Классификационная матрица. Матрицы, их классификация, арифметические действия над матрицами Особые виды матриц

Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица , которая будет содержать описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет называться матрицей. Иными словами, Матрица , это любая прямоугольная таблица , составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.

Вместо круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или прямые двойные вертикальные линии

(2.1*)

Определение 2 . Если в выражении (1) m = n , то говорят о квадратной матрице , а если , то о прямоугольной .

В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:

Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант , который составляется из элементов матрицы и обозначается

Очевидно, что D E =1 ; .

Определение 3 . Если , то матрица A называется невырожденной или не особенной .

Определение 4 . Если detA = 0 , то матрица A называется вырожденной или особенной .

Определение 5 . Две матрицы A и B называются равными и пишут A = B , если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е .

Например, матрицы и равны, т.к. они равны по размеру и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы. А вот матрицы и нельзя назвать равными, хотя детерминанты обеих матриц равны, и размеры матриц одинаковые, но не все элементы, стоящие на одних и тех же местах равны. Матрицы и разные, так как имеют разный размер. Первая матрица имеет размер 2х3, а вторая 3х2. Хотя количество элементов одинаковое – 6 и сами элементы одинаковые 1, 2, 3, 4, 5, 6, но они стоят на разных местах в каждой матрице. А вот матрицы и равны, согласно определению 5.

Определение 6 . Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n - го порядка, определитель которой называется минором k – го порядка матрицы A .

Пример . Выписать три минора второго порядка матрицы

Понятие / определение матрицы. Виды матриц

Определение матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.

Основные понятия матрицы: Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m=n, матрица называется квадратной , а число m=n — ее порядком.

В дальнейшем для записи матрицы будут применяться обозначение: Хотя иногда в литературе встречается обозначение: Впрочем, для краткого обозначения матрицы часто используется одна большая буква латинского алфавита, (например, А), либо символ ||aij||, а иногда и с разъяснением: A=||aij||=(aij) (i=1,2,…,m; j=1,2,…n)

Числа aij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.

Например, матрицаэто матрица порядка 2×3, ее элементы a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, …

Итак, мы ввели определение матрицы. Рассмотрим виды матриц и дадим соответствующие к ним определения.

Виды матриц

Введем понятие матриц: квадратных, диагональных, единичных и нулевых.

Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.

В случае квадратной матрицывводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.Понятие диагональной матрицы: Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.Понятие единичной матрицы: Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.Понятие нулевой матрицы: Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое количество строе и одинаковое количество столбцов и их соответствующие элементы равны). Так, если то А=B, если a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22

Данный материал взят с сайта highermath.ru

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра « Информатика и прикладная математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ

ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

Математика

Направление подготовки (специальность): 040400Социальная работа (уровень бакалавриата)

Профиль образовательной программы Социальная работа

Форма обучения: заочная

Оренбург 2016 г.

1. Конспект лекций ……………………………………………………...

1.1 Лекция № 1 ……………………....................................

1.2 Лекция № 2 …………………………………….

1.3 Лекция № 3 ………………………………………

1.4 Лекция № 4 ………………………………………………….

1.5 Лекция № 5 ……………………

1.6 Лекция № 6 ………………………………………..

1.7 Лекция № 7 ……………………………………………………………………..….

1.8Лекция № 8 .……………………...…………………………….

Лекция № 9

2. Методические указания по проведению практических занятий ………

2.1 Практическое занятие №ПЗ -1 ………………….

2.2 Практическое занятие №ПЗ -2 ……………………

2.3 Практическое занятие №ПЗ -3 ……………………...

2.4 Практическое занятие №ПЗ -4 ……………………...

2.5 Практическое занятие №ПЗ -5 ……………………..

2.6 Практическое занятие №ПЗ -6 ………………………………………………….

2.7 Практическое занятие №ПЗ -7 …………………………………………………….

2.8 Практическое занятие №ПЗ -8 …………………………………………………...

2.9 Практическое занятие №ПЗ -9 ……………………………………………………...

2.10 Практическое занятие №ПЗ -10 …………………..

2.11 Практическое занятие №ПЗ -11 ……………………..

2.12 Практическое занятие №ПЗ -12 ………………………………………………..

2.13 Практическое занятие №ПЗ -13 ………………………………………………….

2.14 Практическое занятие №ПЗ -14-15 ………………………………………………

2.15 Практическое занятие №ПЗ - 16 ………………

2.16Практическое занятие №ПЗ - 17 ………………

2.17Практическое занятие №ПЗ - 18 ………………

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

1.1Лекция 1 (2 ч.)

Тема:Элементы теории матиц и определителей. Элементы линейной алгебры. Элементы аналитической геометрии

1.1.1 Вопросы лекции:

1.Матрицы, их классификация, арифметические действия над матрицами.

2. Определители 2-го и 3-го порядка, способы вычисления.

3. Системы линейных уравнений, методы решения.

4. Уравнение прямой на плоскости, способы задания прямой на плоскости.

1.1.2. Краткое содержание вопросов:

Матрицы, их классификация, арифметические действия над матрицами.

Матрицей называют таблицу, состоящую из n строк и m столбцов. Элементами матрицы могут быть числа или иные математиче­ские объекты.

A= B= C=

Прямоугольная таблица, содержащая т строкип столбцов действительных чисел называется числовойматрицей.

А m ´ n =
.

Числа а ij , составляющие матрицу, называются ее элементами , где i=1,2,…m номер строки, j=1,2,…n номер столбца.

Матрицы обозначается заглавными буквами латинского алфавита А, В, С…, элементы строчными буквами.

Если число строк и столбцов одной матрицы равно числу строк и столбцов другой матрицы, то они называются одноразмерными матрицами.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной матрицей . Квадратную матрицу размером n´n называют матрицей n-ого порядка .

А 2 ´ 2 = - квадратная матрица 2-ого порядка

а 11 , а 22 элементы главной диагонали

а 12, а 21 элементы побочной диагонали

А 3 ´ 3 = квадратная матрица 3-его порядка

а 11 , а 22 , а 33 элементы главной диагонали

а 13, а 22 , а 31 элементы побочной диагонали

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие выше (ниже) главной диагонали равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей.

В=

Диагональная матрица, все ненулевые элементы которой равны между собой, называется скалярной матрицей.

Диагональная матрица, все ненулевые элементы которой равны 1, называется единичной матрицей.

Е= единичная матрица 3-его порядка

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей (0).

А= ; В=

Матрица размера 1´1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е.(5) 1 ´ 1 есть 5.

Одноразмерные матрицы равны между собой , если равны все соответствующие элементы этих матриц.

Квадратная матрица А -1 называется обратной по отношению к матрице А. тогда и только тогда, когда А*А -1 =А -1 *А=Е

Определение 1. Матрицей, размерности pq называют прямоугольную таблицу чисел, содержащую p строк и q столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называют элементами матрицы.

В формулах (3.1) участвуют матрицы, размерности k n и n k .

Правила записи матриц:

1). Матрицы обозначают большими латинскими буквами. Нижний индекс у буквы – размерность матрицы. Этот индекс можно опустить, если размерность матрицы известна.

2). Символ « T » , как и ранее (см.стр.), означает транспонирование , то есть замену строк столбцами.

3). Сама таблица чисел записывается в круглых скобках.

4). Если матрица не транспонирована, то первый индекс ее элемента, означает номер строки, второй - номер столбца.

Матрицы очень широко используются в математике, информатике, экономике и пр. Правила оперирования матрицами – один из вопросов линейной алгебры. Именно из линейной алгебры понятие матрицы пришло в другие области знаний.

Классификация матриц по размерности .

Название матрицы	Матрица столбец	Матрица строка	Прямоугольная матрица	Квадратная матрица
Вид матрицы

Квадратные матрицы играют особую роль в линейной алгебре. Рассмотрим их более детально. Прежде всего, отметим, что в случае квадратной матрицы говорят не о размерности матрицы
, а о порядке матрицы, равном n .

У квадратной матрицы есть главная и побочная диагонали :

побочная диагональ главная диагональ

Классификация квадратных матриц

Название	Единичная матрица	Диагональная матрица	Треугольные матрицы
			верхнетреугольная	нижнетреугольная
Вид матрицы
	Единичная матрица четвертого порядка	Диагональная матрица четвертого порядка	Верхнетреугольная матрица третьего порядка	Нижнетреугольная матрица пятого порядка

Рассматривая матрицу как систему арифметических векторов, легко понять, что означает равенство матриц и как выполняются линейные операции над ними.

Равенство матриц

Две матрицы одинаковой размерности равны друг другу, если равны их соответствующие элементы 7 .

Для удобства записи утверждений, касающихся матриц, часто используют следующую символику:

В такой записи символ «» – обозначение любого из элементов матрицы, индексыi , j - текущие индексы , переменные, пробегающие значения, . Развернутая формула (3.2) выглядит так:

=