если от всех точек плоскости отложить

по одну сторону от плоскости параллельные отрезки одинаковой длины, то концы этих отрезков образуют две параллельные плоскости. Именно на этом свойстве основано построение параллелепипеда с помощью отложения отрезков (рис. 255).

Теорема 5 (о транзитивности отношения параллельности плоскостей).

Если каждая из двух плоскостей параллельна третьей, то данные две плоскости параллельны между собой.

 Пусть плоскости α и β параллельны плоскости γ. Допустим, что

α и β не параллельны. Тогда плоскости α и β имеют общую точку, и через эту точку проходят две различные плоскости, параллельные плоскости γ, что противоречит теореме 3. Поэтому плоскости α и β не имеют общих точек, то есть они параллельны.

Теорема 5 является еще одним признаком параллельности плоскостей. Она широко применяется как в геометрии, так и в практической деятельности. Например, в многоэтажном здании параллельность плоскостей пола и потолка на каждом этаже гарантирует их параллельность и на разных этажах.

Задача 2. Доказать, что если прямаяа пересекает плоскость α, то она пересекает также каждую плоскость, параллельную плоскости α.

 Пусть плоскости α и β параллельны, а прямаяа пересекает плоскость α в точкеА . Докажем, что она пересекает и плоскость

β. Допустим, что это не так. Тогда прямая а параллельна плоскости β. Проведем плоскость γ через прямуюа и произвольную точку плоскости β (рис. 256).

Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по прямым b ис . Со-

гласно теореме 2, b || с, то есть в плоскости γ через точкуА проходят две прямыеа иb, параллельные прямойс . Это противоречие и доказывает утверждение.

Попробуйте доказать самостоятельно, что если плоскость α пересекает плоскость β, то она пересекает также каждую плоскость, параллельную плоскости β.

Пример 2. В тетраэдреАBCD точкиK ,F, Е - середины реберDA, DС, DВ, аМ иР - центры масс гранейАВD иВСD соответственно.

1) Установить взаимное расположение плоскостей KEF иABC ;

DEF и ABC.

2) Построить линию пересечения плоскостей AFB иKEC.

3) Найти площадь сечения тетраэдра плоскостью, параллельной плоскости АВD и проходящей через точкуР , если все рёбра тетраэдра равныа.

 Построим рисунок, соответствующий условию (рис. 257, а). 1) ПлоскостиKEF иABC параллельны, по признаку параллельности плоскостей (теорема 1’): пересекающиеся прямыеKE иKF плоскостиKEF параллельны пересекающимся прямымAB иAC плоскостиABC (на них лежат средние линии соответствую-

щих треугольников).

Плоскости DEF иABC пересекаются по прямойBC , так как прямаяBC принадлежит обеим плоскостям, а совпадать они не могут - точкиА ,В ,С ,D не лежат в одной плоскости.

2) Плоскость AFB пересекается с плоскостьюKEC по прямой, содержащей точкуР , так как прямыеСЕ иBF , лежащие в этих плоскостях, находятся в плоскостиBCD и пересекаются в точкеР . Другой точкой является точка пересеченияQ прямыхAF иCK в плоскостиACD (рис. 257, б). Очевидно, что эта точка является центром масс граниACD. Искомым пересечением является прямаяPQ.

3) Построим сечение, указанное в условии, пользуясь признаком параллельности плоскостей. Проведем через точки P иQ прямые, параллельные прямымDB иDA соответственно (рис. 257, в). Эти прямые пересекают отрезокCD в точкеL. Последнее вытекает из свойства центра масс треугольника - он делит медианы треугольника в отношении 2: 1, считая от вершины. Осталось применить теорему Фалеса. Таким образом, плоскостиPLQ иBDA параллельны. Искомым сечением является треугольникLSN.

По построению, треугольники BCD иSCL подобны с коэффициентом подобияCE CP =3 2 . ПоэтомуLS =3 2 BD . Аналогично уста-

навливаются равенства: LN =3 2 AD ,NS =3 2 AB . Отсюда вытекает, что треугольникиLSN иABD подобны с коэффициентом подобия3 2 . По свойствам площадей подобных треугольников,

S LNS =4 9 S ABD . Осталось найти площадь треугольникаABD. По-

скольку, по условию, все рёбра тетраэдра равны а , тоS ABD =4 3 a 2 .

Искомая площадь равна 3 1 3 a 2 .

Уместно обратить внимание на то, что ответ зависит лишь от площади грани ABD. Поэтому равенство всех рёбер является лишь средством найти эту площадь. Таким образом, данную задачу можно существенно обобщить.

Ответ. 1)KEF ||ABC ; 3)3 1 3 a 2 .

 Контрольные вопросы

1. Верно ли, что две плоскости параллельны, если каждая прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

2. Плоскости α и β параллельны. Существуют ли скрещивающиеся прямые, лежащие в этих плоскостях?

3. Две стороны треугольника параллельны некоторой плоскости. Параллельна ли этой плоскости третья сторона треугольника?

4. Две стороны параллелограмма параллельны некоторой плоскости. Верно ли, что плоскость параллелограмма параллельна данной плоскости?

5. Могут ли быть неравными отрезки двух прямых, отсекаемые параллельными плоскостями?

6. Может ли сечением куба быть равнобокая трапеция? Может ли сечением куба быть правильный пятиугольник? Верно ли, что две плоскости, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой?

Линии пересечения плоскостей α и β плоскостью γ параллельны между собой. Параллельны ли плоскости α и β?

Могут ли три грани куба быть параллельными одной плоскости?

Графические упражнения

1. На рис.258 изображен кубABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , точкиМ ,N ,K ,L ,Р - середины соответствующих рёбер. Заполните по приведенному образцу таблицу, выбрав необходимое расположение плоскостей α и β.

Взаимное

расположение

α || β α = β

α × β α || β α = β

A1 B1 C1			D 1 KP
и ADC	и BB1 D	и MNP	и BMN
	B 1 KP	A1 DC1	A1 C1 C
и PLN	и DMN	и AB1 C	и MKP

2. На рис. 259 изображен тетраэдрABCD, точкиK ,F, M ,N ,Q - середины соответствующих рёбер. Укажите:

1) плоскость, проходящую через точку K параллельно плоскостиABC;

2) плоскость, проходящую через прямую BD параллельно плоскостиMNQ.

3. Определите, чем является сечение фигуры плоскостью, проходящей через данные три точки, изображенные на рисун-

ках 260, а)–д) и 261, а)–г).

4. Постройте рисунок по приведенным данным.

1) Из вершин параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость соответственно в точкахA 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1 .

2) Треугольник A 1 B 1 C 1 является проекцией треугольникаABC на параллельную ему плоскость α. ТочкаМ - серединаВС ,М 1 - проекция точкиМ на плоскость α.

207. В кубеABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точкиО ,О 1 - центры гранейABCD иA 1 B 1 C 1 D 1 соответственно,М - середина ребраАВ .

1°) Определите взаимное расположение плоскостей МО 1 О

и ADD 1 ,ABD 1 иСО 1 С 1 .

2°) Постройте точку пересечения плоскости DCC 1 и прямойМО 1 и линию пересечения плоскостейМСС 1 иA 1 D 1 C 1 .

3) Найдите площадь сечения куба плоскостью, параллельной плоскости AD 1 C 1 и проходящей через точкуО 1 , если ребро куба равноа.

208. В тетраэдреABCD точкиK ,L ,Р - центры масс гранейABD ,BDC ,ABC соответственно, аМ - середина ребраAD .

1°) Определите взаимное расположение плоскостей ACD

и KLP ;МLK иABC .

2°) Постройте точку пересечения плоскости ABC и прямойМL и линию пересечения плоскостейМKL иABC.

3) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K ,L иМ параллельно прямойAD, если все рёбра тетраэдра равныа.

209. Дан кубABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . ТочкиL, M, M 1 - середины рёберAB, AD иA 1 D 1 соответственно.

1°) Определите взаимное расположение плоскостей B 1 D 1 D

и LMM1 .

2) Постройте плоскость, проходящую через точку М параллельно плоскостиACC 1 .

3) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку M 1 параллельно плоскостиCDD 1 .

4) Определите взаимное расположение плоскостей МА 1 В 1

и CDМ1 .

5) Постройте плоскость, проходящую через прямую C 1 D 1 параллельно плоскостиCDM 1 .

210. В правильной четырехугольной пирамидеSABCD все рёбра равны между собой. ТочкиL ,M иN - середины рёберAS ,BS ,CS соответственно.

1°) Определите взаимное расположение: прямых LM иBC ; прямойLN и плоскостиABD; плоскостейLMN иBDC .

2°) Докажите, что треугольники ABC иLMN подобны.

3) Постройте сечение пирамиды плоскостью AMN ; плоскостьюLMN; плоскостьюLBC .

4*) Какое из сечений пирамиды, проходящих через вершину S , имеет наибольшую площадь?

Параллельность прямых и плоскостей

В тетраэдре SABC все грани - правильные треугольники. ТочкиL, M иN - середины рёберAS, BS, CS соответственно. 1°) Определите взаимное расположение прямыхLM иВС. 2°) Определите взаимное расположение прямойLN и плоскостиАВС.

3) Докажите, что треугольники LMN иAВС подобны.

Из вершин параллелограмма ABCD, лежащего в одной из
двух параллельных плоскостей, проведены попарно парал-
лельные прямые, пересекающие вторую плоскость соответс-
твенно в точках A 1 ,В 1 ,C 1 ,D 1 .
1°) Докажите, что четырехугольник A 1 B 1 C 1 D 1 – параллело-
2°) Докажите, что параллелограммы ABCD иA 1 B 1 C 1 D 1
равны между собой.
3°) Определите взаимное расположение плоскостей АВВ 1
и DD1 C1 .
4) Проведите через середину отрезка АА 1 плоскость так,
чтобы она пересекала данные прямые в точках, являющих-
ся вершинами параллелограмма, равного параллелограм-
му ABCD.
Даны две параллельные плоскости и точка О , не принадле-
жащая ни одной из этих плоскостей и не лежащая между
ними. Из точки О		проведены три луча, пересекающие плос-
кости соответственно в точках A ,B, C иA 1 ,B 1 ,C 1 ине лежа-
щие в одной плоскости.
1°) Определите взаимное расположение данных плоскостей
иплоскости,проходящейчерезсерединыотрезковAA 1 ,BB 1 ,CC 1 .
2) Найдите периметр треугольника A 1 B 1 C 1 , еслиOA = m,
AA 1 = n, AB = c, AC = b, BC = а.
Треугольник А 1 В 1 С 1 является проекцией треугольникаАВС
на параллельную ему плоскость α. Точка M - середина сто-
роны ВС ;М 1 - проекция точкиМ			на плоскость α. Точка N
делит сторону АВ		в отношении 1:2.	плоскости M 1 MN и пря-
1) Постройте точку пересечения N 1
мой А 1 В 1 .
2) Определите форму четырехугольника M 1 N 1 NM.
	M лежит вне плоскости трапецииABCB с основания-
ми AD	и BC. Постройте линию пересечения плоскостей:
1°) ABM иCDM ;		2) CBMи ADM.

Постройте сечение куба, являющееся: 1°) равносторонним треугольником; 2) пятиугольником.

217. Постройте сечение тетраэдра, являющееся параллелограммом.

218°. Докажите, что противоположные грани параллелепипеда параллельны.

219. Докажите, что множество всех прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной плоскости, образует плоскость, параллельную данной.

220. Даны четыре точкиA ,B ,C ,D , не лежащие в одной плоскости. Докажите, что каждая плоскость, параллельная прямымAB иCD, пересекает прямыеAC, AD, BD, BC в вершинах параллелограмма.

221. Докажите, что плоскость и прямая, не принадлежащая этой плоскости, параллельны между собой, если обе они параллельны одной и той же плоскости.

222. Через точкуО пересечения диагоналей кубаABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведена плоскость параллельно граниABCD. Эта плоскость пересекает рёбраBB 1 иCC 1 в точкахM иN соответственно. Докажите, что уголMON - прямой.

223. Докажите, что две плоскости параллельны между собой тогда и только тогда, когда каждая прямая, пересекающая одну из плоскостей, пересекает и вторую.

224*. В треугольной пирамидеSABC через отрезкиAD иCE, гдеD - серединаSB, аE - серединаSA , проведите сечения пирамиды, параллельные между собой.

225. Найдите геометрические места:

1) середин всех отрезков с концами на двух данных параллельных плоскостях; 2*) середин отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых.

226*. СторонаАВ треугольникаАВС , лежащего в плоскости α, параллельна плоскости β. Равносторонний треугольникА 1 В 1 С 1 является параллельной проекцией треугольникаАВС на плоскость β;АВ = 5,ВС = 6,АС = 9.

1) Установите взаимное расположение прямых АВ иА 1 В 1 ,

ВС и В1 С1 , А1 С1 и AC.

2) Найдите площадь треугольника А 1 В 1 С 1 .

227*. Даны две скрещивающиеся прямые. Укажите множество всех точек пространства, через которые можно провести прямую, пересекающую каждую из двух данных прямых.

Основное определение

Две плоскости называ-

ются параллельными,

если они не имеют общих точек.

Основные утверждения

Признак парал- Если две пересекаю-лельности двух щиеся прямые однойплоскостей плоскости соответственно параллельны двум прямым второй плоскости, то эти плос-

кости параллельны.

Теорема о пе- Если две параллель-ресечении двух ные плоскости пе-параллельных ресекаются третьейплоскостей плоскостью, то линиитретьей пересечения плоскос-

тей параллельны.

a α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β

α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b

M α

β: α || β,М β

Готовимся к тематичес-

кому оцениванию по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Задания для самоконтроля

1. Четыре точки не принадлежат одной плоскости. Могут ли некоторые три из них лежать на одной прямой?

2. Могутлитриразличныеплоскостииметьровнодвеобщиеточки?

3. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть одновременно параллельными третьей прямой?

4. Верно ли, что прямые а иb не параллельны, если не существует прямойс , параллельнойа иb ?

5. Могут ли равные отрезки иметь неравные проекции?

6. Может ли луч быть параллельной проекцией прямой?

7. Может ли квадрат быть изображением куба?

8. Верно ли, что через данную точку пространства можно провести только одну плоскость, параллельную данной прямой?

9. Всегда ли через данную точку можно провести прямую, параллельную двум данным плоскостям, не содержащим эту точку?

10. Можно ли через две скрещивающиеся прямые провести параллельные плоскости?

Ответы к заданиям для самоконтрол я

Образец контрольной работы

Два параллелограмма АBCD иАBC 1 D 1 лежат в различных плоскостях.

1°) Определите взаимное расположение прямых CD иC 1 D 1 .

2°) Определите взаимное расположение прямой C 1 D 1 и плоскости

3°) Постройте линию пересечения плоскостей DD 1 С 1 иВСС 1 .

4°)ОпределитевзаимноерасположениеплоскостейАDD 1 иВCC 1 .

5) Через точку М , делящую отрезокАВ в отношении 2:1, считая от точкиА , проведите плоскость α, параллельную плоскостиС 1 ВС. 6) Постройте точку пересечения прямойАС с плоскостью α и найдите отношение, в котором эта точка делит отрезокАС.

		Параллельность прямых и плоскостей
Взаимное расположение прямых в пространстве
			Таблица 21
	Число общих точек
Не менее двух
		лежат в одной	не лежат в од-
		плоскости	ной плоскости

Взаимноерасположениепрямыхиплоскостейвпространстве

			Таблица 22
	Число общих точек
Не менее двух		Отсуствуют

а лежит в α	а пересекает α	а і α - параллель-
(а α)	(а × α)	ны (а || α)
Взаимное расположение плоскостей в пространстве
		Таблица 23
	Число общих точек
Не менее трех,	Не меньше одной, но	Отсуствуют
не лежащих на	нет общих точек, не ле-
одной прямой	жащих на одной прямой

Тригонометрические

С тригонометрическими функциями вы уже имели дело на уроках гео­ метрии. До сих пор их приложения, в основном, ограничивались решени­ ем треугольников, то есть речь шла о нахождении одних элементов тре­ угольника по другим. Из истории математики известно, что возникновение тригонометрии связано с измерением длин и углов. Однако, теперь сфера

ее приложений намного шире, чем в древности.

Слово «тригонометрия» происходит от греческих τριγωνον

(trigonon) – треугольник и µετρεω (metreo) - меряю, изме-

ряю. Буквально оно означает измерение треугольников.

В этой главе систематизируется материал, уже известный вам из кур­ са геометрии, продолжается изучение тригонометрических функций и их приложений для характеристики периодических процессов, в частности, вращательного движения, колебательных процессов и т. п.

Большинство применений тригонометрии касаются именно перио­ дических процессов, то есть процессов, повторяющихся через равные промежутки времени. Восход и закат Солнца, изменения времен года, вращения колеса - это простейшие примеры таких процессов. Меха­ нические и электромагнитные колебания являются также важными при­ мерами периодических процессов. Поэтому исследование периодических процессов - важное задание. И роль математики в его решении является определяющей.

готовимся к изучению темы «Тригонометрические функции»

Изучение темы «Тригонометрические функции» целесообразно начать с повторения определений и свойств тригонометрических функций углов треугольников и их применений для решения как прямоугольных, так и произвольных треугольников.

Синус, косинус, тангенс, котангенс углов прямоугольного

треугольника

Таблица 24

Синусом острого угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin α = a c .

Косинусом острого угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cosα = b c .

Тангенсом острого угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg α =a b .

Котангенсом острого угла называют отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctgα = a b .

Синус, косинус, тангенс, котангенс углов от 0° до 180°

Таблица 25

sin α = R y ; cosα = R x ;

tg α = x y ; ctgα = x y .

(х ;у ) - координаты точкиА , расположенной на верхней полуокружности,α - угол, образованный радиусомОА окружности с осьюх .

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса

некоторых углов

Таблица 26

Угол t

0°

90°

180°

sin t

cos t

tg t

ctg t

Тригонометрические функции

Решение произвольных треугольников

Таблица 27

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов:

sina α = sinb β = sinc γ .

Теорема косинусов

Квадрат произвольной стороны треугольника равен суммеквадратовдвухдругихсторонбезудвоенногопроизведения этих сторон на косинус угла между ними:

c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cosγ , b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cosβ , a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cosα .

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними:

S =1 2 ab sin γ =1 2 ac sin β =1 2 bc sin α.

Основные тригонометрические тождества

)

Таблица 28

0 ° ≤ α ≤ 180°

sin2 α + cos2 α = 1

0 ° ≤ α ≤ 180°, α ≠ 90°

1 +tg α =cos 2 α

0 ° < α < 180°

1 + ctg2 α =

sin2 α

Дан треугольник АВС ,С = 90°,ВС =3 ,АВ = 2. Чему рав-

В?

Б. 45 °.

В. 60 °.

А. 30 °.

Г. Невозможно вычислить без вычислительных средств.

Дан треугольник

АВС, С

ВС = 3,

В = 60°. Чему рав-

АВ?

А. 3

Б. 6.

3 .

По данным сторонам прямоугольного треугольника найдите

косинус меньшего его угла: а = 3,b = 4,c

А. 0,8.

Какое из приведенных значений не может принимать коси-

нус острого угла?

7 − 1

7 2

А.

5. Сравните сумму синусов острых углов произвольного прямоугольного треугольника (обозначим ее через А ) с единицей.

< 1. Б. А = 1.

> 1. Г. Сравнить невозможно. Расположите по возрастанию числа:а = sin 30°,b = cos 30°,

= tg 30°.

< b <c .Б. a <c <b

Тригонометрические функции

Для каких острых углов синус меньше косинуса?

Для всех.

Для меньших 45°.

Для больших 45°.

Г. Ни для каких.

Чему равен cos

α, если α - острый угол прямоугольного тре-

угольника и sin α =

12 .

Длина тени дерева равна 15 м. Лучи Солнца образуют угол

30° с поверхностью Земли. Чему приближенно равна высота

дерева? Выберите наиболее точный результат.

Б. 13 м.

В. 7м.

Чему равно значение выражения

1 − x 2

при х = – 0,8?

Б. –0,6.

Г. ≈ 1,34.

Из формулы a 2 +b 2 =4 выразитеb < 0 черезa .

А. b =4 −a 2 .

Б. b =a 2 −4 .

b = −a 2

− 4 .

b = −4 −a 2 .

Точка А

расположена в ІІІ четверти на расстоянии 3 от оси х и

на расстоянии

10 от начала координат. Какие координаты

имеет точка А ?

Б. (−1; 3).

В. (−1; −3).

Г. (−3; −1).

следующих точек

принадлежит

окружности

x 2+ y 2

= 1?

Б. (0,5; 0,5).

. Г.

15. Укажите координаты точки А , лежащей на окружности радиуса 1 (см. рис.).

(−1; 0).Б. (1; 0).

(0; − 1). Г. (0; 1).А. В.

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться, как показано в следующей таблице.

Две пересекающиеся плоскости

Определение: Две плоскости называют пересекающимися , если они не совпадают , и у них есть общие точки . В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия .

Две параллельные плоскости

Определение: Две плоскости называют параллельными , если они не имеют общих точек .

Признаки параллельности двух плоскостей

Первый признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые , лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены плоскости α и β

Прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются в точке K . Прямые c и d лежат в плоскости β и параллельны прямым a и b соответственно.

Будем доказывать первый признак параллельности двух плоскостей методом «от противного». Для этого предположим, что плоскости α и β не параллельны. Следовательно, плоскости α и β должны пересекаться, причём пересекаться по некоторой прямой. Обозначим прямую линию, по которой пересекаются плоскости α и β буквой l (рис.2) и воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости .

Плоскость α проходит через прямую a , параллельную прямой c , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу , заключаем, что прямые a и l параллельны. В то же время плоскость α проходит через прямую b , параллельную прямой d , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости , заключаем, что прямые b и l параллельны. Таким образом, мы получили, что на плоскости α через точку K проходят две прямые, а именно, прямые a и b , которые параллельны прямой l . Полученное противоречие с аксиомой о параллельных прямых даёт возможность утверждать, что предположение о том, что плоскости α и β пересекаются, является неверным. Доказательство первого признака параллельности двух плоскостей завершено.

Второй признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображены плоскости α и β .

На этом рисунке также изображены прямые a и b , которые лежат в плоскости α и пересекаются в точке K. По условию каждая из прямых a и b параллельна плоскости β . Требуется доказать, что плоскости α и β параллельны.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого признака параллельности двух плоскостей, и мы его оставляем читателю в качестве полезного упражнения.

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике .

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку