Движение тел по криволинейной траектории. Неравномерное движение

В зависимости от формы траектории, движение делится на прямолинейное и криволинейное. В реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д.

Рисунок 1. Траектория и перемещение при криволинейном движении

Определение

Криволинейное движение -- это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). При движении по криволинейной траектории вектор перемещения $\overrightarrow{s}$ направлен по хорде (рис. 1), а l -- длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 2).

Рисунок 2. Мгновенная скорость при криволинейном движении

Однако более удобным является следующий подход. Можно представить это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (см. рис. 4.). Таких разбиений получится меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности само является криволинейным.

Рисунок 4. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Вывод

Для того, чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Задачей исследования криволинейного движения материальной точки является составление кинематического уравнения, описывающего это движение и позволяющего по заданным начальным условиям определить все характеристики этого движения.

Рассмотрим движение тела по произвольной криволинейной траектории. Выше мы уже отмечали, что при движении тела по криволинейной траектории вектор его скорости в любой точке направлен по касательной к траектории. На рисунке показано, почему это так. Средняя скорость равна . Это значит, что направление вектора средней скорости всегда совпадает с направлением перемещения Δr . Но если мы будем приближать конечную точку к начальной, делая промежуток времени Δt все меньше, то, как видно из рисунка, направление вектора Δr будет приближаться к направлению касательной к траектории в начальной точке и в пределе сольется с ней. Но в этом пределе средняя скорость перейдет в мгновенную скорость.

В отличие от скорости, ускорение при движении тела по криволинейной траектории почти никогда не бывает направлено по касательной к траектории. Так как , то направление вектора ускорения всегда совпадает с направлением вектора изменения скорости. Как видно из рисунка, вектор изменения скорости, а, значит, и ускорение направлены внутрь кривизны траектории. В общем случае угол между векторами скорости и ускорения может изменяться от 0 до 180°.

Очень часто ускорение тела при движении по криволинейной траектории раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие: на направление касательной к траектории и на направление перпендикулярное касательной. Составляющая вектора полного ускорения на направление касательной к траектории называется тангенциальным или касательным ускорением (а τ ). Составляющая вектора полного ускорения на направление перпендикулярное касательной называется центростремительным или нормальным ускорением (а ц ).

Если α – угол между направлениями ускорения и скорости, то можно написать:

Кроме того:

Разделение ускорения на две составляющие связано с тем, что каждая составляющая полного ускорения характеризует изменение скорости по одному из двух параметров. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Тангенциальное ускорение совпадает по направлению с вектором скорости, если скорость по величине возрастает и направлено противоположно скорости, если она убывает. При движении с постоянной по величине скоростью тангенциальное ускорение равно нулю. Модуль тангенциального ускорения равен:

Центростремительное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. При движении по прямолинейной траектории центростремительное ускорение равно нулю.

Важным частным случаем движения по криволинейной траектории является движение по окружности. Дело в том, что любую плавную кривую линию можно заменить совокупностью сопряженных дуг окружностей разного радиуса. Пусть имеется некоторая кривая линия. В каждой точке кривой можно провести множество окружностей, касающихся ее в этой точке. Но среди всех этих окружностей имеется одна, которая лучше других описывает кривизну кривой в данной точке. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны линии в этой точке. Таким образом, движение тела по произвольной криволинейной траектории можно представить как последовательное движение по окружностям разного радиуса.

Пусть тело движется по криволинейной траектории. Рассмотрим две очень близкие точки траектории А и В. Так как точки очень близки друг к другу, то можно считать, что они лежат на дуге окружности с радиусом равным радиусу кривизны траектории в данной части траектории - R. Предположим, что скорость тела по величине постоянна. В этом случае тангенциальное ускорение равно нулю и полное ускорение тела равно центростремительному. Треугольник, построенный на векторах v A , v B и Δv равнобедренный и подобен треугольнику АОВ. Значит можно написать:

Пусть Δt – время, за которое тело перешло из точки А в точку В. Так как точки А и В расположены очень близко друг к другу (на рисунке для наглядности они расположены далеко друг от друга), то хорда АВ практически совпадает с дугой АВ. Поэтому можно написать: . А значит получаем:

Так как тангенциальное ускорение равно нулю, то представляет собой центростремительное ускорение. Таким образом получаем формулу для центростремительного ускорения при движении тела по криволинейной траектории:

Здесь v – мгновенная скорость тела, а R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.

Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модуль постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).

Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.

При движении по криволинейной траектории направлен по хорде (рис. 1.19), а l – длина . Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это :

Где v τ , v 0 – величины скоростей в момент времени t 0 + Δt и t 0 соответственно.

В данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

— это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Движение тела при криволинейном движении.

Простейшим видом движения материи является механическое движение, представляющее собой перемещение в пространстве тел или их частей относительно друг друга.

Различают три вида механического движения тел - поступательное, вращательное и колебательное. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают совершенно одинаковые (при наложении совпадающие) линии и имеют одинаковую скорость и одинаковое ускорение (в данный момент времени). Определение вращательного движения тела дано в § 21, колебательного в § 27.

Если форма и размеры тела не оказывают существенного влияния на характер его движения, то такое тело можно рассматривать как материальную точку. Материальной точкой называется тело, формой и размерами которого можно пренебречь в данной задаче. Последняя оговорка весьма существенна: при рассмотрении одного движения тела можно считать его материальной точкой, тогда как при рассмотрении другого движения того же самого тела это может оказаться недопустимым. Например, изучая движение Земли вокруг Солнца, можно и Землю и Солнце считать материальными точками. Изучая же движение Земли вокруг своей оси, нельзя принимать Землю за материальную точку, так как на характер вращательного движения Земли существенно влияют ее форма и размеры.

Перемещение тела можно рассматривать только относительно какого-либо другого тела или группы тел. Поэтому при изучении движения материальной точки необходимо прежде всего выбрать систему отсчета, т. е. систему координат, связанную с телом, относительно которого рассматривается движение материальной точки. Такой системой отсчета может служить, например, прямоугольная система координат XYZ, связанная с какой-нибудь точкой О земной поверхности (рис. 7). Тогда положение материальной точки А в любой момент времени определится координатами xyz. К вопросу о системах отсчета мы еще вернемся в § 14.

Линия, описываемая движущейся материальной точкой, называется траекторией. Отрезок траектории пройденный точкой за некоторый промежуток времени, представляет путь, пройденный точкой

за этот промежуток времени (рис. 7). Движение называется прямолинейным, если траектория - прямая линия, и криволинейным, если траектория - кривая линия.

Пусть материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, прошла за малый промежуток времени малый путь (рис. 8). Проведем касательную к траектории в точке А и хорду А В. Отношение пути, пройденного материальной точкой, к промежутку времени, за который этот путь пройден, называется средней скоростью движения

В общем случае криволинейного (и прямолинейного) движения величина средней скорости может быть различной на разных участках траектории и зависеть от величины рассматриваемого пути или, что то же, от величины промежутка времени Будем бесконечно уменьшать промежуток времени, т. е. положим Тогда точка В будет стремиться к точке хорда к дуге и обе они в пределе совпадут с касательной Таким образом, криволинейное движение по малой дуге перейдет в прямолинейное движение по бесконечно малому отрезку касательной к траектории вблизи точки а средняя скорость на малом пути перейдет в мгновенную, или истинную, скорость в точке А. Поэтому величина мгновенной скорости

Как видно из рис. 8, мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.

Итак, мгновенная скорость движения в любой точке траектории есть вектор, направленный по касательной к траектории, а по величине равный пределу средней скорости при стремлении промежутка времени к нулю:

Из формул (1) и (2) следует, что скорость измеряется в Движение материальной точки называется равномерным, если его скорость не изменяется с течением времени; в противном случае движение называется неравномерным. Неравномерность движения характеризуется физической величиной, называемой ускорением.

Пусть материальная точка переместилась за малый промежуток времени из где она имела скорость в В, где она имеет скорость (рис. 9). На рисунке видно, что изменение (приращение) скорости точки есть вектор равный разности векторов конечной и начальной скоростей:

Отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, называется средним ускорением

Из правила деления вектора на скаляр следует, что среднее ускорение направлено так же, как приращение скорости, т. е. под углом к траектории в сторону ее вогнутости (см. рис. 9).

В общем случае величина среднего ускорения может быть различной на различных участках траектории и зависеть от величины промежутка времени, по которому проводится усреднение. Будем уменьшать промежуток времени. В пределе при точка В будет стремиться к точке и среднее ускорение на пути А В превратится в мгновенное, или истинное, ускорение а в точке Поэтому

Итак, мгновенное ускорение движения в любой точке траектории есть вектор, направленный под углом к траектории в сторону ее вогнутости, а по величине равный пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю.

Из формул (3) и (4) следует, что ускорение измеряется в

Вектор ускорения принято раскладывать на две составляющие, одна из которых направлена по касательной к траектории и называется касательным, или тангенциальным, ускорением другая - по нормали к траектории и называется нормальным, или центростремительным, ускорением (рис. 10). Ускорение и его

составляющие связаны между собой очевидными соотношениями:

Касательное ускорение изменяет только величину скорости, а центростремительное ускорение - только ее направление. Очевидно, что криволинейное движение происходит всегда с ускорением, так как в этом случае скорость обязательно будет изменяться (по крайней мере по направлению).

Пользуясь понятиями высшей математики, можно заменить пределы отношений, стоящих в формулах (2) и (4), производными и написать:

Означают соответственно бесконечно малые изменения (дифференциалы) перемещения, скорости и времени. Следовательно, скорость представляет собой производную перемещения по времени, а ускорение - производную скорости по времени.

Мы ознакомились с общим случаем неравномерного движения материальной точки по криволинейной траектории произвольной формы. В последующих параграфах рассмотрим частные случаи: прямолинейное движение и движение по окружности.

Кинематика - это просто!

Описание движения тела считается полным тогда, когда известно, как движется каждая его точка.
В общем случае любое сложное движение твердого (недеформированного) тела можно представить как сумму двух движений: поступательного и вращательного. Поступательное движение - если любая прямая, проведенная внутри тела, движется параллельно самой себе.
При поступательном движении твердого тела все его точки имеют одинаковые скорости, ускорения, перемещения и траектории.
Поступательное движение может быть и криволинейным.

Для описания поступательного движения тела достаточно составить уравнение движения одной из его точек, тогда расчеты упрощаются.

При криволинейном движении тело движется по криволинейной траектории.
В общем случае криволинейная траектория - это совокупность участков дуг окружностей разного диаметра.
При криволинейном движении векторы скорости и ускорения не направлены вдоль одной прямой.

Частным случаем криволинейного движения является равномерное движение по окружности.

Равномерное движение точки по окружности

Движение по окружности является простейшим видом криволинейного движения.

При равномерном движении точки по окружности:
Скорость движения V по окружности называется линейной скоростью ,
Движущаяся точка за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности.
Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней.

В каждой точке траектории вектор ускорения направлен по радиусу к центру окружности.
Такое ускорение называется центростремительным ускорением .

Модуль центростремительного ускорения равен:

где
а ц - центростремительное ускорение, [м/с2];
υ - линейная скорость, [м/с];
R - радиус окружности, [м].

Путь, пройденный точкой, равномерно движущейся по окружности, за какой-либо отрезок времени t равен:

За один полный оборот по окружности, т.е. за время, равное периоду Т, точка проходит путь, равный длине окружности
При этом линейная скорость точки равна:

Вектор скорости и вектор центростремительного ускорения всегда взаимно перпендикулярны .
Скорость и ускорение остаются постоянными по модулю, но меняют свое направление.

Равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением , так как ускорение непрерывно изменяется по направлению.

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

При вращательном движении вокруг неподвижной оси все точки тела описывают окружности с центром на оси вращения тела.

Каждая точка имеет свою скорость, ускорение и перемещение.

Характеистики вращательного движения

1. Угловая скорость - это отношение угла поворота ко времени, за который он совершается.
Буквенное обозначение угловой скорости - омега.

где единицы измерения

Если тело движется равномерно, то любая точка этого тела за один и тот же отрезок времени поворачивается на один и тот же угол.

2. Частота вращения - это число оборотов в единицу времени.

3. Период вращения - это время одного полного оборота.

4. При вращении полный оборот составляет
тогда

5. Линейная скорость - это скорость точки, движущейся по окружности.
Каждая точка вращающегося тела имеет свою линейную скорость.