Полная система вычетов примеры. Василиса явикс - интеллектуальная поисковая система
В частности, будем иметь (p a) = p a - p a-1 , (p) = p-1.
Примеры. (60) = 60
(81) = 81-27 = 54
Мультипликативная функция
Функция (а) называется мультипликативной, если она удовлетворяет двум следующим условиям:
Эта функция определена для всех целых положительных a и не равна нулю по меньшей мере при одном таком a.
Для любых положительных взаимно простых a 1 и a 2 имеем:
(а 1 a 2) = (а 1) (а 2) .
Основные понятия теории сравнений
Свойства сравнений
Мы будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на данное целое положительное m, которое назовём модулем.
Каждому целому числу отвечает определённый остаток от деления его на m. Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются равноостаточными по модулю m.
Сравнимость чисел a и b по модулю m записывается:
Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна:
Возможности представить a в виде a = b + mt, где t - целое.
Делимости a b на m.
Действительно, из a b (mod m) следует
a = mq + r, b = mq 1 + r, 0<= r откуда a - b = m (q - q 1), a = b + mt, t = q - q 1 . Обратно, из a = b + mt, представляя b в виде b = mq 1 + r , 0 <=r выводим a = mq + r, q = q 1 + t , т.е. a b (mod m). Оба утверждения доказаны. Два числа, сравнимые с третьим, сравнимы между собой. Сравнения можно почленно складывать. Действительно, пусть A 1 b 1 (mod m) , a 2 b 2 (mod m) , …, a k b k (mod m) (1). Тогда a 1 = b 1 + mt 1 , a 2 = b 2 + mt 2 , …, a k = b k + mt k (2), Откуда a 1 + a 2 + … + a k = b 1 + b 2 + … + b k + m (t 1 + t 2 + … + t k), или a 1 + a 2 + … + a k b 1 + b 2 + … + b k (mod m). Сравнения можно почленно перемножать. Рассмотрим (1) и (2). Перемножая почленно равенства (2), получим: a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k + mN, где N - целое. Отсюда: a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k (mod m). Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень. Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число. Действительно, перемножив сравнение a b (mod m) с очевидным сравнением k k (mod m), получим ak bk (mod m). Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем. Действительно, из a b (mod m), a = a 1 d , b = b 1 d , (d, m) = 1 следует, что разность a - b, равная (a 1 - b 1)d, делится на m, т. е. a 1 b 1 (mod m) . Числа равноостаточные, или, что то же самое, сравнимые по модулю m, образуют класс чисел по модулю m. Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один и тот же остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме mq + r заставим q пробегать все целые числа. Соответственно m различным значениям r имеем m классов чисел по модулю m. Любое число класса называется вычетом по модулю m по отношению ко всем числам того же класса. Вычет, получаемый при q = 0, равный самому остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом. Взяв от каждого класса по одному вычету, получим полную систему вычетов по модулю m. Чаще всего в качестве полной системы вычетов употребляют наименьшие неотрицательные вычеты 0, 1, ..., m-1 или также абсолютно наименьшие вычеты. Последние, как это следует из вышеизложенного, в случае нечетного m представляются рядом 1, 0, 1, ..., а в случае чётного m каким-либо из двух рядов 1, 0, 1, ..., 1, 0, 1, ..., . Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по этому модулю. Действительно, будучи несравнимы, эти числа тем самым принадлежат к различным классам, а так как их m, т.е. столько же, сколько и классов, то в каждый класс наверно попадёт по одному числу. Если (a, m) = 1 и x пробегает полную систему вычетов по модулю m, то ax + b, где b - любое целое, тоже пробегает полную систему вычетов по модулю m. Действительно, чисел ax +b будет столько же, сколько и чисел x, т.е. m. Согласно предыдущему утверждению остаётся, следовательно, только показать, что любые два числа ax 1 + b и ax 2 + b, отвечающие несравнимым x 1 и x 2 , будут сами несравнимы по модулю m. Но допустив, что ax 1 + b ax 2 + b (mod m), мы придём к сравнению ax 1 = ax 2 (mod m), откуда, вследствие (a, m) = 1, получим x 1 x 2 (mod m), что противоречит предположению о несравнимости чисел x 1 и x 2 . Числа одного и того же класса по модулю m имеют с модулем один и тот же общий наибольший делитель. Особенно важны классы, для которых этот делитель равен единице, т.е. классы, содержащие числа, взаимно простые с модулем. Взяв от каждого такого класса по одному вычету, получим приведённую систему вычетов по модулю m. Приведённую систему вычетов, следовательно, можно составить из чисел полной системы, взаимно простых с модулем. Обыкновенно приведённую систему вычетов выделяют из системы наименьших неотрицательных вычетов: 0, 1, ..., m-1. Так как среди этих чисел число взаимно простых с m есть (m), то число чисел приведённой системы, равно как и число классов, содержащих числа, взаимно простые с модулем, есть (m). Пример. Приведённая система вычетов по модулю 42 будет 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41. Любые (m) чисел, попарно несравнимые по модулю m и взаимно простые с модулем, образуют приведённую систему вычетов по модулю m. Действительно, будучи несравнимыми и взаимно простыми с модулем, эти числа тем самым принадлежат к различным классам, содержащим числа, взаимно простые с модулем, а так как их (m), т.е. столько же, сколько и классов указанного вида, то в каждый класс наверно попадёт по одному числу. Если (a, m) = 1 и x пробегает приведённую систему вычетов по модулю m, то ax тоже пробегает приведённую систему вычетов по модулю m. Действительно, чисел ax будет столько же, сколько и чисел x, т.е. (m). Согласно предыдущему свойству остаётся, следовательно, только показать, что числа ax по модулю m несравнимы и взаимно просты с модулем. Первое следует из свойства сравнений (если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m) для чисел более общего вида ax + b, второе же следует из (a, m) = 1, (x, m) = 1. Теорема Эйлера (2. 5. 3. 1). При m>1 и (a, m) = 1 имеем a (m) 1 (mod m). Доказательство. Действительно, если x пробегает приведённую систему вычетов x = r 1 , r 2 , ..., r c ; c = (m), составленную из наименьших неотрицательных вычетов, то наименьшие неотрицательные вычеты 1 , 2 , ..., с чисел ax будут пробегать ту же систему, но расположенную, вообще говоря, в ином порядке (1). Перемножая почленно сравнения ar 1 1 (mod m), ar 2 2 (mod m), ..., ar c c (mod m), получим а с 1 (mod m). Теорема Ферма (2. 5. 3. 2). При p простом и а, не делящимся на p, имеем a p-1 1 (mod p). (2) Доказательство. Эта теорема является следствием теоремы Эйлера при m = p. Теореме Ферма можно придать более удобную форму, умножая обе части сравнения (2) на а, получим сравнение a p a (mod p), справедливое уже при всех целых а, так как оно верно и при а, кратном p. Теорема доказана. Теорема (2. 5. 3. 3). Если n = pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа), то (n) = (p-1)(q-1). Теорема (2. 5. 3. 4). Если n = pq, (p и q отличные друг от друга простые числа) и x простое относительно p и q, то x (n) = 1 (mod n). Кольцо вычетов по модулю
n
обозначают
или
. Его мультипликативную группу, как и в общем случае групп обратимых элементов
колец, обозначают
∗
×
×
. Чтобы понять структуру группы
, можно рассмотреть частный случай
, где
- простое число, и обобщить его. Рассмотрим простейший случай, когда
, то есть
. Теорема:
- циклическая группа.
Пример
: Рассмотрим группу Для рассмотрения общего случая необходимо определение примитивного корня
.
Примитивный корень по простому модулю
- это число, которое вместе со своим классом вычетов порождает группу
. В случае целого модуля
определение такое же. Структуру группы определяет следующая теорема: Если p - нечётное простое число и l - целое положительное, то существуют примитивные корни по модулю
, то есть
- циклическая группа. Приведённая система вычетов по модулю
состоит из
классов вычетов:
.
Относительно определённого для классов вычетов умножения они образуют группу, причём
и
взаимно обратны (то есть
⋅
),
а
и
обратны сами себе. Запись
означает «циклическая группа порядка n». На сложности, Ферма, Хули,
. Уоринг сформулировал теорему Вильсона, а Лагранж её доказал. Эйлер предположил существование примитивных корней по модулю простого числа. Гаусс это доказал. Артин выдвинул свою гипотезу
о существовании и количественной оценке простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем. Брауэр внес вклад в исследование проблемы существования наборов последовательных целых чисел, каждое из которых - k-ая степень по модулю p. Билхарц доказал аналог гипотезы Артина. Хули доказал гипотезу Артина с предположением справедливости расширенной гипотезы Римана в полях алгебраических чисел. или же любые последовательные p
числа. Данная система называется полною системою чисел, не сравнимых по модулю
p
или же полною системою вычетов по модулю
p
. Очевидно, что всякие p
последовательных чисел образуют такую систему. Все числа, принадлежащих к одному классу, имеют много общих свойств, следовательно по отношению к модулю их можно рассматривать как одно число. Каждое число, входящее в сравнение как слагаемое или множитель, может быть заменено, без нарушения сравнения, числом, сравнимым с ним, т.е. с числом, принадлежащим к одному и тому же классу. Другой элемент, который является общим для всех чисел данного класса, является наибольший общий делитель каждого элемента этого класса и модуля p
. Пусть a
и b
сравнимы по модулю p
, тогда Теорема
1.
Если в ax+b
вместо x
подставим последовательно все p
членов полной системы чисел Поэтому все числа ax+b
, где x
=1,2,...p
-1 не сравнимы по модулю p
(в противном случае, числа 1,2,...p
-1 были бы сравнимы по модулю p
. 1) В данной статье под словом число будем понимать целое число. В предыдущем пункте
было отмечено, что отношение m
сравнимости по произвольному модулю m
есть отношение эквивалентности на
множестве целых чисел. Это отношение
эквивалентности индуцирует разбиение
множества целых чисел на классы
эквивалентных между собой элементов,
т.е. в один класс объединяются числа,
дающие при делении на m
одинаковые остатки. Число классов
эквивалентности m
(знатоки скажут – "индекс эквивалентности
m
")
в точности равно m
. Определение.
Любое число из класса эквивалентности
m
будем называть вычетом по модулю m
.
Совокупность вычетов, взятых по одному
из каждого класса эквивалентности m
,
называется полной системой вычетов по
модулю m
(в полной системе вычетов, таким образом,
всего m
штук чисел). Непосредственно сами остатки
при делении на m
называются наименьшими неотрицательными
вычетами и, конечно, образуют полную
систему вычетов по модулю m
.
Вычет ρ
называется абсолютно наименьшим, если
⎪ρ
⎪
наименьший среди модулей вычетов данного
класса. Пример
:
Пусть m
= 5. Тогда: 0, 1, 2, 3, 4 - наименьшие
неотрицательные вычеты; 2, -1, 0, 1, 2 - абсолютно
наименьшие вычеты. Обе приведенные
совокупности чисел образуют полные
системы вычетов по модулю 5. Лемма 1
.
1) Любые m
штук попарно не сравнимых по модулю m
чисел образуют полную систему вычетов
по модулю m
. 2) Если а
и m
взаимно просты, а x
пробегает полную систему вычетов по
модулю m
,
то значения линейной формы а
x
+ b
, где b
– любое целое число, тоже пробегают
полную систему вычетов по модулю m
. Доказательство.
Утверждение 1) – очевидно. Докажем
утверждение 2) Чисел а
x
+b
ровно m
штук. Покажем, что они между собой не
сравнимы по модулю m
. Ну пусть для некоторых различных x
1
и x
2
из полной системы вычетов оказалось,
что ax
1
+ b
≡ ax
2
+ b
(mod
m).
Тогда, по свойствам сравнений из
предыдущего пункта, получаем: ax
1
≡ ax
2
(mod m
) x
1
≡ x
2
(mod m
) – противоречие с
тем, что x
1
и x
2
различны и взяты из полной системы
вычетов. Поскольку все
числа из данного класса эквивалентности
m
получаются из одного числа данного
класса прибавлением числа, кратного m
,
то все числа из данного класса имеют с
модулем m
один и тот же наибольший общий делитель.
По некоторым соображениям, повышенный
интерес представляют те вычеты, которые
имеют с модулем m
наибольший общий делитель, равный
единице, т.е. вычеты, которые взаимно
просты с модулем. Определение.
Приведенной системой вычетов по модулю
m
называется совокупность всех вычетов
из полной системы, взаимно простых с
модулем m
. Приведенную систему
обычно выбирают из наименьших
неотрицательных вычетов. Ясно, что
приведенная система вычетов по модулю
m
содержит ϕ
(m
)
штук вычетов, где ϕ
(m
)–
функция Эйлера – число чисел, меньших
m
и взаимно простых с m
. Функция Эйлера
ϕ
(a
)
есть количество чисел из ряда 0, 1, 2,...,
a
–1,
взаимно простых с a
. Лемма.
Пусть Т в частности, φ(p
α)
= p
α –p
α -1 ,
φ(p
)
= p
–1. Пример
.
Пусть m
= 42. Тогда приведенная система вычетов
суть: 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25,
29, 31, 37, 41. Лемма 2.
1) Любые ϕ
(m
)
чисел, попарно не сравнимые по модулю
m
и взаимно простые с модулем, образуют
приведенную систему вычетов по модулю
m
. 2) Если d
(a
,
m
)
= 1 и x
пробегает приведенную систему вычетов
по модулю m
,
то а
x
так же пробегает приведенную систему
вычетов по модулю m
. Доказательство
.
Утверждение 1) – очевидно. Докажем
утверждение 2). Числа а
x
попарно несравнимы (это доказывается
так же, как в лемме 1 этого пункта), их
ровно ϕ
(m
)
штук. Ясно также, что все они взаимно
просты с модулем, ибо d
(a
,
m
)=1,
d
(x
,m
)=1
⇒
d
(ax
,
m
)=1.
Значит, числа а
x
образуют приведенную систему вычетов. Лемма 3.
Пусть
m
1
, m
2
, ..., m
k
– попарно
взаимно просты и m
1
m
2
...m
k
=M
1
m
1
=M
2
m
2
=...=M
k
m
k
, где M
j
=m
1
...m
j
-1
m
j
+1
...m
k
1)
Если x
1
, x
2
, ..., x
k
пробегают
полные системы вычетов по модулям m
1
, m
2
, ..., m
k
M
1
x
1
+M
2
x
2
+ ...+M
k
x
k
пробегают
полную систему вычетов по модулю m=
m
1
m
2
...m
k
. 2)
Если ξ 1
,
ξ 2
, ...,
ξ k
пробегают
приведенные системы вычетов по модулям
m
1
, m
2
, ..., m
k
соответственно,
то значения линейной формы M
1
ξ 1
+M
2
ξ 2
+ ...+M
k
ξ k
пробегают
приведенную систему вычетов по модулю
m=
m
1
m
2
...m
k
. Лемма
4.
Пусть
x
1
, x
2
, ..., x
k
,
x
пробегают
полные, а ξ 1
,
ξ 2
,...,
ξ k
,
ξ
–
пробегают приведенные системы вычетов
по модулям m
1
,
m
2
,...,m
k
и
m=m
1
m
2
...m
k
соответственно,
где (m
i
m
j
)=1
при
i
≠
j
.
Тогда дроби {x
1
/m
1
+x
2
/m
2
+...+x
k
/m
k
}
совпадают
с дробями {x/m}
,
а дроби {
ξ 1
/m
1
+
ξ 2
/m
2
+...+
ξ k
/m
k
}
совпадают
с дробями {
ξ/m}
. Обозначим
через ε
k
k
-ый
корень m-
ой
степени из единицы: Здесь
k
=0,1,...,m
-1
– пробегает полную систему вычетов по
модулю m
. Напомню,
что сумма ε 0
+
ε 1
+...+
ε m-1
всех
корней m
-ой
степени из единицы равна нулю для любого
m
.
Действительно, пусть ε 0
+
ε 1
+...+
ε m-1
= a
.
Умножим эту сумму на ненулевое число
ε
1 .
Такое умножение геометрически в
комплексной плоскости означает поворот
правильного m
-угольника,
в вершинах которого расположены корни
ε 0
+
ε 1
+...+
ε m-1
,
на ненулевой угол 2
π/m
.
Ясно, что при этом корень ε 0
перейдет
в корень ε 1
,
корень ε 1
перейдет
в корень ε 2
,
и т.д., а корень ε m-1
перейдет
в корень ε 0
,
т.е. сумма ε 0
+
ε 1
+...+
ε m-1
не
изменится. Имеем ε 1
a=a
,
откуда a=0
. Теорема
1.
Пусть
m>0
–
целое число, a
Z
,
x
пробегает
полную систему вычетов по модулю m
.
Тогда, если а
кратно
m
,
то в
противном случае, при а
не
кратном m
, Теорема
2.
Пусть
m>0
–
целое число, ξ
пробегает
приведенную систему вычетов по модулю
m
.
Тогда (сумма первообразных корней
степени m
): где
μ(m
)
– функция Мебиуса. Wikimedia Foundation
.
2010
.
Приведённая система вычетов
- часть полной системы вычетов (См. Полная система вычетов), состоящая из чисел взаимно простых с модулем m. П. с. в. содержит φ(m) чисел [φ(m) число чисел, взаимно простых с m и меньших m]. Всякие φ(m) чисел, не сравнимые по модулю m и… … Большая советская энциклопедия
Приведенная система вычетов
- Приведённая система вычетов по модулю m набор, составленный из всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(m) функция Эйлера. В качестве приведённой… … Википедия
Мультипликативная группа кольца вычетов
- Приведённая система вычетов по модулю m множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) функция Эйлера. В качестве приведённой системы вычетов… … Википедия
Функция Эйлера
- Не следует путать с функцией распределения простых чисел. Первая тысяча значений Функция Эйлера φ(n) мультипликативная … Википедия
Сравнение по модулю
- Сравнение по модулю натурального числа n в теории чисел отношение эквивалентности на кольце целых чисел, связанное с делимостью на n. Факторкольцо по этому отношению называется кольцом вычетов. Совокупность соответствующих тождеств и… … Википедия
Конечная группа
- Симметрия снежинки связана с группой поворотов на угол, кратный 60° Конечная группа алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в… … Википедия
Четверная группа Клейна
- Четверная группа Клейна группа четвёртого порядка, играет важную роль в высшей алгебре. Содержание 1 Определение 2 Обозначение 3 … Википедия
Вычеты. Полная и приведенная системы вычетов
Теоремы Эйлера и Ферма
Простейший случай
Общий случай
Пример
Структура группы
Структура группы
(Z/
n
Z)
×
×
φ
λ
Генератор группы
×
φ
λ
Генератор группы
×
φ
λ
Генератор группы
×
φ
λ
Генератор группы
1
C
1
1
1
0
33
C
2
×C
10
20
10
2, 10
65
C
4
×C
12
48
12
2, 12
97
C
96
96
96
5
2
C
1
1
1
1
34
C
16
16
16
3
66
C
2
×C
10
20
10
5, 7
98
C
42
42
42
3
3
C
2
2
2
2
35
C
2
×C
12
24
12
2, 6
67
C
66
66
66
2
99
C
2
×C
30
60
30
2, 5
4
C
2
2
2
3
36
C
2
×C
6
12
6
5, 19
68
C
2
×C
16
32
16
3, 67
100
C
2
×C
20
40
20
3, 99
5
C
4
4
4
2
37
C
36
36
36
2
69
C
2
×C
22
44
22
2, 68
101
C
100
100
100
2
6
C
2
2
2
5
38
C
18
18
18
3
70
C
2
×C
12
24
12
3, 69
102
C
2
×C
16
32
16
5, 101
7
C
6
6
6
3
39
C
2
×C
12
24
12
2, 38
71
C
70
70
70
7
103
C
102
102
102
5
8
C
2
×C
2
4
2
3, 5
40
C
2
×C
2
×C
4
16
4
3, 11, 39
72
C
2
×C
2
×C
6
24
6
5, 17, 19
104
C
2
×C
2
×C
12
48
12
3, 5, 103
9
C
6
6
6
2
41
C
40
40
40
6
73
C
72
72
72
5
105
C
2
×C
2
×C
12
48
12
2, 29, 41
10
C
4
4
4
3
42
C
2
×C
6
12
6
5, 13
74
C
36
36
36
5
106
C
52
52
52
3
11
C
10
10
10
2
43
C
42
42
42
3
75
C
2
×C
20
40
20
2, 74
107
C
106
106
106
2
12
C
2
×C
2
4
2
5, 7
44
C
2
×C
10
20
10
3, 43
76
C
2
×C
18
36
18
3, 37
108
C
2
×C
18
36
18
5, 107
13
C
12
12
12
2
45
C
2
×C
12
24
12
2, 44
77
C
2
×C
30
60
30
2, 76
109
C
108
108
108
6
14
C
6
6
6
3
46
C
22
22
22
5
78
C
2
×C
12
24
12
5, 7
110
C
2
×C
20
40
20
3, 109
15
C
2
×C
4
8
4
2, 14
47
C
46
46
46
5
79
C
78
78
78
3
111
C
2
×C
36
72
36
2, 110
16
C
2
×C
4
8
4
3, 15
48
C
2
×C
2
×C
4
16
4
5, 7, 47
80
C
2
×C
4
×C
4
32
4
3, 7, 79
112
C
2
×C
2
×C
12
48
12
3, 5, 111
17
C
16
16
16
3
49
C
42
42
42
3
81
C
54
54
54
2
113
C
112
112
112
3
18
C
6
6
6
5
50
C
20
20
20
3
82
C
40
40
40
7
114
C
2
×C
18
36
18
5, 37
19
C
18
18
18
2
51
C
2
×C
16
32
16
5, 50
83
C
82
82
82
2
115
C
2
×C
44
88
44
2, 114
20
C
2
×C
4
8
4
3, 19
52
C
2
×C
12
24
12
7, 51
84
C
2
×C
2
×C
6
24
6
5, 11, 13
116
C
2
×C
28
56
28
3, 115
21
C
2
×C
6
12
6
2, 20
53
C
52
52
52
2
85
C
4
×C
16
64
16
2, 3
117
C
6
×C
12
72
12
2, 17
22
C
10
10
10
7
54
C
18
18
18
5
86
C
42
42
42
3
118
C
58
58
58
11
23
C
22
22
22
5
55
C
2
×C
20
40
20
2, 21
87
C
2
×C
28
56
28
2, 86
119
C
2
×C
48
96
48
3, 118
24
C
2
×C
2
×C
2
8
2
5, 7, 13
56
C
2
×C
2
×C
6
24
6
3, 13, 29
88
C
2
×C
2
×C
10
40
10
3, 5, 7
120
C
2
×C
2
×C
2
×C
4
32
4
7, 11, 19, 29
25
C
20
20
20
2
57
C
2
×C
18
36
18
2, 20
89
C
88
88
88
3
121
C
110
110
110
2
26
C
12
12
12
7
58
C
28
28
28
3
90
C
2
×C
12
24
12
7, 11
122
C
60
60
60
7
27
C
18
18
18
2
59
C
58
58
58
2
91
C
6
×C
12
72
12
2, 3
123
C
2
×C
40
80
40
7, 83
28
C
2
×C
6
12
6
3, 13
60
C
2
×C
2
×C
4
16
4
7, 11, 19
92
C
2
×C
22
44
22
3, 91
124
C
2
×C
30
60
30
3, 61
29
C
28
28
28
2
61
C
60
60
60
2
93
C
2
×C
30
60
30
11, 61
125
C
100
100
100
2
30
C
2
×C
4
8
4
7, 11
62
C
30
30
30
3
94
C
46
46
46
5
126
C
6
×C
6
36
6
5, 13
31
C
30
30
30
3
63
C
6
×C
6
36
6
2, 5
95
C
2
×C
36
72
36
2, 94
127
C
126
126
126
3
32
C
2
×C
8
16
8
3, 31
64
C
2
×C
16
32
16
3, 63
96
C
2
×C
2
×C
8
32
8
5, 17, 31
128
C
2
×C
32
64
32
3, 127
Применение
Примечания
Литература
Примечания
Литература
Функция Эйлера.
огда:
Смотреть что такое "Приведённая система вычетов" в других словарях:
