Разыграть пять возможных значений непрерывной случайной величины. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины
Пусть, например, перед нами поставлена задача получить ряд значений дискретной случайной величины X с распределением
где – возможные значения случайной величины Х , расположенные в убывающем порядке; – вероятности этих значений,
Для решения этой задачи представим себе (см. пример в начале главы), что единичный квадрат, площадь которого S o =l, разделен на k площадок, размеры которых S 1 , S 2 ,… , S k заданы в долях единицы и равны соответственно вероятностям p 1 , p 2 , ..., p k . Выберем в единичном квадрате N случайных, равномерно распределенных точек, каждая из которых задана координатами (х, у), представляющими собой значения случайных величин X и Y, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1 .
Если i -я точка (i = 1, 2, ..., N) попала в какую-то j -ю площадку, то будем считать, что мы получили значение X, равное , т. е. х i = ξ j . Если i+1 -я точка попала в какую-то ζ - ю площадку, то будем считать, что мы получили значение X, равное ξ j , т. е. х i +1 = ξ j . И так далее.
В пределе при достаточно большом N распределение полученных значений X (х 1 , х 2 ,… , x n) будет сходиться по вероятности к заданному распределению. Это с очевидностью следует из того, что вследствие равномерного распределения случайных точек в площади единичного квадрата число попаданий в каждую площадку при N → ∞ со будет определяться ее размерами, в свою очередь равными вероятности j -го значения случайной величины.
В данном случае двумерные координаты (х, у) использовались только для уяснения аналогии и общности алгоритма метода Монте-Карло при решении различных задач. Вообще же для решения задачи розыгрыша дискретной случайной величины достаточно иметь одну числовую ось.
Подготовка к розыгрышу при этом заключается в том, что на числовой оси У (рис. 9.2) откладывается интервал от 0 до 1 , (), который разбивается, начиная от нуля, на k интервалов длиной, равной соответственно p 1 , p 2 , . . ., p k . Полученные интервалы нумеруются цифрами j = 1, 2, 3, . .., k.
Сам розыгрыш заключается в следующем. Каким-либо способом, например из таблицы случайных чисел, равномерно распределенных(см.
Рисунок 9.2. Вероятности значений случайной величины на числовой оси
разд. 9.4) в интервале от 0 до 1, последовательно считываются значения a i . (i = 1, 2, ... , N) . Затем на оси У определяется в какой интервал на оси У попадает заданное значение точки, то есть где у j = a i .
Если точка а i попадает в интервал с номером j , то считается, что данное значение х i = ξ j . , и т. д.
Разыгрывание дискретной случайной величины, состоящее из множества испытаний, обычно производится на ЭВМ. При этом значения случайной величины а могут быть получены различными путями (см. разд. 9.4).
Пусть распределение разыгрываемой случайной величины задано в памяти машины в виде табл. 9.1.
Таблица 9.1
Распределение дискретной случайной величины
Значения X | ζ 1 | ζ 2 | … | ζ i | … | ζ к |
Вероятность значений | p 1 | p 2 | … | p i | … | p k |
Обеспеченность | P 1 | P 2 | … | P i | … | P k |
В этой таблице i - порядковый номер значений случайной величины X; - значения случайной величины, расположенные в убывающем порядке; р i - вероятность значений ; - обеспеченность значений .
Разыгрывание производится по следующей схеме (рис. 9.3). Задается номер члена ряда (i =1, 2, ..., п). Затем по таблице случайных чисел находится a i , дальше a j сравнивается со значениями обеспеченности Р j (j = 1, 2, . ..,..., k- 1) и если , то i -му члену моделируемого ряда присваивается значение . Затем проверяется i = n , и если равенство выполняется, т. е. получены все п значений, то розыгрыш прекращается, если нет, то i увеличивается на 1 и весь расчет, начиная со 2-го оператора (см. рис. 9.3), повторяется.
Привести в порядок рисунок
Рис. 9.3. Блок-схема розыгрыша ряда значений дискретной случайной величины.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ММ- 03
РАЗЫГРЫВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
Цель работы: изучение и программная реализация методов разыгрывания дискретных и непрерывных СВ
ВОПРОСЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ПО КОНСПЕКТУ ЛЕКЦИЙ:
1. Дискретные случайные величины и их характеристики.
2. Разыгрывание полной группы случайных событий.
3. Разыгрывание непрерывной случайной величины методом обратной функции.
4. Выбор случайного направления в пространстве.
5. Стандартное нормальное распределение и его пересчет для заданных параметров.
6. Метод полярных координат для разыгрывания нормального распределения.
ЗАДАЧА 1. Сформулировать (письменно) правило разыгрывания значений дискретной СВ, закон распределения которой задан в виде таблицы. Составить подпрограмму-функцию для разыгрывания значений СВ с использованием БСВ, получаемых от подпрограммы ГСЧ. Разыграть 50 значений СВ и вывести их на экран.
Где N – номер варианта.
ЗАДАЧА 2. Дана функция плотности распределения f(x) непрерывной случайной величины X.
В отчете записать формулы и вычисление следующих величин:
А) константу нормировки;
Б) функцию распределения F(x);
В) математическое ожидание M(X);
Г) дисперсию D(X);
Д) формулу для разыгрывания значений СВ по методу обратной функции.
Составить подпрограмму-функцию для разыгрывания заданной СВ и получить 1000 значений этой СВ.
Построить гистограмму распределения полученных чисел по 20 отрезкам.
ЗАДАЧА 3. Составить процедуру, позволяющую разыграть параметры случайного направления в пространстве. Разыграть 100 случайных направлений в пространстве.
Использовать встроенный датчик псевдослучайных чисел.
Письменный отчет по лабораторной работе должен содержать:
1) Название и цель работы, группу, фамилию и номер варианта студента;
2) По каждой задаче: -условие, -необходимые формулы и математические преобразования, -имя программного файла, реализующего используемый алгоритм, -результаты вычислений.
Отлаженные программные файлы сдаются вместе с письменным отчетом.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Варианты плотности распределения непрерывной СВ
Вар-т |
Плотность распределения СВ |
Вар-т |
Плотность распределения СВ |
Обозначим равномерно распределенную СВ в интервале (0, 1) через R, а ее возможные значения (случайные числа) - r j .
Разобьем интервал }