Параметр нормального распределения. Нормальное распределение

Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL НОРМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения и стандартного отклонения .

Нормальное распределение (также называется распределением Гаусса) является самым важным как в теории, так в приложениях системы контроля качества. Важность значения Нормального распределения (англ. Normal distribution ) во многих областях науки вытекает из теории вероятностей.

Определение : Случайная величина x распределена по нормальному закону , если она имеет :

Нормальное распределение зависит от двух параметров: μ (мю) - является , и σ (сигма) - является (среднеквадратичным отклонением). Параметр μ определяет положение центра плотности вероятности нормального распределения , а σ - разброс относительно центра (среднего).

Примечание : О влиянии параметров μ и σ на форму распределения изложено в статье про , а в файле примера на листе Влияние параметров можно с помощью понаблюдать за изменением формы кривой.

Нормальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Нормального распределения имеется функция НОРМ.РАСП() , английское название - NORM.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону , примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:

Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (μ; σ). Так же часто используют обозначение через N (μ; σ 2).

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция НОРМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности. НОРМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

Стандартное нормальное распределение

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с μ=0 и σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (0;1).

Примечание : В литературе для случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение z.

Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное через замену переменной z =(x -μ)/σ . Этот процесс преобразования называется стандартизацией .

Примечание : В MS EXCEL имеется функция НОРМАЛИЗАЦИЯ() , которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то нормализацией . Формулы =(x-μ)/σ и =НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ) вернут одинаковый результат.

В MS EXCEL 2010 для имеется специальная функция НОРМ.СТ.РАСП() и ее устаревший вариант НОРМСТРАСП() , выполняющий аналогичные вычисления.

Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации нормального распределения N (1,5; 2).

Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1,5; 2) , меньше или равна 2,5. Формула выглядит так: =НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА) =0,691462. Сделав замену переменной z =(2,5-1,5)/2=0,5 , запишем формулу для вычисления Стандартного нормального распределения: =НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА) =0,691462.

Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см. файл примера лист Пример ).

Обратите внимание, что стандартизация относится только к (аргумент интегральная равен ИСТИНА), а не к плотности вероятности .

Примечание : В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле
=НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА) . Вычисления производятся по формуле

В силу четности функции распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция стандартного нормального распределения обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).

Обратные функции

Функция НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА) вычисляет вероятность P, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х. Но часто требуется провести обратное вычисление: зная вероятность P, требуется вычислить значение х. Вычисленное значение х называется стандартного нормального распределения .

В MS EXCEL для вычисления квантилей используют функцию НОРМ.СТ.ОБР() и НОРМ.ОБР() .

Графики функций

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей нормальное распределение , находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% - в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для стандартного нормального распределения можно записав формулу:

=НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-НОРМ.СТ.РАСП(-1;ИСТИНА)

которая вернет значение 68,2689% - именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от среднего (см. лист График в файле примера ).

В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения: f (x )= f (-х) , функция стандартного нормального распределения обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:

=2*НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-1

Для произвольной функции нормального распределения N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:

2* НОРМ.РАСП(μ+1*σ;μ;σ;ИСТИНА)-1

Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для .

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы для параметров распределения: μ и σ.

Генерация случайных чисел

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными μ и σ. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие значения для каждой пары параметров:

Примечание : Если установить опцию Случайное рассеивание (Random Seed ), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию равной 25, можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции Случайное рассеивание может запутать. Лучше было бы ее перевести как Номер набора со случайными числами .

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, оценить параметры распределения, из которого была произведена выборка: μ и σ. Оценку для μ можно сделать с использованием функции СРЗНАЧ() , а для σ – с использованием функции СТАНДОТКЛОН.В() , см. файл примера лист Генерация .

Примечание : Для генерирования массива чисел, распределенных по нормальному закону , можно использовать формулу =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ) . Функция СЛЧИС() генерирует от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Задачи

Задача1 . Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа. Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их.
Решение1 : =1-НОРМ.РАСП(36;41;2;ИСТИНА)

Задача2 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм. Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ?
Решение2 : = НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25)
На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.

Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Задача3 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий?
Решение3 : =НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25) =20,6899 или
=НОРМ.СТ.ОБР(0,975)*0,25+20,2 (произведена «дестандартизация», см. выше)

Задача 4 . Нахождение параметров нормального распределения по значениям 2-х (или ).
Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я процентиля (например, 0,5-процентиль , т.е. медиана и 0,95-я процентиль ). Т.к. известна , то мы знаем , т.е. μ. Чтобы найти нужно использовать .
Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции НОРМОБР() и НОРМСТОБР() , которые эквивалентны НОРМ.ОБР() и НОРМ.СТ.ОБР() . НОРМОБР() и НОРМСТОБР() оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.

Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин

Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин x (i ) с параметрами μ(i ) и σ(i ) также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ(1)+ μ(2) и КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2). Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.

Примерами случайных величин, распределённых по нормальному закону, являются рост человека, масса вылавливаемой рыбы одного вида . Нормальность распределения означает следующее : существуют значения роста человека, массы рыбы одного вида, которые на интуитивном уровне воспринимаются как "нормальные" (а по сути - усреднённые), и они-то в достаточно большой выборке встречаются гораздо чаще, чем отличающиеся в бОльшую или меньшую сторону.

Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины (иногда - распределение Гаусса) можно назвать колоколообразным из-за того, что симметричная относительно среднего функция плотности этого распределения очень похожа на разрез колокола (красная кривая на рисунке выше).

Вероятность встретить в выборке те или иные значение равна площади фигуры под кривой и в случае нормального распределения мы видим, что под верхом "колокола", которому соответствуют значения, стремящиеся к среднему, площадь, а значит, вероятность, больше, чем под краями. Таким образом, получаем то же, что уже сказано: вероятность встретить человека "нормального" роста, поймать рыбу "нормальной" массы выше, чем для значений, отличающихся в бОльшую или меньшую сторону. В очень многих случаях практики ошибки измерения распределяются по закону, близкому к нормальному.

Остановимся ещё раз на рисунке в начале урока, на котором представлена функция плотности нормального распределения. График этой функции получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA . На ней столбцы гистограммы представляют собой интервалы значений выборки, распределение которых близко (или, как принято говорить в статистике, незначимо отличаются от) к собственно графику функции плотности нормального распределения, который представляет собой кривую красного цвета. На графике видно, что эта кривая действительно колоколообразная.

Нормальное распределение во многом ценно благодаря тому, что зная только математическое ожидание непрерывной случайной величины и стандартное отклонение, можно вычислить любую вероятность, связанную с этой величиной.

Нормальное распределение имеет ещё и то преимущество, что один из наиболее простых в использовании статистических критериев, используемых для проверки статистических гипотез - критерий Стьюдента - может быть использован только в том случае, когда данные выборки подчиняются нормальному закону распределения.

Функцию плотности нормального распределения непрерывной случайной величины можно найти по формуле:

где x - значение изменяющейся величины, - среднее значение, - стандартное отклонение, e =2,71828... - основание натурального логарифма, =3,1416...

Свойства функции плотности нормального распределения

Изменения среднего значения перемещают кривую функции плотности нормального распределения в направлении оси Ox . Если возрастает, кривая перемещается вправо, если уменьшается, то влево.

Если меняется стандартное отклонение, то меняется высота вершины кривой. При увеличении стандартного отклонения вершина кривой находится выше, при уменьшении - ниже.

Вероятность попадания значения нормально распределённой случайной величины в заданный интервал

Уже в этом параграфе начнём решать практические задачи, смысл которых обозначен в заголовке. Разберём, какие возможности для решения задач предоставляет теория. Отправное понятие для вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал - интегральная функция нормального распределения.

Интегральная функция нормального распределения :

Однако проблематично получить таблицы для каждой возможной комбинации среднего и стандартного отклонения. Поэтому одним из простых способов вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал является использование таблиц вероятностей для стандартизированного нормального распределения.

Стандартизованным или нормированным называется нормальное распределение , среднее значение которого , а стандартное отклонение .

Функция плотности стандартизованного нормального распределения :

Интегральная функция стандартизованного нормального распределения :

На рисунке ниже представлена интегральная функция стандартизованного нормального распределения, график которой получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA . Собственно график представляет собой кривую красного цвета, а значения выборки приближаются к нему.

Для увеличения рисунка можно щёлкнуть по нему левой кнопкой мыши.

Стандартизация случайной величины означает переход от первоначальных единиц, используемых в задании, к стандартизованным единицам. Стандартизация выполняется по формуле

На практике все возможные значения случайной величины часто не известны, поэтому значения среднего и стандартного отклонения точно определить нельзя. Их заменяют средним арифметическим наблюдений и стандартным отклонением s . Величина z выражает отклонения значений случайной величины от среднего арифметического при измерении стандартных отклонений.

Открытый интервал

Таблица вероятностей для стандартизированного нормального распределения, которая есть практически в любой книге по статистике, содержит вероятности того, что имеющая стандартное нормальное распределение случайная величина Z примет значение меньше некоторого числа z . То есть попадёт в открытый интервал от минус бесконечности до z . Например, вероятность того, что величина Z меньше 1,5, равна 0,93319.

Пример 1. Предприятие производит детали, срок службы которых нормально распределён со средним значением 1000 и стандартным отклонением 200 часов.

Для случайно отобранной детали вычислить вероятность того, что её срок службы будет не менее 900 часов.

Решение. Введём первое обозначение:

Искомая вероятность.

Значения случайной величины находятся в открытом интервале. Но мы умеем вычислять вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного, а по условию задачи требуется найти равное или большее заданного. Это другая часть пространства под кривой плотности нормального распределения (колокола). Поэтому, чтобы найти искомую вероятность, нужно из единицы вычесть упомянутую вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше заданного 900:

Теперь случайную величину нужно стандартизировать.

Продолжаем вводить обозначения:

z = (X ≤ 900) ;

x = 900 - заданное значение случайной величины;

μ = 1000 - среднее значение;

σ = 200 - стандартное отклонение.

По этим данным условия задачи получаем:

По таблицам стандартизированной случайной величине (границе интервала) z = −0,5 соответствует вероятность 0,30854. Вычтем ее из единицы и получим то, что требуется в условии задачи:

Итак, вероятность того, что срок службы детали будет не менее 900 часов, составляет 69%.

Эту вероятность можно получить, используя функцию MS Excel НОРМ.РАСП (значение интегральной величины - 1):

P (X ≥900) = 1 - P (X ≤900) = 1 - НОРМ.РАСП(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

О расчётах в MS Excel - в одном из последующих параграфах этого урока.

Пример 2. В некотором городе среднегодовой доход семьи является нормально распределённой случайной величиной со средним значением 300000 и стандартным отклонением 50000. Известно, что доходы 40 % семей меньше величины A . Найти величину A .

Решение. В этой задаче 40 % - ни что иное, как вероятность того, что случайная величина примет значение из открытого интервала, меньшее определённого значения, обозначенного буквой A .

Чтобы найти величину A , сначала составим интегральную функцию:

По условию задачи

μ = 300000 - среднее значение;

σ = 50000 - стандартное отклонение;

x = A - величина, которую нужно найти.

Составляем равенство

По статистическим таблицам находим, что вероятность 0,40 соответствует значению границы интервала z = −0,25 .

Поэтому составляем равенство

и находим его решение:

A = 287300 .

Ответ: доходы 40 % семей менее 287300.

Закрытый интервал

Во многих задачах требуется найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина примет значение в интервале от z 1 до z 2 . То есть попадёт в закрытый интервал. Для решения таких задач необходимо найти в таблице вероятности, соответствующие границам интервала, а затем найти разность этих вероятностей. При этом требуется вычитать меньшее значение из большего. Примеры на решения этих распространённых задач - следующие, причём решить их предлагается самостоятельно, а затем можно посмотреть правильные решения и ответы.

Пример 3. Прибыль предприятия за некоторый период - случайная величина, подчинённая нормальному закону распределения со средним значением 0,5 млн. у.е. и стандартным отклонением 0,354. Определить с точностью до двух знаков после запятой вероятность того, что прибыль предприятия составит от 0,4 до 0,6 у.е.

Пример 4. Длина изготавливаемой детали представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному закону с параметрами μ =10 и σ =0,071 . Найти с точностью до двух знаков после запятой вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 10±0,05 .

Подсказка: в этой задаче помимо нахождения вероятности попадания случайной величины в закрытый интервал (вероятность получения небракованной детали) требуется выполнить ещё одно действие.

позволяет определить вероятность того, что стандартизованное значение Z не меньше -z и не больше +z , где z - произвольно выбранное значение стандартизованной случайной величины.

Приближенный метод проверки нормальности распределения

Приближенный метод проверки нормальности распределения значений выборки основан на следующем свойстве нормального распределения: коэффициент асимметрии β 1 и коэффициент эксцесса β 2 равны нулю .

Коэффициент асимметрии β 1 численно характеризует симметрию эмпирического распределения относительно среднего. Если коэффициент асимметрии равен нулю, то среднее арифметрического значение, медиана и мода равны: и кривая плотности распределения симметрична относительно среднего. Если коэффициент асимметрии меньше нуля (β 1 < 0 ), то среднее арифметическое меньше медианы, а медиана, в свою очередь, меньше моды () и кривая сдвинута вправо (по сравнению с нормальным распределением) . Если коэффициент асимметрии больше нуля (β 1 > 0 ), то среднее арифметическое больше медианы, а медиана, в свою очередь, больше моды () и кривая сдвинута влево (по сравнению с нормальным распределением) .

Коэффициент эксцесса β 2 характеризует концентрацию эмпирического распределения вокруг арифметического среднего в направлении оси Oy и степень островершинности кривой плотности распределения. Если коэффициент эксцесса больше нуля, то кривая более вытянута (по сравнению с нормальным распределением) вдоль оси Oy (график более островершинный). Если коэффициент эксцесса меньше нуля, то кривая более сплющена (по сравнению с нормальным распределением) вдоль оси Oy (график более туповершинный).

Коэффициент асимметрии можно вычислить с помощью функции MS Excel СКОС. Если вы проверяете один массив данных, то требуется ввести диапазон данных в одно окошко "Число".

Коэффициент эксцесса можно вычислить с помощью функции MS Excel ЭКСЦЕСС. При проверке одного массива данных также достаточно ввести диапазон данных в одно окошко "Число".

Итак, как мы уже знаем, при нормальном распределении коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю. Но что, если мы получили коэффициенты асимметрии, равные -0,14, 0,22, 0,43, а коэффициенты эксцесса, равные 0,17, -0,31, 0,55? Вопрос вполне справедливый, так как практически мы имеем дело лишь с приближенными, выборочными значениями асимметрии и эксцесса, которые подвержены некоторому неизбежному, неконтролируемому разбросу. Поэтому нельзя требовать строгого равенства этих коэффициентов нулю, они должны лишь быть достаточно близкими к нулю. Но что значит - достаточно?

Требуется сравнить полученные эмпирические значения с допустимыми значениями. Для этого нужно проверить следующие неравенства (сравнить значения коэффициентов по модулю с критическими значениями - границами области проверки гипотезы).

Для коэффициента асимметрии β 1 .

Случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями. Наиболее полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения. Закон распределения – функция (таблица, график, формула), позволяющая определять вероятность того, что случайная величина Х принимает определеное значение хi или попадает в некоторый интервал. Если случайная величина имеет данный закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону или подчиняется этому закону распределения.

Каждый закон распределения – это некоторая функция, полностью описывающая случайную величину с вероятностной точки зрения. На практике о распределении вероятностей случайной величины Х часто приходится судить только по результатам испытаний.

Нормальное распределение

Нормальное распределение , также называемое распределением Гаусса, - распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение - отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальное распределение зависит от двух параметров - смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Коэффициент асимметрии

Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого, и отрицателен в противном случае.

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.

Выборочный коэффициент асимметрии используется для проверки распределения на симметричность, а также для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.

Коэффициент эксцесса

Коэффициент эксцесса (коэффициент островершинности) - мера остроты пика распределения случайной величины.

«Минус три» в конце формулы введено для того, чтобы коэффициент эксцесса нормального распределения был равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если вершина гладкая.

Моменты случайной величины

Момент случайной величины - числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Краткая теория

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность которого имеет вид:

где – математическое ожидание , – среднее квадратическое отклонение .

Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу :

где – функция Лапласа :

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа :

В частности, при справедливо равенство:

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин .

Кроме нормального распределения, основные законы распределения непрерывных случайных величин:

Пример решения задачи

На станке изготавливается деталь. Ее длина - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами , . Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 24,2 см. Какое отклонение длины детали от можно гарантировать с вероятностью 0,92; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно , будут лежать практически все размеры деталей?

Решение:

Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, будет находиться в интервале :

Получаем:

Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину .

Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:

равномерное распределение
показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.

Дадим понятие нормального закона распределения, функции распределения такого закона, порядка вычисления вероятности попадания случайной величины Х в определенный интервал.

№	Показатель	Нормальный закон распределения	Примечание
	Определение	*Нормальным называется* распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид
	Определение		где m x – математическое ожидание случайной величины Х, σ x – среднее квадратическое отклонение
2	*Функция распределения*
	*Вероятность* попадания в интервал (а;b)		- интегральная функция Лапласа
	*Вероятность* того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ		при m x = 0

Пример решения задачи по теме «Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины»

Задача.

Длина X некоторой детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону распределения, и имеет среднее значение 20 мм и среднее квадратическое отклонение – 0,2 мм.
Необходимо:
а) записать выражение плотности распределения;
б) найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 и 20,3 мм;
в) найти вероятность того, что величина отклонения не превышает 0,1 мм;
г) определить, какой процент составляют детали, отклонение которых от среднего значения не превышает 0,1 мм;
д) найти, каким должно быть задано отклонение, чтобы процент деталей, отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до 54%;
е) найти интервал, симметричный относительно среднего значения, в котором будет находиться X с вероятностью 0,95.

Решение. а) Плотность вероятности случайной величины X, распределенной по нормальному закону находим :

при условии, что m x =20, σ =0,2.

б) Для нормального распределения случайной величины вероятность попасть в интервал (19,7; 20,3) определяется :
Ф((20,3-20)/0,2) – Ф((19,7-20)/0,2) = Ф(0,3/0,2) – Ф(-0,3/0,2) = 2Ф(0,3/0,2) = 2Ф(1,5) = 2*0,4332 = 0,8664.
Значение Ф(1,5) = 0,4332 мы нашли в приложениях, в таблице значений интегральной функции Лапласа Φ(x) (таблица 2 )

в) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа 0,1 найдем :
Р(|Х-20| < 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Значение Ф(0,5) = 0,1915 мы нашли в приложениях, в таблице значений интегральной функции Лапласа Φ(x) (таблица 2 )

г) Поскольку вероятность отклонения, меньшего 0,1 мм, равна 0,383, то отсюда следует, что в среднем 38,3 детали из 100 окажутся с таким отклонением, т.е. 38,3%.

д) Поскольку процент деталей, отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до 54%, то Р(|Х-20| < δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.

Используя приложение (таблица 2 ), находим δ/σ = 0,74. Отсюда δ = 0,74*σ = 0,74*0,2 = 0,148 мм.

е) Поскольку искомый интервал симметричен относительно среднего значения m x = 20, то его можно определить как множество значений X, удовлетворяющих неравенству 20 − δ < X < 20 + δ или |x − 20| < δ .

По условию вероятность нахождения X в искомом интервале равна 0,95, значит P(|x − 20| < δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.

Используя приложение (таблица 2 ), находим δ/σ = 1,96. Отсюда δ = 1,96*σ = 1,96*0,2 = 0,392.
Искомый интервал : (20 – 0,392; 20 + 0,392) или (19,608; 20,392).