Провести полное исследование функции онлайн решение. Исследовании функции онлайн

В данной статье рассмотрим схему исследования функции, а также приведем примеры исследования на экстремумы, монотонность, асимптоты данной функции.

Схема

1. Область существования (ОДЗ) функции.
2. Пересечение функции (если имеется) с осями координат, знаки функции, четность, периодичность.
3. Точки разрыва (их род). Непрерывность. Асимптоты вертикальные.
4. Монотонность и точки экстремума.
5. Точки перегиба. Выпуклость.
6. Исследование функции на бесконечности, на асимптоты: горизонтальные и наклонные.
7. Построение графика.

Исследование на монотонность

Теорема. Ежели функция g непрерывна на , дифференцированная на (а; b) и g’(x) ≥ 0 (g’(x)≤0) , xє(а; b) , то g возрастающая (убывающая) на .

Пример:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ОДЗ: хєR

y’ = x 2 + 6x + 5.

Найдем промежутки постоянных знаков y’ . Поскольку y’ - элементарная функция, то она может менять знаки только в точках, где она превращается в ноль или не существует. Ее ОДЗ: хєR .

Найдем точки, производная в которых равняется 0 (нулю):

y’ = 0;

x = -1; -5.

Итак, y растущая на (-∞; -5] и на [-1; +∞), y нисходящая на .

Исследование на экстремумы

Т. x 0 именуют точкой максимума (max) на множестве А функции g тогда, когда принимается в этой точке функцией значение наибольшее g(x 0) ≥ g(x), xєА .

Т. x 0 именуют точкой минимума (min) функции g на множестве А тогда, когда принимается в этой точке функцией значение наименьшее g(x 0) ≤ g(x), xєА.

На множестве А точки максимума (max) и минимума (min) именуются точками экстремума g . Такие экстремумы еще называют абсолютными экстремумами на множестве .

Если x 0 - экстремума точка функции g в некотором своем округе, то x 0 именуется точкой локального или местного экстремума (max или min) функции g.

Теорема (условие необходимое). Если x 0 - точка экстремума (локального) функции g , то производная не существует или равна в этой т. 0 (нулю).

Определение. Критическими именуют точки с несуществующей или равной 0 (нулю) производной. Именно данные точки подозрительны на экстремум.

Теорема (условие достаточное № 1). Если функция g непрерывна в некотором округе т. x 0 и знак меняет чрез эту точку при переходе производная, то данная точка есть т. экстремума g .

Теорема (условие достаточное № 2). Пускай функция в некотором округе точки дифференцируема дважды и g’ = 0, а g’’ > 0 (g’’ < 0) , тогда эта точка есть точкой максимума (max) или минимума (min) функции.

Исследование на выпуклость

Функцию называют выпуклой вниз (или вогнутой) на интервале (а, b) тогда, когда график функции располагается не выше секущей на промежутке для любых x с (а, b) , которая проходит чрез эти точки.

Функция будет выпуклой строго вниз на (а, b) , если - график лежит ниже секущей на промежутке.

Функцию называют выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке (а, b) , если для любых точек с (а, b) график функции на промежутке лежит не ниже секущей, проходящей через абсциссы в этих точках .

Функция будет строго выпуклой вверх на (а, b ), если - график на промежутке лежит выше секущей.

Если функция в некотором округе точки непрерывна и через т. x 0 при переходе функция изменяет выпуклость то эта точка именуется точкой перегиба функции.

Исследование на асимптоты

Определение. Прямую называют асимптотой g(x) , если при бесконечном удалении от начала координат к ней приближается точка графика функции: d(M,l).

Асимптоты могут быть вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальная прямая с уравнением x = x 0 будет асимптотой вертикальной графика функции g , если в т. x 0 бесконечный разрыв, то есть хотя бы одна левая или правая граница в этой точке - бесконечность.

Исследование функции на отрезке на значение наименьшее и наибольшее

Если функция непрерывна на , то по теореме Вейерштрасса существует значение наибольшее и значение наименьшее на этом отрезке, то есть существуют точки, которые принадлежат такие, что g(x 1) ≤ g(x) < g(x 2), x 2 є . Из теорем про монотонность и экстремумы получаем следующую схему исследования функции на отрезке на наименьшее и наибольшее значение.

План

1. Найти производную g’(x) .
2. Искать значение функции g в этих точках и на концах отрезка.
3. Найденные значения сравнить и выбрать наименьшее и наибольшее.

Замечание. Если нужно произвести исследование функции на конечном интервале (а, b) , или на бесконечном (-∞; b); (-∞; +∞) на max и min значение, то в плане вместо значений функции на концах промежутка ищут соответствующие односторонние границы: вместо f(a) ищут f(a+) = limf(x) , вместо f(b) ищут f(-b) . Так можно найти ОДЗ функции на промежутке, потому что абсолютные экстремумы не обязательно существуют в данном случае.

Применение производной к решению прикладных задач на экстремум некоторых величин

1. Выражают данную величину через другие величины из условия задачи так, чтобы она была функцией только от одной переменной (если это возможно).
2. Определяют промежуток изменения этой переменной.
3. Проводят исследование функции на промежутке на max и min значения.

Задача. Нужно построить площадку прямоугольной формы, использовав а метров сетки, у стены так, чтобы с одной стороны она прилегала к стене, а с остальных трех была ограждена сеткой. При каком соотношении сторон площадь такой площадки будет наибольшей?

S = xy - функция 2 переменных.

S = x(a - 2x) - функция 1-й переменной; x є .

S = ax - 2x 2 ; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8 - наибольшее значение;

S(0) =0.

Найдем другую сторону прямоугольника: у = a: 2.

Соотношение сторон: y: x = 2.

Ответ. Наибольшая площадь будет равна a 2 /8 , если сторона, которая параллельна стене, в 2 раза больше другой стороны.

Исследование функции. Примеры

Пример 1

Имеется y=x 3: (1-x) 2 . Произвести исследование.

1. ОДЗ: хє(-∞; 1) U (1; ∞).
2. Общего вида функция (ни четная, ни нечетная), относительно точки 0 (нуль) не симметрична.
3. Знаки функции. Функция элементарная, поэтому может менять знак только в точках, где она равна 0 (нулю), или не существует.
4. Функция элементарная, поэтому непрерывная на ОДЗ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Разрыв: х = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞ - Разрыв 2-го рода (бесконечный), поэтому есть вертикальная асимптота в точке 1;

х = 1 - уравнение асимптоты вертикальной.

5. y’ = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ОДЗ (y’): x ≠ 1;

х = 1 - точка критическая.

y’ = 0;

0; 3 - точки критические.

6. y’’ = 6x: (1 - x) 4 ;

Критические т.: 1, 0;

x = 0 - т. перегиба, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞ - нет горизонтальной асимптоты, но может быть наклонная.

k = 1 - число;

b = 2 - число.

Следовательно, есть асимптота наклонная y = x + 2 на + ∞ и на - ∞.

Пример 2

Дано y = (x 2 + 1) : (x - 1). Произвести и сследование. Построить график.

1. Область существования - вся числовая прямая, кроме т. x = 1 .

2. y пересекает OY (если это возможно) в т. (0;g(0)) . Находим y(0) = -1 - т. пересечения OY .

Точки пересечения графика с OX находим, решив уравнение y = 0 . Уравнение корней действительных не имеет, поэтому эта функция не пересекает OX .

3. Функция непериодическая. Рассмотрим выражение

g(-x) ≠ g(x), и g(-x) ≠ -g(x) . Это означает, что это общего вида функция (ни четная, ни нечетная).

4. Т. x = 1 разрыв имеет второго рода. Во всех остальных точках функция непрерывна.

5. Исследование функции на экстремум:

(x 2 - 2x - 1) : (x - 1) 2 = y"

и решим уравнение y" = 0.

Итак, 1 - √2, 1 + √2, 1 - точки критические или точки возможного экстремума. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала.

На каждом интервале производная имеет определенный знак, который можно установить методом интервалов или вычисления значений производной в отдельных точках. На интервалах (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , положительная производная, значит, функция растет; если xє (1 - √2 ; 1) U (1; 1 + √2 ) , то функция убывает, потому что на этих интервалах производная отрицательная. Через т. x 1 при переходе (движение следует слева направо) изменяет производная знак с "+" на "-", поэтому, в этой точке есть локальный максимум, найдем

y max = 2 - 2√2 .

При переходе через x 2 изменяет производная знак с "-" на "+", поэтому, в этой точке есть локальный минимум, причем

y mix = 2 + 2√2.

Т. x = 1 не т. экстремума.

6. 4: (x - 1) 3 = y"".

На (-∞; 1 ) 0 > y"" , следственно, на этом интервале кривая выпуклая; если xє(1 ; ∞) - кривая вогнута. В точке 1 не определена функция, поэтому эта точка не точка перегиба.

7. Из результатов пункта 4 следует, что x = 1 - асимптота вертикальная кривой.

Горизонтальные асимптоты отсутствуют.

x + 1 = y - асимптота наклонная данной кривой. Других асимптот нет.

8. Учитывая проведенные исследования, строим график (см. рисунок выше).

Сегодня мы предлагаем вместе с нами исследовать и построить график функции. После внимательного изучения данной статьи вам не придется долго потеть над выполнением подобного рода задания. Исследовать и построить график функции нелегко, работа объемная, требующая максимального внимания и точности вычислений. Для облегчения восприятия материала мы будем поэтапно изучать одну и ту же функцию, объясним все наши действия и вычисления. Добро пожаловать в удивительный и увлекательный мир математики! Поехали!

Область определения

Для того чтобы исследовать и построить график функции, необходимо знать несколько определений. Функция является одним из основных (базовых) понятий в математике. Она отражает зависимость между несколькими переменными (двумя, тремя и более) при изменениях. Так же функция показывает зависимость множеств.

Представьте, что у нас есть две переменные, которые имеют определенный диапазон изменения. Так вот, у - это функция от х, при условии, что каждому значению второй переменной соответствует одно значение второй. При этом переменная у - зависима, ее и называют функцией. Принято говорить, что переменные х и у находятся в Для большей наглядности данной зависимости строят график функции. Что такое график функции? Это множество точек на координатной плоскости, где каждому значению х соответствует одно значение у. Графики могут быть разные - прямая линия, гипербола, парабола, синусоида и так далее.

График функции невозможно построить без исследования. Сегодня мы научимся проводить исследование и построим график функции. Очень важно в ходе исследования на наносить пометки. Так справиться с задачей будет намного проще. Наиболее удобный план исследования:

1. Область определения.
2. Непрерывность.
3. Четность или нечетность.
4. Периодичность.
5. Асимптоты.
6. Нули.
7. Знакопостоянство.
8. Возрастание и убывание.
9. Экстремумы.
10. Выпуклость и вогнутость.

Начнем с первого пункта. Найдем область определения, то есть на каких промежутках существует наша функция: у=1/3(х^3-14х^2+49х-36). В нашем случае, функция существует при любых значениях х, то есть область определения равна R. Записать это можно следующим образом хÎR.

Непрерывность

Сейчас мы с вами будем исследовать функцию на разрыв. В математике термин «непрерывность» появился в результате изучения законов движения. Что является бесконечным? Пространство, время, некоторые зависимости (примером может служить зависимость переменных S и t в задачах на движение), температура нагреваемого объекта (воды, сковороды, термометра и так далее), непрерывная линия (то есть та, которую можно нарисовать, не отрывая от листа карандаш).

Непрерывным считается график, который не разрывается в некоторой точке. Одним из самых наглядных примеров такого графика является синусоида, которую вы можете увидеть на картинке в данном разделе. Функция непрерывна в некоторой точке х0, если соблюден ряд условий:

• в данной точке определена функция;
• правый и левый предел в точке равны;
• предел равен значению функции в точке х0.

При несоблюдении хотя бы одного условия говорят, что функция терпит разрыв. А точки, в которых разрывается функция, принято называть точками разрыва. Примером функции, которая при графическом отображении будет «разрываться», может служить: у=(х+4)/(х-3). При этом у не существует в точке х=3 (так как на нуль делить нельзя).

В функции, которую исследуем мы (у=1/3(х^3-14х^2+49х-36)) оказалось все просто, так как график будет являться непрерывным.

Четность, нечетность

Теперь исследуйте функцию на четность. Для начала немного теории. Четной называют ту функцию, которая удовлетворяет условию f(-x)=f(x) при любом значении переменной х (из области значений). Примерами могут служить:

• модуль х (график похож на галку, биссектриса первой и второй четверти графика);
• х в квадрате (парабола);
• косинус х (косинусоида).

Обратите внимание на то, что все эти графики симметричны, если рассматривать это относительно оси ординат (то есть у).

А что же тогда называют нечетной функцией? Таковыми являются те функции, которые удовлетворяют условию: f(-х)=-f(х) при любом значении переменной х. Примеры:

• гипербола;
• кубическая парабола;
• синусоида;
• тангенсоида и так далее.

Обратите внимание на то, что данные функции имеют симметрию относительно точки (0:0), то есть начала координат. Исходя из того, что было сказано в данном разделе статьи, четная и нечетная функция должна обладать свойством: х принадлежит множеству определения и -х тоже.

Исследуем функцию на четность. Мы можем заметить, что она не подходит ни под одно из описаний. Следовательно, наша функция не является ни четной, ни нечетной.

Асимптоты

Начнем с определения. Асимптота - это кривая, которая максимально приближена к графику, то есть расстояние от некоторой точки стремится к нулю. Всего выделяют три вида асимптот:

• вертикальные, то есть параллельные оси у;
• горизонтальные, то есть параллельные оси х;
• наклонные.

Что касается первого вида, то данные прямые стоит искать в некоторых точках:

• разрыв;
• концы области определения.

В нашем случае функция непрерывна, а область определения равна R. Следовательно, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Горизонтальная асимптота есть у графика функции, который отвечает следующему требованию: если х стремится к бесконечности или минус бесконечности, а предел равен некоторому числу (например, а). В данном случае у=а - это и есть горизонтальная асимптота. В исследуемой нами функции горизонтальных асимптот нет.

Наклонная асимптота существует только в том случае, если соблюдены два условия:

• lim (f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Тогда ее можно найти по формуле: у=kx+b. Опять же, в нашем случае наклонных асимптот нет.

Нули функции

Следующим этапом нам необходимо исследовать график функции на нули. Очень важно отметить и то, что задание, связанное с нахождением нулей функции, встречается не только при исследовании и построении графика функции, но и как самостоятельное задание, и как способ решения неравенств. От вас могут потребовать найти нули функции на графике или использовать математическую запись.

Нахождение данных значений поможет вам более точно составить график функции. Если говорить простым языком, то нуль функции - это значение переменной х, при которой у=0. Если вы ищите нули функции на графике, то стоит обратить внимание на точки, в которых происходит пересечение графика с осью абсцисс.

Чтобы найти нули функции, необходимо решить следующее уравнение: у=1/3(х^3-14х^2+49х-36)=0. После проведения необходимых вычислений, мы получаем следующий ответ:

Знакопостоянство

Следующий этап исследования и построения функции (графика) - это нахождение промежутков знакопостоянства. Это значит, что мы должны определить, на каких промежутках функция принимает положительное значение, а на каких - отрицательное. Это нам помогут сделать найденные в прошлом разделе нули функции. Итак, нам нужно построить прямую (отдельно от графика) и в правильном порядке распределить по ней нули функции от меньшего к большему. Теперь нужно определить, какой из полученных промежутков имеет знак «+», а какой «-».

В нашем случае, функция принимает положительное значение на промежутках:

• от 1 до 4;
• от 9 до бесконечности.

Отрицательное значение:

• от минус бесконечности до 1;
• от 4 до 9.

Это определить достаточно просто. Подставьте любое число из промежутка в функцию и посмотрите с каким знаком получился ответ (минус или плюс).

Возрастание и убывание функции

Для того чтобы исследовать и построить функцию, нам необходимо узнать, где график будет возрастать (идти вверх по Оу), а где будет падать (ползти вниз по оси ординат).

Функция возрастает только в том случае, если большему значению переменной х соответствует большее значение у. То есть х2 больше х1, а f(х2) больше f(x1). И совершенно обратное явление мы наблюдаем у убывающей функции (чем больше х, тем меньше у). Для определения промежутков возрастания и убывания необходимо найти следующее:

• область определения (у нас уже есть);
• производную (в нашем случае: 1/3(3х^2-28х+49);
• решить уравнение 1/3(3х^2-28х+49)=0.

После вычислений мы получаем результат:

Получаем: функция возрастает на промежутках от минуса бесконечности до 7/3 и от 7 до бесконечности, а убывает на промежутке от 7/3 до 7.

Экстремумы

Исследуемая функция y=1/3(х^3-14х^2+49х-36) является непрерывной и существует при любых значениях переменной х. Точка экстремума показывает максимум и минимум данной функции. В нашем случае таковых не имеется, что значительно упрощает задачу построения. В противном случае так же находятся при помощи производной функции. После нахождения не забывайте отмечать их на графике.

Выпуклость и вогнутость

Продолжаем далее исследовать функцию y(x). Сейчас нам нужно проверить ее на выпуклость и вогнутость. Определения этих понятий достаточно тяжело воспринять, лучше все проанализировать на примерах. Для теста: функция выпуклая, если является неубывающей функции. Согласитесь, это непонятно!

Нам нужно найти производную от функции второго порядка. Мы получаем: у=1/3(6х-28). Теперь приравняем правую часть к нулю и решим уравнение. Ответ: х=14/3. Мы нашли точку перегиба, то есть место, где график меняет выпуклость на вогнутость или наоборот. На промежутке от минус бесконечности до 14/3 функция выпукла, а от 14/3 до плюс бесконечности - вогнута. Очень важно отметить и то, что точка перегиба на графике должна быть плавной и мягкой, никаких острых углов присутствовать не должно.

Определение дополнительных точек

Наша задача - исследовать и построить график функции. Мы закончили исследование, построить график функции теперь не составит труда. Для более точного и детального воспроизведения кривой или прямой на координатной плоскости можно найти несколько вспомогательных точек. Их вычислить довольно просто. Например, мы возьмем х=3, решаем полученное уравнение и находим у=4. Или х=5, а у=-5 и так далее. Дополнительных точек вы можете брать столько, сколько вам необходимо для построения. Минимум их находят 3-5.

Построение графика

Нам необходимо было исследовать функцию (x^3-14х^2+49х-36)*1/3=у. Все необходимые пометки в ходе вычислений были нанесены на координатной плоскости. Все что осталось сделать - построить график, то есть соединить все точки между собой. Соединять точки стоит плавно и аккуратно, это дело мастерства - немного практики и ваш график будет идеальным.